江西省贛州市橫寨中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)文期末試卷含解析

江西省贛州市橫寨中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)文期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知、是不同的平面，、是不同的直線，則下列命題不正確的是

若∥則.

若∥則∥

若∥，，則.

若則∥.參考答案：B2.已知函數(shù)，則“是奇函數(shù)”是“”的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件參考答案：B略3.已知A，B，C是拋物線y2=4x上不同的三點(diǎn)，且AB∥y軸，∠ACB=90°，點(diǎn)C在AB邊上的射影為D，則|AD|?|BD|=（）A．16 B．8 C．4 D．2參考答案：A【考點(diǎn)】K8：拋物線的簡單性質(zhì)．【分析】設(shè)出A，B，C三點(diǎn)坐標(biāo)，求出，根據(jù)∠ACB=90°列方程得出三點(diǎn)橫坐標(biāo)的關(guān)系得出|CD|，利用相似三角形得出|AD|?|BD|=|CD|2．【解答】解：設(shè)A（4t2，4t），B（4t2，﹣4t），C（4m2，4m），∴=（4t2﹣4m2，4t﹣4m），=（4t2﹣4m2，﹣4t﹣4m）．∵∠ACB=90°，∴．∴16（t2﹣m2）2﹣16（t2﹣m2）=0，∴m2﹣t2=﹣1或m2﹣t2=0（舍）．∴|CD|=4|t2﹣m2|=4，在Rt△ABC中，∵CD⊥AB，∴△ACD∽△CBD，∴，∴|AD|?|BD|=|CD|2=16．故選：A．4.已知拋物線的準(zhǔn)線與雙曲線交于A,B兩點(diǎn)，點(diǎn)F為拋物線的焦點(diǎn)，若為直角三角形，則雙曲線的離心率是A. B. C.2 D.3參考答案：B5.一個(gè)算法的程序框圖如右，則其輸出結(jié)果是A.0

B.

C.

D.參考答案：C6.已知集合A={－1,0,1,2,3}，B={－1,1}，則A．{1,2}

B．{0,1,2}

C．{0,2,3}

D．{0,1,2,3}參考答案：C在集合中，集合沒有的元素是，故.故選C.

7.如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，已知該幾何體的各個(gè)面中有個(gè)面是矩形，體積為，則（

）A．

B．

C.

D．參考答案：D8.（04年全國卷IV理）設(shè)函數(shù)為奇函數(shù)，則（

）

A．0

B．1

C．

D．5參考答案：

答案：C9.若a滿足x+lgx=4，b滿足x+10x=4，函數(shù)f（x）=，則關(guān)于x的方程f（x）=x的解的個(gè)數(shù)是(

)A．1 B．2 C．3 D．4參考答案：C【考點(diǎn)】根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷．【專題】計(jì)算題．【分析】先根據(jù)a滿足x+lgx=4，b滿足x+10x=4，可得a+b=4，進(jìn)而可分類求出關(guān)于x的方程f（x）=x的解，從而確定關(guān)于x的方程f（x）=x的解的個(gè)數(shù)．【解答】解：∵a滿足x+lgx=4，b滿足x+10x=4，∴a，b分別為函數(shù)y=4﹣x與函數(shù)y=lgx，y=10x圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)由于y=x與y=4﹣x圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，函數(shù)y=lgx，y=10x的圖象關(guān)于y=x對(duì)稱∴a+b=4∴函數(shù)f（x）=當(dāng)x≤0時(shí)，關(guān)于x的方程f（x）=x，即x2+4x+2=x，即x2+3x+2=0，∴x=﹣2或x=﹣1，滿足題意當(dāng)x＞0時(shí)，關(guān)于x的方程f（x）=x，即x=2，滿足題意∴關(guān)于x的方程f（x）=x的解的個(gè)數(shù)是3故選C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)與方程的聯(lián)系，考查根的個(gè)數(shù)的研究，解題的關(guān)鍵是求出分段函數(shù)的解析式，有一定的綜合性．10.對(duì)于任意非零實(shí)數(shù)a、b、c、d,命題①;②③;④;⑤.其中正確的個(gè)數(shù)是 （）A．1 B．2 C．3 D．4

參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)△的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且，則

參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】余弦定理；同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系．解：∵C為三角形的內(nèi)角，cosC=，∴sinC==，又a=1，b=2，∴由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC得：c2=1+4﹣1=4，解得：c=2，又sinC=，c=2，b=2，∴由正弦定理=得：sinB===．故答案為：【思路點(diǎn)撥】由C為三角形的內(nèi)角，及cosC的值，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出sinC的值，再由a與b的值，利用余弦定理列出關(guān)于c的方程，求出方程的解得到c的值，再由sinC，c及b的值，利用正弦定理即可求出sinB的值．12.若曲線y=lnx+ax2﹣2x（a為常數(shù)）不存在斜率為負(fù)數(shù)的切線，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．參考答案：[，+∞）

