河北專用2023八年級數(shù)學(xué)上冊第十四章整式的乘法與因式分解學(xué)科素養(yǎng)拓訓(xùn)作業(yè)課件新版新人教版

學(xué)科素養(yǎng)拓訓(xùn)

整式的乘法與因式分解是基本且重要的代數(shù)知識,這些知識是以后學(xué)習(xí)分式、根式運算、函數(shù)等知識的基礎(chǔ),在后續(xù)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中具有重要意義.從冪的運算到各種整式的乘法,加強了學(xué)生的自主探索能力,依據(jù)原有的知識基礎(chǔ)或運用乘法的各種運算規(guī)律或借助直觀而形象的圖形面積,得到各種運算的基本法則,兩個主要的乘法公式及因式分解的基本方法,有利于學(xué)生形成合理的知識結(jié)構(gòu),提高數(shù)學(xué)思維能力.如第2題,利用整體思想分解因式,簡化了運算過程,培養(yǎng)了學(xué)生對整體思想的應(yīng)用能力;第3題,通過幾何圖形面積探究代數(shù)式的值,體現(xiàn)了核心素養(yǎng)中的幾何直觀.

答案

本題直接分解因式很困難,考慮添加輔助項使其符合完全平方公式特征,因此將原式添上x2與-x2兩項,然后通過分組使其符合完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征,最后用平方差公式分解因式,從而將原多項式進行分解.名師點睛2.[利用整體思想分解因式]先閱讀材料,再解答下列問題:材料:分解因式(x+y)2+2(x+y)+1.解:令x+y=A,則(x+y)2+2(x+y)+1=A2+2A+1=(A+1)2,故(x+y)2+2(x+y)+1=(x+y+1)2.上述解題過程用到的是“整體思想”,整體思想是數(shù)學(xué)解題中常用的一種思想方法,請你解答下列問題:(1)分解因式:1+2(x-y)+(x-y)2=

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(2)分解因式:(a+b)(a+b-4)+4.(3)證明:若n為整數(shù),則式子(n+1)(n+2)(n2+3n)+1的值一定是某一個整數(shù)的平方.答案2.【解析】

(1)(x-y+1)2(2)令a+b=A,則(a+b)(a+b-4)+4=A(A-4)+4=A2-4A+4=(A-2)2,故(a+b)(a+b-4)+4=(a+b-2)2.(3)(n+1)(n+2)(n2+3n)+1=(n2+3n+2)(n2+3n)+1=(n2+3n)2+2(n2+3n)+1=(n2+3n+1)2.∵n為整數(shù),∴n2+3n+1也為整數(shù),∴式子(n+1)(n+2)(n2+3n)+1的值一定是某一個整數(shù)的平方.3.[類比探究問題]問題再現(xiàn):數(shù)形結(jié)合思想是解決數(shù)學(xué)問題的一種重要的思想方法,借助這種方法可將抽象的數(shù)學(xué)知識變得直觀起來,并且具有可操作性,從而可以幫助我們快速解題.初中數(shù)學(xué)中的一些代數(shù)公式,很多都可以通過表示幾何圖形面積的方法進行直觀推導(dǎo)和解釋.例如:利用圖形的幾何意義證明完全平方公式.證明:將一個邊長為a的正方形的邊長增加b,形成兩個長方形和兩個正方形,如圖1,這個圖形的面積可以表示為(a+b)2或a2+2ab+b2,∴(a+b)2=a2+2ab+b2,這就驗證了兩數(shù)和的完全平方公式.

類比解決:(1)請你類比上述方法,利用圖形的幾何意義證明平方差公式.(要求畫出圖形并寫出推理過程)問題提出:如何利用圖形的幾何意義證明13+23=32?如圖2,A表示1個1×1的正方形,即1×1×1=13;B表示1個2×2的正方形,C與D恰好可以拼成1個2×2的正方形,因此,B,C,D就可以表示2個2×2的正方形,即2×2×2=23;而A,B,C,D恰好可以拼成1個(1+2)×(1+2)的大正方形,由此可得13+23=(1+2)2=32.嘗試解決:(2)請你類比上述推導(dǎo)過程,利用圖形的幾何意義確定:13+23+33=

.(要求寫出結(jié)論,畫出圖形并