河北省唐山市遷安沙河驛高級中學高三數(shù)學文測試題含解析

河北省唐山市遷安沙河驛高級中學高三數(shù)學文測試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知雙曲線右支上非頂點的一點A關于原點O的對稱點為B，F(xiàn)為其右焦點，若AF⊥FB，設∠ABF=θ且，則雙曲線離心率的取值范圍是（）A． B． C． D．（2，+∞）參考答案：C【考點】KC：雙曲線的簡單性質(zhì)．【分析】作出對應的圖象，設雙曲線的左焦點為F′，連接AF′，BF′．則四邊形AFBF′為矩形．因此|AB=|FF′|=2c．|AF|=2csinθ，|BF|=2ccosθ．可得e===，求出即可．【解答】解：如圖所示，設雙曲線的左焦點為F′，連接AF′，BF′．∵AF⊥FB，∴四邊形AFBF′為矩形．因此|AB=|FF′|=2c．則|AF|=2csinθ，|BF|=2ccosθ．∵|AF′|﹣|AF|=2a．∴2ccosθ﹣2csinθ=2a．即c（cosθ﹣sinθ）=a，則e===，∵，∴∈（，），則cos（）∈（0，），cos（）∈（0，），則=，即e＞，故雙曲線離心率的取值范圍是，故選：C2.已知函數(shù)f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（﹣a）、f（a）、f（3a）成公差不為0的等差數(shù)列，則過坐標原點作曲線y=f（x）的切線可以作（）A．0條 B．1條 C．2條 D．3條參考答案：C【考點】利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程．【分析】先求出a，再分類討論，求出切線的條數(shù)．【解答】解：∵f（﹣a）、f（a）、f（3a）成公差不為0的等差數(shù)列，∴2f（a）=f（﹣a）+f（3a），代入化簡可得a4﹣a2=0，∵a≠0，∴a=±1，a=﹣1，函數(shù)f（x）=﹣x3﹣3x2+1，設切點A（x0，y0），∵f′（x）=﹣3x2﹣6x，∴切線斜率為﹣3x02﹣6x0，又切線過原點，∴﹣y0=3x03+6x02①又∵切點A（x0，y0）在f（x）=﹣x3﹣3x2+1的圖象上，∴y0=﹣x03﹣3x02+1②由①②得：2x03+3x02+1=0，方程有唯一解；a=1，函數(shù)f（x）=x3﹣3x2+1，設切點A（x0，y0），∵f′（x）=3x2﹣6x，∴切線斜率為3x02﹣6x0，又切線過原點，∴﹣y0=﹣3x03+6x02①又∵切點A（x0，y0）在f（x）=x3﹣3x2+1的圖象上，∴y0=x03﹣3x02+1②由①②得：2x03﹣3x02﹣1=0，方程有唯一解；故選C．3.集合=(

）A．

B．{1}

C．{0,1,2}

D．{-1,0,1,2}參考答案：C4.（5分）函數(shù)f（x）=+lg（1+x）的定義域是（） A． （﹣∞，﹣1） B． （1，+∞） C． （﹣1，1）∪（1，+∞） D． （﹣∞，+∞）參考答案：C考點： 函數(shù)的定義域及其求法．專題： 函數(shù)的性質(zhì)及應用．分析： 根據(jù)題意，結(jié)合分式與對數(shù)函數(shù)的定義域，可得，解可得答案．解答： 解：根據(jù)題意，使f（x）=+lg（1+x）有意義，應滿足，解可得（﹣1，1）∪（1，+∞）；故選：C．點評： 本題考查函數(shù)的定義域，首先牢記常見的基本函數(shù)的定義域，如果涉及多個基本函數(shù)，取它們的交集即可．5.一幾何體的三視圖如圖，該幾何體的頂點都在球O的球面上，球O的表面積是A.2π

