第六章聯(lián)立方程組模型

第六章聯(lián)立方程組模型1第一頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期五第一節(jié)基本介紹一，古典回歸中我們假設解釋變量x和干擾項是不相關的，本章我們將放開這一假設。再現(xiàn)實中，x和μ不相關的假設很難維持，此時需要聯(lián)立方程組模型來解決。最典型的例子是需求和供給函數(shù)模型。第二頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期五假設需求函數(shù)為：q=α+βp+μ需求的變動分兩種情況：沿著需求曲線的變動及需求曲線的移動（changesalongthedemandcurveandshiftofthedemandcurve),前者是由于價格的變動導致的，后者是影響需求的其他因素變化時所導致的，例如收入的增加時，會導致需求曲線向右移動，反之則向左移動。在需求函數(shù)模型中，影響需求變化的其他因素如收入、偏好及其他商品價格等均包括在干擾項中。第三頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期五當影響需求的其他因素變化時，μ會發(fā)生變化，從而導致需求曲線的移動一般情況下，需求的變動會根據(jù)供給曲線的形狀的不同而產(chǎn)生不同的結果第四頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期五幾種變化qD1SD2p1p2p第五頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期五qD1D2

Sp1p2p

第六頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期五

qSD1D2p第七頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期五前兩個圖中，即當供給曲線為向上傾斜和水平時，影響需求的因素變化，例如收入增加時，干擾項發(fā)生變化，需求曲線向右移動，我們發(fā)現(xiàn)價格也因此發(fā)生了變化。表明干擾項和解釋變量不是不相關的第八頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期五供給曲線的形狀對需求的研究具有重要的作用，研究需求函數(shù)時，也要將供給函數(shù)一起考慮進去，這樣的模型就是聯(lián)立方程組模型。二，聯(lián)立方程組中的標準化問題例如在上面的需求函數(shù)中，q=α+βp+μ也可以寫成p=α'+β'q+μ,分別將上面兩個模型稱為以q和p為標準化的方程。有時，兩個方程不能互換?；Q的條件是β