【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【分析】由題意可知y′≥0在（0，+∞）上恒成立，分離參數(shù)得a≥，求出右側(cè)函數(shù)的最大值即可得出a的范圍．【解答】解：y′=，x∈（0，+∞），∵曲線y=lnx+ax2﹣2x（a為常數(shù)）不存在斜率為負(fù)數(shù)的切線，∴y′=≥0在（0，+∞）上恒成立，∴a≥恒成立，x∈（0，+∞）．令f（x）=，x∈（0，+∞），則f′（x）=，∴當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f′（x）＞0，當(dāng)x＞1時(shí)，f′（x）＜0，∴f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減，∴當(dāng)x=1時(shí)，f（x）=取得最大值f（1）=，∴a．故答案為[，+∞）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，函數(shù)最值的計(jì)算，屬于中檔題．13.復(fù)數(shù)z=，（其中i是虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為

．參考答案：1﹣i【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算．【分析】直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡復(fù)數(shù)z得答案．【解答】解：=，則復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為：1﹣i．故答案為：1﹣i．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查了復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題．14.記的反函數(shù)為，則方程的解

．參考答案：215.已知點(diǎn)落在角的終邊上，且，則的值為_____________；參考答案：16.若對(duì)函數(shù)y=f（x）定義域內(nèi)的每一個(gè)值x1，都存在唯一的值x2，使得f（x1）f（x2）=1成立，則稱此函數(shù)為“黃金函數(shù)”，給出下列四個(gè)函數(shù)：①y=；②y=log2x；③y=（）x；④y=x2，其中是“黃金函數(shù)”的序號(hào)是．參考答案：①③【考點(diǎn)】函數(shù)的值．【分析】利用“黃金函數(shù)”的定義，依次分析所給的四個(gè)函數(shù)，能得到正確答案．【解答】解：對(duì)于①，函數(shù)y=，由f（x1）f（x2）=1，得=1，即x1x2=1，對(duì)應(yīng)的x1、x2唯一，所以y=是“黃金函數(shù)”，故①正確．對(duì)于②，因?yàn)楹瘮?shù)y=log2x有零點(diǎn)，即當(dāng)x=1時(shí)，y=log2x=0，所以當(dāng)x1=1時(shí)，不存在x2滿足f（x1）f（x2）=1成立，所以函數(shù)y=log2x不是“黃金函數(shù)”，故②不正確；對(duì)于③，函數(shù)y=（）x，由f（x1）f（x2）=1，得（）（）=（）=1，即x1+x2=0，所以x2=﹣x1，可得定義域內(nèi)的每一個(gè)值x1，都存在唯一的值x2滿足條件，故函數(shù)y=（）x是“黃金函數(shù)”，故③正確；對(duì)于④，y=x2，由f（x1）f（x2）=1，得x12x22=1，對(duì)應(yīng)的x1、x2不唯一，所以y=x﹣2不是“黃金函數(shù)”，故④不正確．綜上所述，正確命題的序號(hào)是①③．故答案為：①③．17.將函數(shù)的圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的一半，縱坐標(biāo)不變；再向右平移個(gè)單位長度得到的圖象，則

.參考答案：將函數(shù)向左平移個(gè)單位長度可得的圖象；保持縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)伸長為原來的倍可得的圖象，故，所以.

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；（2）若不等式對(duì)任意的恒成立，求a的取值范圍.參考答案：（1）；（2）【分析】（1）利用零點(diǎn)分段法去絕對(duì)值，將不等式轉(zhuǎn)化為不等式組來求解得不等式的解集.（2）化簡不等式為，由此得到或，結(jié)合恒成立知識(shí)的運(yùn)用，求得的取值范圍.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，故等價(jià)于或或，解得或.故不等式的解集為.（2）當(dāng)時(shí)，由得，即，即或?qū)θ我獾暮愠闪?又，，故的取值范圍為.又，所以，綜上，的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本小題主要考查絕對(duì)值不等式的解法，考查含有絕對(duì)值的不等式恒成立問題的求解策略，屬于中檔題.19.（本小題滿分14分）已知函數(shù).

⑴求函數(shù)的最小值；⑵若≥0對(duì)任意的恒成立，求實(shí)數(shù)a的值；

⑶在⑵的條件下，證明：.參考答案：解：（1）由題意，由得.

當(dāng)時(shí),；當(dāng)時(shí)，.

∴在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.

即在處取得極小值，且為最小值，

其最小值為

（5分）

（2）對(duì)任意的恒成立，即在上，.

由（1），設(shè)，所以.

由得.