B.4π

C.8π

D.16π參考答案：C6.已知a為常數(shù)，函數(shù)f（x）=x（lnx﹣ax）有兩個極值點x1，x2（x1＜x2）(

)A． B．C． D．參考答案：D考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值；函數(shù)在某點取得極值的條件．專題：壓軸題；導數(shù)的綜合應用．分析：先求出f′（x），令f′（x）=0，由題意可得lnx=2ax﹣1有兩個解x1，x2?函數(shù)g（x）=lnx+1﹣2ax有且只有兩個零點?g′（x）在（0，+∞）上的唯一的極值不等于0．利用導數(shù)與函數(shù)極值的關系即可得出．解答：解：∵f′（x）=lnx+1﹣2ax，（x＞0）令f′（x）=0，由題意可得lnx=2ax﹣1有兩個解x1，x2?函數(shù)g（x）=lnx+1﹣2ax有且只有兩個零點?g′（x）在（0，+∞）上的唯一的極值不等于0．．①當a≤0時，g′（x）＞0，f′（x）單調(diào)遞增，因此g（x）=f′（x）至多有一個零點，不符合題意，應舍去．②當a＞0時，令g′（x）=0，解得x=，∵x，g′（x）＞0，函數(shù)g（x）單調(diào)遞增；時，g′（x）＜0，函數(shù)g（x）單調(diào)遞減．∴x=是函數(shù)g（x）的極大值點，則＞0，即＞0，∴l(xiāng)n（2a）＜0，∴0＜2a＜1，即．故當0＜a＜時，g（x）=0有兩個根x1，x2，且x1＜＜x2，又g（1）=1﹣2a＞0，∴x1＜1＜＜x2，從而可知函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，x1）上遞減，在區(qū)間（x1，x2）上遞增，在區(qū)間（x2，+∞）上遞減．∴f（x1）＜f（1）=﹣a＜0，f（x2）＞f（1）=﹣a＞﹣．故選：D．點評：本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)極值的方法，考查了分類討論的思想方法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．7.已知函數(shù)f(x)=，則f[f（2013）]=

A．

B．-

C．1

D．-1參考答案：D，所以，選D.8.等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知，，則（

）A．

B．

C．14

D．15參考答案：D9.若復數(shù)滿足，則的虛部為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B【知識點】復數(shù)的基本概念及運算.L4

解析：由得，所以的虛部為【思路點撥】主要考查復數(shù)的基本運算，復數(shù)的定義.10.命題“存在R，0”的否定是

（

）

A.不存在R,>0

B.存在R,0

C.對任意的R,0

D.對任意的R,>0參考答案：D略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設曲線y=ax﹣ln（x+1）在點（0，0）處的切線方程為y=2x，則a=

．參考答案：3【考點】6H：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程．【分析】根據(jù)導數(shù)的幾何意義，即f′（x0）表示曲線f（x）在x=x0處的切線斜率，再代入計算．【解答】解：y=ax﹣ln（x+1）的導數(shù)，由在點（0，0）處的切線方程為y=2x，得，則a=3．故答案為：3．【點評】本題是基礎題，考查的是導數(shù)的幾何意義，這個知識點在高考中是經(jīng)?？疾榈膬?nèi)容，一般只要求導正確，就能夠求解該題．在高考中，導數(shù)作為一個非常好的研究工具，經(jīng)常會被考查到，特別是用導數(shù)研究最值，證明不等式，研究零點問題等等經(jīng)常以大題的形式出現(xiàn)，學生在復習時要引起重視．12.若函數(shù)在區(qū)間上的圖象如圖所示,則的值

可能是

A.

B．

C．

D．參考答案：B13.某地區(qū)空氣質(zhì)量監(jiān)測資料表明，一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是，連續(xù)兩天為優(yōu)良的概率是，已知某天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良，則隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是_______.參考答案：【分析】記事件為“一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良”,事件為“第二天的空氣質(zhì)量也為優(yōu)良”,根據(jù)條件概率公式可求出答案.【詳解】記事件為“一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良”,事件為“第二天的空氣質(zhì)量也為優(yōu)良”,則,,根據(jù)條件概率公式可得:.故答案為:.【點睛】本題考查了條件概率的計算,考查了條件概率公式的應用,屬于基礎題.14.一個六棱錐的體積為，其底面是邊長為2的正六邊形，側(cè)棱長都相等，則該六棱錐的側(cè)面積為_______。參考答案：12試題分析：判斷棱錐是正六棱錐，利用體積求出棱錐的高，然后求出斜高，即可求解側(cè)面積．∵一個六棱錐的體積為，其底面是邊長為2的正六邊形，側(cè)棱長都相等，∴棱錐是正六棱錐，設棱錐的高為h，則棱錐的斜高為該六棱錐的側(cè)面積為

15.

