2023魯教版七年級(jí)下學(xué)期數(shù)學(xué)練習(xí)-5角平分線(xiàn)

第十章三角形的有關(guān)證明

5角平分線(xiàn)

基礎(chǔ)過(guò)關(guān)全練

知識(shí)點(diǎn)1角平分線(xiàn)的性質(zhì)定理

1.（2021山東濟(jì)南萊蕪期末）如圖，在△4灰7中,/。=90。,/8=30。,4）是NBAC的平

分線(xiàn)，已知。。=2,則BD的長(zhǎng)為()

A.3.5B.4C.4.5D.5

2.【一題多解】已知是等腰RtA43c的斜邊平分NBAC,求證：4C+CO=AB.

3.如圖,A43c中,A。平分NBACQG垂直平分BC.DEA.AB于E,DF±AC交AC的

延長(zhǎng)線(xiàn)于F.

⑴求證:2

⑵如果45=5,AC=3,求AE、3石的長(zhǎng).

n

知識(shí)點(diǎn)2角平分線(xiàn)的判定定理

4.（2022天津和平校級(jí)期末）如圖,ZkABC的兩個(gè)外角的平分線(xiàn)相交于點(diǎn)尸，連接BP,

下列結(jié)論正確的是()

A.8P平分NAPCB.BP平分NA6C

C.BA=BCD.PA=PC

5.如圖,￡>￡，A8,交AB的延長(zhǎng)線(xiàn)于E.DFLAC于匕若8O=CO,8E=CE求證:A。平

分NBAC.

知識(shí)點(diǎn)3三角形三個(gè)內(nèi)角的平分線(xiàn)的性質(zhì)

6.【主題教育?社會(huì)主義先進(jìn)文化】要想富，先修路.道路通,百業(yè)行.古往今來(lái)，人們

一直很重視修建道路.因?yàn)橹挥薪煌ū憷?，貨物才能流?商業(yè)才能發(fā)達(dá).如圖，三條

公路兩兩相交，現(xiàn)計(jì)劃在△ABC內(nèi)部安裝一個(gè)探照燈，要求探照燈的位置到這三條

公路的距離都相等，則探照燈的位置是△ABC的交點(diǎn).（）

A

IlC

A.三條角平分線(xiàn)B.三條中線(xiàn)

C.三條高的交點(diǎn)D.三條垂直平分線(xiàn)

7.（2022山東濱州濱城期中）如圖，在A43c中，。是△A3C內(nèi)一點(diǎn)，且點(diǎn)。到3c三

邊的距離相等，若N3OU126。,則NA的度數(shù)為()

A.72°B.27°C.54°D.1080

能力提升全練

8.（2022山東德州齊河期末,8,翩）如圖,ND4E=NAQE=15。,。石〃ABQbLAB若

AE=8,則DF等于()

A.10B.7C.5D.4

9.（2022山東臨沂臨沐期末,4,戰(zhàn)）如圖,3。是NABC的平分線(xiàn),。E_LA3于E,^ABC

的面積是30cm2,A3=14cmJ5C=16cm,則。七的長(zhǎng)度為（）

A.lcmB.2cmC.3cmD.4cm

10.（2022山東荷澤單縣期末，8,??）如圖，在△ABC中，AD平分N

BAC,AB=1O,AC=8ZBC=4JUABD與△AC。的面積之比是（）

A

BI）C

A.5：4B.l：1C.4：5D.4:3

11.【一題多解】（2022黑龍江牡丹江中考,17,通堆RtA43C中,/。=90。,4。平分

NCA6,AC=6,5C=84iJCD=.

A.

c.nB

12.【教材變式-P126T2變式】（2022山東聊城臨清期中,19?勤如圖，某私營(yíng)企業(yè)要

修建一個(gè)加油站，其設(shè)計(jì)要求:加油站到兩村A.B的距離必須相等,且到兩條公路m、

n的距離也必須相等，那么加油站應(yīng)修在什么位置?在圖上標(biāo)出它的位置.（要有作

圖痕跡）

?A

m

素養(yǎng)探究全練

13.【推理能力】（2022江西贛州上猶月考）如圖,3c的外角ND4c的平分線(xiàn)交

3c邊的垂直平分線(xiàn)于點(diǎn)P,PDLBA交BA的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)D,PEJ_4c于點(diǎn)E.

⑴求證：80=C￡

⑵若AB=6cm,AC=12cm,求AD的長(zhǎng).

答案全解全析

基礎(chǔ)過(guò)關(guān)全練

1.B過(guò)D點(diǎn)作DE.LAB于￡如圖，

A

二

HI)C

?.NO是N3AC的平分線(xiàn),OE_LABOC_LAC,

:.DE=DC=2在RSBDE中，

ZB=30°,BO=2OE=4.故選B.