∴在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，

∴在處取得極大值.

因此的解為，∴.

（9分）（3）由（2）知，因?yàn)?，所以?duì)任意實(shí)數(shù)均有，即.令

，則.∴.∴.

（14分）20.設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f（x）=2x2+（x﹣a）|x﹣a|（Ⅰ）若f（0）≥1，求a的取值范圍；（Ⅱ）求f（x）在[﹣2，2]上的最小值．參考答案：【考點(diǎn)】分段函數(shù)的應(yīng)用；函數(shù)的值域．【專題】計(jì)算題；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；不等式的解法及應(yīng)用．【分析】（Ⅰ）原不等式即為﹣a|a|≥1，考慮a＜0，解二次不等式求交集即可；（Ⅱ）將函數(shù)f（x）改寫為分段函數(shù)，討論當(dāng)a≥0時(shí)，①﹣a≤﹣2，②﹣a＞﹣2，當(dāng)a＜0時(shí)，①≤﹣2，②＞﹣2，運(yùn)用二次函數(shù)的單調(diào)性，即可得到最小值．【解答】解：（Ⅰ）若f（0）≥1，則﹣a|a|≥1??a≤﹣1，則a的取值范圍是（﹣∞，﹣1]；

（Ⅱ）函數(shù)f（x）=2x2+（x﹣a）|x﹣a|=，當(dāng)a≥0時(shí)，①﹣a≤﹣2即a≥2時(shí)，f（x）在[﹣2，2]上單調(diào)遞增，所以f（x）min=f（﹣2）=4﹣4a﹣a2；

②﹣a＞﹣2即0≤a＜2時(shí)，f（x）在[﹣2，﹣a]上單調(diào)遞減，在[﹣a，2]上單調(diào)遞增，所以f（x）min=f（﹣a）=﹣2a2；

當(dāng)a＜0時(shí)，①≤﹣2即a≤﹣6時(shí)，f（x）在[﹣2，2]上單調(diào)遞增，所以f（x）min=f（﹣2）=12+4a+a2；

②＞﹣2即﹣6＜a＜0時(shí)，f（x）在[﹣2，]上單調(diào)遞減，在[，2]上單調(diào)遞增，所以f（x）min=f（）=，綜上可得，f（x）min=【點(diǎn)評(píng)】本題考查絕對(duì)值函數(shù)的運(yùn)用，考查分類討論的思想方法，考查二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題和易錯(cuò)題．21.已知拋物線C：y2=2px（p＞0）的焦點(diǎn)F（1，0），O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A，B是拋物線C上異于O的兩點(diǎn)．（Ⅰ）求拋物線C的方程；（Ⅱ）若直線OA，OB的斜率之積為，求證：直線AB過x軸上一定點(diǎn)．參考答案：【考點(diǎn)】拋物線的應(yīng)用．【分析】（Ⅰ）利用拋物線C：y2=2px（p＞0）的焦點(diǎn)F（1，0），可得拋物線C的方程；（Ⅱ）分類討論，設(shè)出直線的方程，與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，結(jié)合斜率公式，可求直線方程，即可得出結(jié)論．【解答】（Ⅰ）解：因?yàn)閽佄锞€y2=2px的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），所以．得到拋物線方程為y2=4x．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）證明：①當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，設(shè)A因?yàn)橹本€OA，OB的斜率之積為，所以，化簡得t2=32．所以（8，t），B（8，﹣t），此時(shí)直線AB的方程為x=8．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣②當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為y=kx+b，A（xA，yA），B（xB，yB）聯(lián)立方程，化簡得ky2﹣4y+4b=0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣根據(jù)韋達(dá)定理得到，因?yàn)橹本€OA，OB的斜率之積為，所以得到，即xAxB+2yAyB=0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣得到，化簡得到y(tǒng)AyB=0（舍）或yAyB=﹣32．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣又因?yàn)?，所以y=kx﹣8k，即y=k（x﹣8）．綜上所述，直線AB過定點(diǎn)（8，0）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣22.（14分）已知函數(shù)．

（Ⅰ）若在上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（Ⅱ）若定義在區(qū)間D上的函數(shù)對(duì)于區(qū)間D上的任意兩個(gè)值，總有不等式成立，則稱函數(shù)為區(qū)間D上的

“凸函數(shù)”.試證當(dāng)時(shí)，為“凸函數(shù)”.參考答案：解析：（Ⅰ）由，得.

………………2分

由函數(shù)為上單調(diào)增函數(shù)，得在上恒成立，

即不等式在上恒成立.

也即在上恒成立.

……………4分令，上述問題等價(jià)于．而為在上的減函數(shù)，則．于是為所求.

……………6分（Ⅱ）證明：由，得．．

而

．

①

∵，∴.

……………9分

又，

∴．