“漸升數(shù)”是指每個數(shù)字比它左邊的數(shù)字大的正整數(shù)(如1458)，若把四位“漸升數(shù)”按從小到大的順序排列，則第30個數(shù)為___________；參考答案：答案：

16.已知復數(shù)(i為虛數(shù)單位),則的實部為

▲

.參考答案：17.已知函數(shù)y=Asin（ωx+φ）（A＞0，|φ|＜，ω＞0）的圖象的一部分如圖所示．則f（x）的表達式

．參考答案：f（x）=2sin（2x+）考點：由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式．專題：計算題．分析：由函數(shù)圖象的頂點的縱坐標求出A，由周期為π可解ω，把點（0，1）代入可解φ的值．解答： 解：把點（0，1）代入y=Asin（ωx+φ）可得，1=2sinφ，解得sinφ=，又|φ|＜，故φ=，又∵當x=時，y=0，∴ω×+=2π，解得ω=2，故f（x）的表達式為：f（x）=2sin（2x+），故答案為：f（x）=2sin（2x+）．點評：本題考查根據(jù)y=Asin（ωx+?）的部分圖象求其解析式，屬基礎題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本題滿分12分）在如圖所示的幾何體中，四邊形是等腰梯形，∥，，．在梯形中，∥，且，⊥平面．(1)求證：；(2)若二面角為，求的長．參考答案：

19.春節(jié)來臨，有農(nóng)民工兄弟、、、四人各自通過互聯(lián)網(wǎng)訂購回家過年的火車票，若訂票成功即可獲得火車票，即他們獲得火車票與否互不影響.若、、、獲得火車票的概率分別是，其中，又成等比數(shù)列，且、兩人恰好有一人獲得火車票的概率是.（1）求的值；（2）若、是一家人且兩人都獲得火車票才一起回家，否則兩人都不回家.設表示、、、能夠回家過年的人數(shù)，求的分布列和期望.參考答案：解：（1）、兩人恰好有一人獲得火車票的概率是………1分聯(lián)立方程………3分，解得………5分（2）………6分………7分………8分………9分………10分的分布列為01234………11分………12分20.設二項展開式（n∈N*）的小數(shù)部分為.（1）計算的值；（2）求證：.參考答案：21.已知函數(shù)(I)當，且時，求的值.(II)是否存在實數(shù)，使得函數(shù)的定義域、值域都是，若存在，則求出的值；若不存在，請說明理由.參考答案：（1）因為時，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，因為時，，所以在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞減.所以當，且時有，，所以，故；(2）不存在.

因為當時，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以的值域為；而，所以在區(qū)間上的值域不是.故不存在實數(shù)，使得函數(shù)的定義域、值域都是(也可構(gòu)造方程，方程無解，從而得出結(jié)論.）22.已知f(x)是定義在R上的不恒為0的函數(shù)，且對任意的a，b∈R，恒有f(ab)=af(b)+bf(a).(Ⅰ)求f(0)，f(1)的值；(Ⅱ)判斷f(x)的奇偶性，并證明你的結(jié)論；(Ⅲ)若f(2)=2，，n∈N*，求數(shù)列{un}的前n項和Sn.參考答案：解析：(Ⅰ)解:f(0)=f(0×0)=0·f(0)+0·f(0)=0.又∵f(1)=f(1×1)=1·f(1)+1·f(1)=2f(1)，∴f(1)=0.(Ⅱ)∵f(1)=f[(－1)2]=－1·f(－1)－1·f(－1)=－2f(－1)=0，∴f(－1)=0∴f(－x)=f(－1·x)=－1·f(x)+x·f(－1)=－f(x)，∴f(x)為奇函數(shù)(Ⅲ)解法一：∵0=f(1)=f(2×2－1)=2f(2－1)+2－1f(2)=2f(2－1)+1，∴f(2－1)=－………9分又f(2－n)=f(2－n－1·2)=2－n－1f(2)+2f(2－n－1)=2－n+2f(2－n－1)∴2n+1f(2－n－1)－2nf(2－n)=－1∴數(shù)列{2nf(2－n)}是以2f(2－1)=－1為首項，以－1為公差的等差數(shù)列∴2nf(2－n)=－1+（n－1）·(－1)=－n∴un==－∴Sn==－1解法二：∵f(2n+1)=f(2n·2)=2nf(2)+2f(2n)=2n+1+2f(2n)∴=1+，∴－=1∴數(shù)列{}是以=1為首項，以1為公差的等差數(shù)列∴=1+（n－1）·1=n，∴f(2n)=2n·n又∵f(1)=f(2n×2－n)=2nf(2－n)+2－nf(2n)=0∴un===－∴Sn==－1解法三：由f(a2)=af(a)+af(a)=2af(a)，f(a3)=a2f(a)+af(a2)=3a2f(a)，猜測f(an)=nan－1f(a).下面用數(shù)學歸納法證明①當n=1時，f(a1)=1·a0·f(a)，公式成