湛江市重點中學2024屆數(shù)學高二上期末教學質量檢測模擬試題含解析

湛江市重點中學2024屆數(shù)學高二上期末教學質量檢測模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知點，點在拋物線上，過點的直線與直線垂直相交于點，，則的值為（）A. B.C. D.2．已知是雙曲線C的兩個焦點，P為C上一點，且，則C的離心率為（）A. B.C. D.3．一輛汽車做直線運動，位移與時間的關系為，若汽車在時的瞬時速度為12，則（）A. B.C.2 D.34．關于的不等式的解集為（）A. B.C.或 D.5．已知雙曲線的一條漸近線方程為，它的焦距為2，則雙曲線的方程為（）A B.C. D.6．已知直線與直線平行，則實數(shù)a的值為（）A.1 B.C.1或 D.7．函數(shù)的最大值為（）A.32 B.27C.16 D.408．函數(shù)的圖象在點處的切線的傾斜角為（）A. B.0C. D.19．函數(shù)，的值域為（）A. B.C. D.10．已知直線與圓相切，則的值是（）A. B.C. D.11．已知f(x)＝x3＋(a－1)x2＋x＋1沒有極值，則實數(shù)a的取值范圍是（）A.[0，1] B.(－∞，0]∪[1，＋∞)C.[0，2] D.(－∞，0]∪[2，＋∞)12．某種產品的廣告費支出與銷售額（單位：萬元）之間的關系如下表：245683040605070若已知與的線性回歸方程為，那么當廣告費支出為5萬元時，隨機誤差的效應（殘差）為萬元（殘差=真實值-預測值）A.40 B.30C.20 D.10二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．某校對全校共1800名學生進行健康調查，選用分層抽樣法抽取一個容量為200的樣本，已知女生比男生少抽了20人，則該校的女生人數(shù)應是__________人.14．在一平面直角坐標系中，已知，現(xiàn)沿x軸將坐標平面折成60°的二面角，則折疊后A，B兩點間的距離為___________.15．拋物線的準線方程是________16．如圖，四個棱長為1的正方體排成一個正四棱柱，AB是一條側棱，是上底面上其余的八個點，則集合中的元素個數(shù)為______三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設等差數(shù)列的前項和為，已知，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和.18．（12分）已知函數(shù)（1）若在上單調遞減，求實數(shù)a的取值范圍（2）若是方程的兩個不相等的實數(shù)根，證明：19．（12分）已知圓C經(jīng)過坐標原點O和點（4，0），且圓心在x軸上（1）求圓C的方程；（2）已知直線l：與圓C相交于A、B兩點，求所得弦長值20．（12分）如圖，在正方體中，為的中點，點在棱上（1）若，證明：與平面不垂直；（2）若平面，求平面與平面的夾角的余弦值21．（12分）如圖，已知平面，四邊形為矩形，四邊形為直角梯形，，，，（1）求證：∥平面；（2）求證：平面平面22．（10分）在平面直角坐標系中，圓外的點在軸的右側運動，且到圓上的點的最小距離等于它到軸的距離，記的軌跡為（1）求的方程；（2）過點的直線交于，兩點，以為直徑的圓與平行于軸的直線相切于點，線段交于點，證明：是的中點

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解題分析】由題，由于過拋物線上一點的直線與直線垂直相交于點，可得，又，故，所以的坐標為，由余弦定理可得.故選：D.考點：拋物線的定義、余弦定理【題目點撥】本題主要考查拋物線的定義與性質，考查學生的計算能力，屬于中檔題2、A【解題分析】根據(jù)雙曲線的定義及條件，表示出，結合余弦定理可得答案.【題目詳解】因為，由雙曲線的定義可得，所以，；因為,由余弦定理可得，整理可得，所以，即.故選：A【題目點撥】關鍵點睛：雙曲線的定義是入手點，利用余弦定理建立間的等量關系是求解的關鍵.3、D【解題分析】首先求出函數(shù)的導函數(shù)，依題意可得，即可解得；【題目詳解】解：因為，所以又汽車在時的瞬時速度為12，即即，解得故選：D【題目點撥】本題考查導數(shù)在物理中的應用，屬于基礎題.4、C【解題分析】求出不等式對應方程的根，結合不等式和二次函數(shù)的關系，即可得到結果.【題目詳解】不等式對應方程的兩根為，因為，故可得，根據(jù)二次不等式以及二次函數(shù)的關系可得不等式的解集為或.故選：C.【題目點撥】本題考查含參二次不等式的求解，屬基礎題.5、B【解題分析】根據(jù)雙曲線的一條漸近線方程為，可得，再結合焦距為2和，求得，即可得解.【題目詳解】解：因為雙曲線的一條漸近線方程為，所以，即，又因焦距為2，即，即，因為，所以，所以，所以雙曲線的方程為.故選：B.6、A【解題分析】根據(jù)兩直線平行的條件列方程，化簡求得，檢驗后確定正確答案.【題目詳解】由于直線與直線平行，所以，或，當時，兩直線方程都為，即兩直線重合，所以不符合題意.經(jīng)檢驗可知符合題意.故選：A7、A【解題分析】利用導數(shù)即可求解.【題目詳解】因為，所以當時，；當時，.所以函數(shù)在上單調遞增；在上單調遞增,，因此，的最大值為.故選：A8、A【解題分析】求出導函數(shù)，計算得切線斜率，由斜率求得傾斜角【題目詳解】，設傾斜角為，則，，故選：A9、A【解題分析】利用基本不等式可得，進而可得，即求.