'和β不能等于零第九頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期五三，內生變量和外生變量聯(lián)立方程組模型中變量被分為兩類：一類是內生變量（EndogenousVariables),即由模型決定的變量，也被稱為聯(lián)合決定變量。另一類是外生變量(ExogenousVariables),是由外部因素決定的變量，也叫事先確定變量，因此和誤差項是不相關的。第十頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期五例如：需求函數(shù)模型：q=a1+b1p+c1y+μ1，供給函數(shù)模型：q=a2+b2p+c2R+μ2，q為數(shù)量，p為價格，y為收入，R為降雨，其中y、R為外生變量，q、p為內生變量第十一頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期五第二節(jié)聯(lián)立方程組模型的識別問題一，所謂識別問題指聯(lián)立方程組模型的參數(shù)是否可以估計，如果通過一定的方法得到參數(shù)的一致估計量，就稱該方程是可以識別的。如果能得到參數(shù)唯一的一組估計值，我們稱其是完全可識別的。如果得到不止一組估計值，稱之為過度識別。無法得到參數(shù)的估計值時，稱為不可識別。下面我們介紹判斷聯(lián)立方程組模型是否可識別的幾種方法。第十二頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期五間接最小二乘法（IndirectLeastSquares，ILS)使用前面的例子：需求函數(shù)模型：q=a1+b1p+c1y+μ1，供給函數(shù)模型：q=a2+b2p+c2R+μ2，將上述模型分別以p和q來標準化，得到：q=(a1b2-a2b1/b2-b1)+(c1b2/b2-b1)y-(c2b1/b2-b1)R+誤差p=(a1-a2/b2-b1)+(c1/b2-b1)y-(c2/b2-b1)R+誤差第十三頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期五最初的需求函數(shù)和供給函數(shù)模型被稱為結構方程（Structuralequations)根據(jù)標準化的方程被稱為約簡方程（Reduced–formequations)q=Π1+Π2y+Π3R+v1P==Π4+Π5y+Π6R+v2第十四頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期五Π1=(a1b2-a2b1/b2-b1)Π2=(c1b2/b2-b1)Π3=-(c2b1/b2-b1)Π4=(a1-a2/b2-b1)Π5=(c1/b2-b1)Π6=-(c2/b2-b1)我們通過間接最小二乘法得到了結構方程所有參數(shù)的唯一一組估計值，第十五頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期五估計約簡方程，可以得到結構方程的參數(shù)，b1hat=Π3hat/Π6hatb2hat=Π2hat/Π5hatc1hat=-Π5hat(b1hat-b2hat)c2hat=Π6hat(b1hat-b2hat)a1hat=Π1hat-b1hatΠ4hata2hat=Π1hat-b2hatΠ4hat這種方法由于是通過約簡方程間接得到原來模型即結構方程的參數(shù)估計值，因此被稱作間接最小二乘法.我們把這種得到唯一一組解的情況稱為完全可識別。下面我們再看一下其他的情形第十六頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期五假設：需求函數(shù)模型：q=a1+b1p+c1y+μ1，供給函數(shù)模型：q=a2+b2p+μ2，約簡方程為：q=(a1b2-a2b1/b2-b1)+(c1b2/b2-b1)y+誤差p=(a1-a2/b2-b1)+(c1/b2-b1)y+誤差第十七頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期五Π1=(a1b2-a2b1/b2-b1)Π2=(c1b2/b2-b1)Π3=(a1-a2/b2-b1)Π4=(c1/b2-b1)因此可以得到：b2hat=Π2hat/Π4hata2hat=Π1hat-b2hatΠ3hat但是無法得到需求函數(shù)的參數(shù)估計值即a1b1c1供給函數(shù)是完全可識別的，需求函數(shù)不可識別第十八頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期五再假設：需求函數(shù)模型：q=a1+b1p+c1y+d1R+μ1，供給函數(shù)模型：q=a2+b2p+μ2，約簡方程為：q=(a1b2-a2b1/b2-b1)＋(c1b2/b2-b1)y＋(d1b2/b2-b1)R+誤差P=(a1-a2/b2-b1)+(c1/b2-b1)y+(d1/b2-b1)R+誤差第十九頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期五得到b2hat=Π2hat/Π5hatb2hat=Π3hat/Π6hat對應的a2hat=Π1hat-b2hatΠ4hat也有兩個解，供給函數(shù)是過度識別，需求函數(shù)依舊不可識別第二十頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期五例題1，根據(jù)美國1922－1941年豬肉供給和需求建立下列模型：需求函數(shù)模型：q=a1+b1p+c1y+μ1，供給函數(shù)模型：q=a2+b2p+c2Z+μ2，其中z是影響豬肉生產(chǎn)的事先確定的變量。估計的約簡方程為：q=0.0026–0.0018y+0.6839Zp=-0.0101+1.0813y–0.8320Z第二十一頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期五b1hat=Π3hat/Π6hat=-0.6839/0.8320=0.8220b2hat=Π2hat/Π5hat=-0.0018/1.0813=-0.0017c1hat=-Π5hat(b1hat-b2hat)=-1.0813(-0.8220+0.0017)=0.8870第二十二頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期五c2hat=Π6hat(b1hat-b2hat)=-0.8320(-0.8220+0.0017)=0.6825a1hat=Π1hat-b1hatΠ4hat=0.0026-(-0.8220*-0.0101)=0.0057a2hat=Π1hat-b2hatΠ4hat=0.0026-(-0.0017*-0.0101)=0.0026所以結構方程為：q=-0.0057-0.8220p+0.8870y（需求函數(shù)）q=0.0026-0.0017p+0.6825Z（供給函數(shù)第二十三頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期五2，結構方程為：y1t=a1+b1y2t+c1x1t+μ1ty2t=a2+b2y1t+c2x2t+μ2t估計的約簡方程為：y1t＝4+3x1t+8x2ty2t＝2+6x1t+10x2t求結構方程的參數(shù)第二十四頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期五識別的必要條件——階的條件（Ordercondition)假設g是聯(lián)立方程組模型中的內生變量的個數(shù)，k是所要判斷的方程中所缺少的變量的個數(shù)（包括內生變量和外生變量），判斷的規(guī)則如下：1，如果k=g-1，該方程是完全可識別的；2，如果k>g-1，該方程是過度識別的；3，如果k<g-1,該方程是不可識別的;第二十五頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期五使用前面使用過的例子來判斷例子1，兩個內生變量，所以g-1＝1，每個方程均缺少一個變量，所以k=g-1，都是完全可是別的，例子2，兩個內生變量，g-1=1,需求函數(shù)，沒有缺少變量，k＝0<1,所以是不可識別的。供給函數(shù)，缺少一個變量，k=g-1，所以是完全可識別的。第二十六頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期五例子3，，內生變量兩個，g-1=1,需求函數(shù)沒有缺少變量，0<g-1,所以需求函數(shù)不可識別，供給函數(shù)缺少兩個變量，2>g-1，所以是過度識別。判斷的結果和我們前面使用間接最小二乘法判斷的結論相同。但是階的條件的判斷方法比間接最小二乘法簡單得多。第二十七頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期五識別的充分必要條件－秩的條件(rankcondition)我們用×表示某變量在該方程中出現(xiàn)，0表示沒有出現(xiàn)，例如：假設有三個內生變量y1,y2,y3,三個外生變量z1,z2,z3，我們可以表示成下表：方程y1y2y3z1z2z31×0××002×00×0×30××××0第二十八頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期五識別的規(guī)則如下：1，考察哪一行（即判斷哪一個方程)，就刪掉哪一行；2然后把這一行中元素為零所對應的列選擇出來，組成一個新的行列式；3，如果在新的行列式中，有g-1行和列不全為零；即g-1×g-1的非零行列式那么該方程就是可以識別的。第二十九頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期五例如，先看方程1，0所對應的列組成的行列式為：00××已知g-1＝2，應至少有2×2的非零行列式，上式不滿足條件，所以該方程是不可識別的。第三十頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期五方程2，新的行列式為0×0××0該方程是可以識別的方程3，新的行列式為：××××該方程也是可以識別的第三十一頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期五階的條件不僅判斷方程是可識別的，還闡明方程是完全可識別的還是過度識別，而秩的條件只能說明方程是否是可識別的。第三十二頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期五例題一，考察下列宏觀經(jīng)濟模型：內生變量外生變量C＝實際消費G＝實際政府購買力I＝投資T＝實際稅收收入N＝就業(yè)M=名義貨幣存量P=價格水平R=利息率Y＝收入W＝貨幣工資率第三十三頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期五模型分別是：1，C=a1+b1Y-c1T+d1R+μ1

