鏈?zhǔn)椒▌t一階全微分形式不變性性質(zhì)

鏈?zhǔn)椒▌t一階全微分形式不變性性質(zhì)現(xiàn)設(shè)則復(fù)合后,有變量間關(guān)系:定理12.2.1.鏈?zhǔn)椒▌t一階全微分形式不變性性質(zhì)證:設(shè)注意到

類似可得第二式.

鏈?zhǔn)椒▌t一階全微分形式不變性性質(zhì)若內(nèi)層函數(shù)都是一元函數(shù),則有如下定理.

若函數(shù)處可微,在點t可導(dǎo),則復(fù)合函數(shù)且有鏈?zhǔn)椒▌t以上公式中的導(dǎo)數(shù)稱為全導(dǎo)數(shù).鏈?zhǔn)椒▌t：連線相乘，分線相加鏈?zhǔn)椒▌t一階全微分形式不變性性質(zhì)若定理中說明:又例如:易知:但復(fù)合函數(shù)可微減弱為可偏導(dǎo),則定理結(jié)論不一定成立,見例,p.156.鏈?zhǔn)椒▌t一階全微分形式不變性性質(zhì)推廣:1)中間變量多于兩個的情形.例如,設(shè)下面所涉及的函數(shù)都可微.以上公式中的導(dǎo)數(shù)也為全導(dǎo)數(shù).鏈?zhǔn)椒▌t一階全微分形式不變性性質(zhì)鏈?zhǔn)椒▌t一階全微分形式不變性性質(zhì)特別地,設(shè)當(dāng)它們都具有可微條件時,有注意:這里表示固定復(fù)合函數(shù)中的y

對x

求導(dǎo),表示固定中v

對x

求導(dǎo).與不同鏈?zhǔn)椒▌t一階全微分形式不變性性質(zhì)例1.設(shè)解:鏈?zhǔn)椒▌t一階全微分形式不變性性質(zhì)例2.解:鏈?zhǔn)椒▌t一階全微分形式不變性性質(zhì)例3.設(shè)

求全導(dǎo)數(shù)解:注意：多元抽象復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)在偏微分方程變形與驗證解的問題中經(jīng)常遇到,下列兩個例題有助于掌握這方面問題的求導(dǎo)技巧與常用導(dǎo)數(shù)符號.鏈?zhǔn)椒▌t一階全微分形式不變性性質(zhì)為簡便起見,引入記號例4.設(shè)

f

具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),求解:令則為簡便起見,引入記號鏈?zhǔn)椒▌t一階全微分形式不變性性質(zhì)(當(dāng)在二、三象限時,)例5.設(shè)二階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù),求下列表達式在解:已知極坐標(biāo)系下的形式(1),則鏈?zhǔn)椒▌t一階全微分形式不變性性質(zhì)鏈?zhǔn)椒▌t一階全微分形式不變性性質(zhì)

已知注意利用已有公式鏈?zhǔn)椒▌t一階全微分形式不變性性質(zhì)同理可得鏈?zhǔn)椒▌t一階全微分形式不變性性質(zhì)內(nèi)容小結(jié)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t“連線相乘，分線相加”例:其它變形鏈?zhǔn)椒▌t一階全微分形式不變性性質(zhì)二、一階全微分形式不變性設(shè)函數(shù)的全微分為可見無論

u,v是自變量還是中間變量,

則復(fù)合函數(shù)都可微,其全微分表達形式都一樣,這性質(zhì)叫做一階全微分形式不變性.鏈?zhǔn)椒▌t一階全微分形式不變性性質(zhì)解：利用一階全微分形式不變性解題鏈?zhǔn)椒▌t一階全微分形式不變性性質(zhì)例7.設(shè)F(x,y)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),解法1利用偏導(dǎo)數(shù)公式.確定的隱函數(shù),則已知方程故鏈?zhǔn)椒▌t一階全微分形式不變性性質(zhì)對方程兩邊求微分:解法2

微分法.鏈?zhǔn)椒▌t一階全微分形式不變性性質(zhì)解:利用全微分形式不變性同時求出各偏導(dǎo)數(shù).由dy,dz

的系數(shù)即可得例8.設(shè)求鏈?zhǔn)椒▌t一階全微分形式不變性性質(zhì)思考與練習(xí)例1.……鏈?zhǔn)椒▌t一階全微分形式不變性性質(zhì)例2.鏈?zhǔn)椒▌t一階全微分形式不變性性質(zhì)例3.鏈?zhǔn)椒▌t一階全微分形式不變性性質(zhì)例題1.

已知求解:由兩邊對

x

求導(dǎo),得鏈?zhǔn)椒▌t一階全微分形式不變性性質(zhì)2.

求在點處可微,且設(shè)函數(shù)解:由題設(shè)(2001考研)鏈?zhǔn)椒▌t一階全微分形式不變性性質(zhì)思考題鏈?zhǔn)椒▌t一階全微分形式不變性性質(zhì)思考題解答鏈?zhǔn)椒▌t一階全微分形式不變性性質(zhì)練習(xí)題鏈?zhǔn)椒▌t一階全微分形式不變性性質(zhì)鏈?zhǔn)椒▌t一階全微分形式不變性性質(zhì)鏈?zhǔn)椒▌t一階全微分形式不變性性質(zhì)練