2.證明證法一:如圖，過(guò)點(diǎn)D作DELAB于E,

c

???AABC是等腰直角三角形,A3是斜邊，

ZB=45°,ZC=90°,

...ABDE是等腰直角三角形,二.BE=DE,

,：AD平令/BAC,：.CD=DE,：.CD=BE.

在RtAACD和RtAAED中/怨=空

(,CD=DE,

：.RtAACD^RtAAED(HL),：.AC=AE,

\'AE+BE=AB,：.AC+CD=AB.

證法二:如圖，延長(zhǎng)線(xiàn)段AC到￡使CE=C。連接DE,

CE=CD,：./E=/EDC,

,：ZACB=90°,

：.NE=NEDC=45°,

???△ABC是等腰直角三角形,

：.ZB=45°,：.NB=/E,

,：AD平分N3AC,，/EAD=/BAD,

Z.EAD=乙BAD,

在△￡4。和ABAQ中,=Z-B,

AD=AD,

：.△E4O0ABAD,「.AE=AB,

又,：AE=AC+CE=AC+CD,：.AC+CD=AB.

3.解析⑴證明:連接3D、C。如圖.

,：AD平分N5AC,DEJ_ABOb_LA￡

，DE=DF,ZBED=ZCFZ)=90°,

DG垂直平分BC,，BD=CD.

在RtABED與RtACFD中，%？=*

vDE=DF,

，RtABED^RtACFD(HL),，BE=CF.

⑵,.?4￡>平分NBAC,，ZEAD=ZFAD.

-^AED=^AFD=90°,

在△人￡□和△AFD中,二4FAD,

AD=AD,

，△%￡￡)之△AFD(AAS),：.AE=AF,

設(shè)3E=x，則CF=x,

AB=5,AC=3,AE=AB-BEIAF=AC+CF,

...5-43+%,解得x=l,JBE=1,AE=5-1=4.

4.B如圖，過(guò)點(diǎn)P作/7)_LA8于。作P￡_L8C于旦作P凡LAC于￡

?:△ABC的兩個(gè)外角的平分線(xiàn)相交于點(diǎn)P,

：.PD=PF,PE=PF,：.PD=PE,

又PD.LAB,PE±BC,：.BP平分/ABC.故選B.

5.證明'：DELAB.DFLAC,：-ZE=ZDFC=90°.

在RtABDE和RtACPF中=史

IBE=CF,

RtA5Z)E^RtACZ)F(HL),DE=DF,

^'：DE±AB,DF±AC,：.AD平分NBAC.

6.A?.?探照燈的位置到這三條公路的距離都相等,...探照燈的位置是△ABC三條

角平分線(xiàn)的交點(diǎn).

7.A)?點(diǎn)0至！UA6C三邊的距離相等,二.BO平分NABGCO平分NAC8,「.N

A=180°-(ZABC+ZACB)=180°-2(ZOBC+ZOC5)=180°-2x(180°-Z

BOC)=180°-2x(l80°-l26°)=72°.

能力提升全練

8.D如圖所示，過(guò)點(diǎn)D作3G_LAC,垂足為G,

K

'：DE//AB,：.ZBAD=ZADE,

ZDAE=ZADE=15°,

：.ZDAE=ZBAD=15°,ZDEG=ZDAE+ZADE=15°+15°=30O,ED=AE=8,

DG.LAC.DF1AB,：.DF=DG.

在RtADEG中,N0EG=3O°,/.r>G=^D￡=4,

.?.0F=￡>G=4.故選D.

9.B過(guò)點(diǎn)D作DFLBC于E如圖，

BD平分ZABC.DELAB.DFLBC,：.DE=DF,

'：SAABC=SAABD+SABCD,^DE-AB+^DFBC=30,即：XOfx14+|x￡)Ex16=30,A

DE=2cm.故選B.

10.A,：AD平分N84C,...點(diǎn)D到AB和AC的距離相等,二.SAAB。：SAACD=AB:

AC=10:8=5:4.故選A.

11.答案3

解析解法一:如圖，過(guò)點(diǎn)D作DE.LAB于E,

'：NC=90°,AC=6,8C=8,

.,.AB=yAC24-BC2=v624-82=10,

AO平分NCAB,ZC=90°,DELAB,：.CD=DE,

111

：.S^ABC=~AC-CD+-AB-DE=-ACBC,

即3x6CD+|x10CD=96x8,解得CO=3.

解法二:過(guò)點(diǎn)D作DELAB于E,如圖，

AD平分NCAB,ZC=90°,DEA.AB,

：.CD=DE,

在RtAACZ)和RtAAEZ)中/絲二經(jīng)

vC