直線與圓的位置關(guān)系

專題提升(十二)與圓的切線有關(guān)的證明與計算類型之一與切線的性質(zhì)有關(guān)的計算或證明【教材原型】

如圖Z12－1，⊙O的切線PC交直徑AB的延長線于點P，C為切點，若∠P＝30°，⊙O的半徑為1，則PB的長為______. (浙教版九下P43作業(yè)題第1(2)題)圖Z12－11【解析】如答圖，連結(jié)OC.∵PC為⊙O的切線，∴∠PCO＝90°，在Rt△OCP中，∵OC＝1，∠P＝30°，∴OP＝2OC＝2，∴PB＝OP－OB＝2－1＝1.【思想方法】

(1)已知圓的切線，可得切線垂直于過切點的半徑；(2)已知圓的切線，常作過切點的半徑，得到切線與半徑垂直.教材原型答圖【中考變形】

[2016·天津]在⊙O中，AB為直徑，C為⊙O上一點． (1)如圖Z12－2①，過點C作⊙O的切線，與AB的延長線相交于點P，若∠CAB＝27°，求∠P的大?。粓DZ12－2解：(1)如答圖，連結(jié)OC.∵⊙O與PC相切于點C，∴OC⊥PC，即∠OCP＝90°，∵∠CAB＝27°，∴∠COB＝2∠CAB＝54°，在Rt△OPC中，∠P＋∠COP＝90°，∴∠P＝90°－∠COP＝36°；中考變形答圖(2)∵E為AC的中點，∴OD⊥AC，即∠AEO＝90°.在Rt△AOE中，由∠CAB＝10°，得∠AOE＝90°－∠CAB＝80°，∴∠P＝∠ACD－∠A＝40°－10°＝30°.【中考預(yù)測】

[2016·揚州]如圖Z12－3①，以△ABC的邊AB為直徑的⊙O交邊BC于點E，過點E作⊙O的切線交AC于點D，且ED⊥AC.圖Z12－3解：(1)△ABC是等腰三角形．理由：如答圖①，連結(jié)OE.∵DE是⊙O的切線，∴OE⊥DE，∵ED⊥AC，∴AC∥OE，∴∠1＝∠C，∵OB＝OE，∴∠1＝∠B，∴∠B＝∠C，∴△ABC是等腰三角形；中考預(yù)測答圖①(2)如答圖②，過點O作OG⊥AC，垂足為G，則得四邊形OGDE是矩形．∵△ABC是等腰三角形，∴∠ABC＝∠C＝75°，∴∠A＝180°－75°－75°＝30°，中考預(yù)測答圖②類型之二與切線的判定有關(guān)的計算或證明【教材原型】

已知：如圖Z12－4，A是⊙O外一點，AO的延長線交⊙O于點C，點B在圓上，且AB＝BC，∠A＝30°，求證：直線AB是⊙O的切線．(浙教版九下P38例3)圖Z12－4證明：如答圖，連結(jié)OB，∵OB＝OC，AB＝BC，∠A＝30°，∴∠OBC＝∠C＝∠A＝30°，∴∠AOB＝∠C＋∠OBC＝60°.∵∠ABO＝180°－(∠AOB＋∠A)＝180°－(60°＋30°)＝90°，∴AB⊥OB，∴AB為⊙O的切線．【思想方法】證明圓的切線常用兩種方法“作半徑，證垂直”或者“作垂直，證半徑”．教材原型答圖【中考變形】1．[2016·黃石]如圖Z12－5，⊙O的直徑為AB，點C在圓周上 (異于A，B)，AD⊥CD. (1)若BC＝3，AB＝5，求AC的值； (2)若AC是∠DAB的平分線，求證：直線CD是⊙O的切線．圖Z12－5解：(1)∵AB是⊙O直徑，C在⊙O上，∴∠ACB＝90°，又∵BC＝3，AB＝5，∴由勾股定理，得AC＝4；(2)證明：如答圖，連結(jié)OC，∵AC是∠DAB的平分線，∴∠DAC＝∠BAC，中考變形1答圖又∵AD⊥DC，∴∠ADC＝∠ACB＝90°，∴△ADC∽△ACB，∴∠DCA＝∠CBA，又∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∵∠OAC＋∠OBC＝90°，∴∠OCA＋∠ACD＝∠OCD＝90°，∴直線CD是⊙O的切線．2．[2016·大連]如圖Z12－6，AB是⊙O的直徑，點C，D在⊙O上，∠A＝2∠BCD，點E在AB的延長線上，∠AED＝∠ABC. (1)求證：DE與⊙O相切；圖Z12－6解：(1)證明：如答圖，連結(jié)OD.∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∴∠A＋∠ABC＝90°，∵∠BOD＝2∠BCD，∠A＝2∠BCD，∴∠BOD＝∠A，∵∠AED＝∠ABC，∴∠BOD＋∠AED＝90°，∴∠ODE＝90°，即OD⊥DE，∴DE與⊙O相切；中考變形2答圖(2)如答圖，連結(jié)BD，過點D作DH⊥BF于點H.∵DE與⊙O相切，∴∠BDE＝∠BCD，∵∠AED＝∠ABC，∴∠AFC＝∠DBF，∵∠AFC＝∠DFB，∴△ACF與△FDB都是等腰三角形，【中考預(yù)測】

如圖Z12－7，⊙O的直徑AB為10cm，弦BC為6cm，D，E分別是∠ACB的平分線與⊙O，AB的交點，P為AB延長線上一點，且PC＝PE.圖Z12－7 (1)求AC，AD的長； (2)試判斷直線PC與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由．解：(1)如答圖①，連結(jié)BD.中考預(yù)測答圖①∵AB是直徑，∴∠ACB＝∠ADB＝90°.在Rt△ABC中，∵CD平分∠ACB，(2)直線PC與⊙O相切．理由：如答圖②，連結(jié)OC.中考預(yù)測答圖②∵OC＝OA，∴∠CAO＝∠OCA.∵PC＝PE，∴∠PCE＝∠PEC.∵∠PEC＝∠CAE＋∠ACE，∴∠PCB＋∠ECB＝∠CAE＋∠