【題目詳解】∵，∴，當且僅當，即時取等號，∴，，∴.故選：A.10、D【解題分析】直線與圓相切，直接通過求解即可.【題目詳解】因為直線與圓相切，所以圓心到直線的距離，所以，.故選：D11、C【解題分析】求導得，再解不等式即得解.【題目詳解】由得，根據(jù)題意得，解得故選：C12、D【解題分析】分析：把所給的廣告費支出5萬元時，代入線性回歸方程，做出相應的銷售額，這是一個預測值，再求出與真實值之間有一個誤差即得.詳解：與的線性回歸方程為，當時，50，當廣告費支出5萬元時，由表格得：，故隨機誤差的效應（殘差）為萬元.故選D.點睛：本題考查回歸分析的初步應用，考查求線性回歸方程，考查預測y的值，是一個綜合題二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、810【解題分析】分析：首先確定抽取的女生人數(shù)，然后由分層抽樣比即可確定女生的人數(shù).詳解：設抽取的女生人數(shù)為，則：，解得：，則抽取的女生人數(shù)為人，抽取的男生人數(shù)為人，據(jù)此可知該校女生人數(shù)應是人.點睛：進行分層抽樣的相關計算時，常利用以下關系式巧解：(1)；(2)總體中某兩層的個體數(shù)之比＝樣本中這兩層抽取的個體數(shù)之比14、【解題分析】平面直角坐標系中，沿軸將坐標平面折成的二面角后，在平面上的射影為，作軸，交軸于點，通過用向量的數(shù)量積轉化求解距離即可.【題目詳解】在直角坐標系中，已知，現(xiàn)沿軸將坐標平面折成的二面角后，在平面上的射影為，作軸，交軸于點，所以,所以，所以,故答案為：15、【解題分析】將拋物線方程化為標準形式，從而得到準線方程.【題目詳解】拋物線方程可化為：拋物線準線方程為：故答案為【題目點撥】本題考查拋物線準線的求解，易錯點是未將拋物線方程化為標準方程.16、1【解題分析】根據(jù)空間平面向量的運算性質，結合空間向量垂直的性質、空間向量數(shù)量積的運算性質進行求解即可.【題目詳解】由圖像可知，，則因為棱長為1，，所以，所以，故集合中的元素個數(shù)為1故答案為：1三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解題分析】（1）根據(jù)已知條件求得等差數(shù)列的首項和公差，由此求得.（2）利用裂項求和法求得.【小問1詳解】設等差數(shù)列的公差為，則,解得，.∴.【小問2詳解】由（1）知.∴.∴.18、（1）；（2）詳見解析【解題分析】（1）首先求函數(shù)的導數(shù)，結合函數(shù)的導數(shù)與函數(shù)單調性的關系，參變分離后，轉化為求函數(shù)的最值，即可求得實數(shù)的取值范圍；（2）將方程的實數(shù)根代入方程，再變形得到，利用分析法，轉化為證明，通過換元，構造函數(shù)，轉化為利用導數(shù)證明，恒成立.【小問1詳解】，，在上單調遞減，在上恒成立，即，即在，設，，，當時，，函數(shù)單調遞增，當時，，函數(shù)單調遞減，所以函數(shù)的最大值是，所以；【小問2詳解】若是方程兩個不相等的實數(shù)根，即又2個不同實數(shù)根，且，，得，即，所以，不妨設，則，要證明，只需證明，即證明，即證明，令，，令函數(shù)，所以，所以函數(shù)在上單調遞減，當時，，所以，，所以，即，即得【題目點撥】本題考查利用導數(shù)的單調性求參數(shù)的取值范圍，以及證明不等式，屬于難題，導數(shù)中的雙變量問題，往往采用分析法，轉化為函數(shù)與不等式的關系，通過構造函數(shù)，結合函數(shù)的導數(shù)，即可證明.19、（1）（2）【解題分析】（1）求出圓心和半徑，寫出圓的方程；（2）求出圓心到直線距離，進而利用垂徑定理求出弦長.【小問1詳解】由題意可得，圓心為(2，0)，半徑為2．則圓的方程為；【小問2詳解】由（1）可知：圓C半徑為，設圓心（2，0）到l的距離為d，則，由垂徑定理得：20、（1）證明見解析（2）【解題分析】（1）設正方體的棱長為，以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，計算出，即可證得結論成立；（2）利用空間向量法可求得平面與平面的夾角的余弦值.【小問1詳解】證明：以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，設正方體的棱長為，則、、、，由得點的坐標為，，，因為，所以與不垂直，所以與平面不垂直【小問2詳解】解：設，則，，因為平面，所以，所以，得，且，即，所以，，設平面的法向量為，由，取，可得，因為平面，所以平面的一個法向量為，所以，所以平面與平面所成夾角的余弦值為21、（1）證明見解析（2）證明見解析【解題分析】（1）根據(jù)線面平行的判定，證明即可；（2）過C作，垂足為M，根據(jù)勾股定理證明，再根據(jù)線面垂直的性質與判定證明平面BCE即可【小問1詳解】證明：因為四邊形ABEF為矩形，所以，又平面BCE，平面BCE，所以平面BCE【小問2詳解】過C作，垂足為M，則四邊形ADCM為矩形因為，，所以，，，，所以，所以因為平面ABCD，，所以平面ABCD，所以又平面BCE，平面BCE，，所以平面BCE，又平面ACF，所以平面平面BCE22、（1）（2）證明見解析【解題分析】（1）設點，求得到圓上的最小距離為，根據(jù)題意得到，整理即可求得曲線的方程；（2）當直線的斜率不存在時，顯然成立；當直線的斜率存在時，設直線的方程，聯(lián)立方程組求得和，得到，結合拋物線的定義和方程求得，，結合，即可求