（消費函數(shù)）2，I=a2+b2Y+c2R+μ2（投資函數(shù)）3，Y=C+I+G4，M=a3+b3Y+c3R+d3P+μ3

（流動偏好函數(shù)）5，Y=a4+b4N+μ4

（生產(chǎn)函數(shù))6，Nd=a5+b5W+C5P+μ5(勞動需求函數(shù)）7，Ns=a6+b6W+C6P+μ6,(勞動供給函數(shù)）第三十四頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期五有7個內生變量，g-1=6，第三個方程不需要判斷，其參數(shù)值全部為1。首先根據(jù)階的條件判斷：1和4是完全可識別的，2、5、6、7是過度識別。秩的條件判斷：1、2、4、5是是可以識別的，而6、7是不可識別的，只有5個行（或列）不全為零，所以是不可識別的。所以階的條件判斷結果和秩的條件不是完全吻合的，一個是必要條件，一個是充分必要條件。階的條件判斷是可是別的，秩的條件判斷不一定是可識別的。第三十五頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期五階的條件大多數(shù)情況下可以保證可識別性，一般不必使用秩的條件。第三十六頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期五例題二方程y1y2y3y4y5z1z2z3z11××0×0×00×20×××00××03×0×××00××40×0×0×0×05×00××0××0利用階和秩的條件分別進行判斷第三十七頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期五已知g-1=4階的條件表明：方程1，2，5是完全可識別的，3不可識別，4過度識別。秩的條件判斷的結果：1、2、4、5是可以識別的，3是不可識別的。第三十八頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期五第三節(jié)聯(lián)立方程組的估計問題一，間接最小二乘法（略）

聯(lián)立方程組的估計方法分為：1，對單個方程的估計方法，又稱有限信息法；2，系統(tǒng)方程估計法，又稱完全信息法，我們只討論第一種方法，我們的估計將一個方程一個方程的進行。首先介紹工具變量法第三十九頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期五二，工具變量法（theinstrumentalvariablesmethod,IV法）所謂工具變量是指與誤差項無關但是與解釋變量有關的變量，例如模型y=βx+μ因為解釋變量和干擾項是相關的，所以不能直接使用最小二乘法，但是如果我們能找到一個變量例如z，z與μ無關，但是與x相關，即Cov(x,z)≠0,cov(z,μ）=0,我們就可以得到參數(shù)的一致估計量第四十頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期五cov(z,μ）=0，所以根據(jù)樣本所對應的為：1/nΣz?=01/nΣz(y-βhatx)=0βhat=Σzy/Σzx=Σz(βx+μ)/Σzx=β+Σzμ/Σzx1/nΣzμ

1/nΣzx第四十一頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期五上式在n趨于無窮時，等于0。所以通過工具變量，我們得到了參數(shù)的一致估計量。下面我們來介紹如何選擇工具變量。第四十二頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期五工具變量的選擇有兩種方法：1，用所要估計的方程之外的外生變量作為該方程的工具變量；2，使用yi的擬合值作工具變量。下面我們分別介紹工具變量估計參數(shù)的方法。第四十三頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期五三，兩階段最小二乘法（theTwo-StageLeastSquaresMethod,2SLS)步驟如下：1，估計約簡方程，得到內生變量yi的擬合值。2，用相應的內生變量的擬合值代替等式右側的內生變量，然后再使用最小二乘法。工具變量法和兩階段最小二乘法的不同在于，前者使用內生變量的擬合值作為工具變量，二后者把內生變量的擬合值作為解釋變量。