地下水動力學(xué)專題培訓(xùn)課件

2.數(shù)值法數(shù)值法是把刻劃地下水運(yùn)動的數(shù)學(xué)模型離散化，把定界問題化成代數(shù)方程，解出滲流區(qū)域內(nèi)有限個結(jié)點上的數(shù)值解（近似解）。數(shù)值法適用性廣（復(fù)雜的含水層、定解條件等），通用性強(qiáng)（計算機(jī)模擬）、并可程序化，修改模型方便。目前，在求解大型地下水流問題時被廣泛應(yīng)用。數(shù)值法模擬計算過程沒有物理模擬法逼真、直觀，而且計算工作量大，需要借助于計算機(jī)進(jìn)行模擬計算。數(shù)值法中，最常用的是有限差分法（FDM）和有限單元法（FEM)。有限差分法是建立在用差商代替導(dǎo)數(shù)的基礎(chǔ)上；而有限單元法是建立在直接求函數(shù)的近似解的基礎(chǔ)上。數(shù)值法優(yōu)點缺點有限差分法1.簡單問題的數(shù)學(xué)表達(dá)式和計算的執(zhí)行過程比較直觀、易懂；2.算法效率比較高；3.計算精度高；4.有可使用的商用軟件。對自然邊界處理的靈活性較差。有限單元法1.計算程序的通用性強(qiáng)；2.對不規(guī)則邊界處理方便；3.計算單元劃分靈活；4.水流問題、物質(zhì)輸運(yùn)問題解的精度一般較FDM的精度高。占用計算內(nèi)存大，計工作量大。有限差分法和有限單元法優(yōu)缺點比較§8-2有限差分法有限差分法的基本思想把滲流區(qū)域按一定的方式剖分成許多小區(qū)域（均衡域），用該區(qū)域中心點（結(jié)點）的集集合代替連續(xù)的滲流區(qū)域，在這些點上用差商近似地代替導(dǎo)數(shù)，將描述地下水流問題的數(shù)學(xué)模型化為一組以有限個未知函數(shù)值為未知量的差分方程（代數(shù)方程）組，通過求解差分方程組，得到所求解在結(jié)點上的近似值。用差商近似代替導(dǎo)數(shù)差分的概念一、承壓水一維非穩(wěn)定流數(shù)學(xué)模型的概化圖8-1河間地塊承壓含水層示意圖0設(shè)在兩條平行的河流之間有一均質(zhì)、各向同性、等厚、無越流補(bǔ)給的承壓含水層；兩河流間距離為L，兩河水位的變化規(guī)律為Φ0(t)和Φl(t)；初始時刻含水層內(nèi)的水頭分布為：H0(x)(0≤x≤L)。

在上述條件下，地下水有由高水位一邊向低水位一邊流動，構(gòu)成承壓水一維非穩(wěn)定流問題。取如上圖所示的坐標(biāo)系，則該問題的數(shù)學(xué)模型為：

由于導(dǎo)數(shù)有不同的差分格式，所以差分方程也有不同的形式。0≤x≤L,0≤t≤Tsum(8-1)0≤x≤L(8-2)0≤t≤Tsum(8-3)0≤t≤Tsum(8-4)Ⅰ1.顯式差分方程的建立空間離散：首先將研究區(qū)域[0，L]用直線等分為l份，空間步長△x=L/l;時間離散：將時間段[0，Tsum]用直線等分為m份，時間步長△t=Tsum/m；二、一維顯式有限差分格式（1）離散化圖8-2空間、時間離散示意圖lm河流河流

下面以典型結(jié)點（i，k)

為例，說明有顯式限差分方程建立的思路、過程及求解方法。如離散網(wǎng)格圖所示，任一結(jié)點的坐標(biāo)為：

xi=i△x(i=0,1,2…,l)；tk=k△t(k=0,1,2…,m)。簡記為（i，k)，并以Hik表示H(xi，tk）=H(i△x，k△t）,用hik

表示原方程的近似解，即差分方程的解。

在t=tk時刻，（8-1）式左端用二階導(dǎo)數(shù)的近似表達(dá)式，右端用時間導(dǎo)數(shù)的向前差分近似代替導(dǎo)數(shù)，有：(2)微分方程的差分化略去0(△t)和

0(△x)2

，可得（8-5）式的對應(yīng)的差分方程：（8-5）（8-6）

（8-7）式表明：只要知道了k時段初始時刻tk各結(jié)點的hik值，便可計算出k時段末了時刻tk+1的hik+1值（l≤i≤l-1,1≤k≤m-1)，各方程可獨(dú)立求解，因此，這種方程稱為顯式有限差分方程。（8-7）若定義，則（8-6）式可變?yōu)椋荷鲜揭部勺優(yōu)椋?3)定解條件離散化在t=0的初始時刻，各結(jié)點水頭值由初始條件給出：（8-8）邊界結(jié)點上各時刻的水頭值由邊界條件給出：（8-9）

差分方程（8-7）與離散后的定界條件（8-8）、(8-9）構(gòu)成了數(shù)學(xué)模型Ⅰ的顯式差分方程問題。其求解步驟如下：2.顯式差分方程的求解由以上計算的h11，h21…h(huán)l-11值及由邊界條件（8-9）式計算的h01和hl1,再次利用（8-7）式（取k=1，i=1，i=2,…i=l-1，便可計算得t2時刻各結(jié)點的水頭值。如此重復(fù)，便可計算出t3，t3，…各時刻的水頭分布值。由（8-8）式所示的初始條件給出t0時刻各結(jié)點的水頭值h00，h10，…h(huán)l0；再根據(jù)（8-7）式，在k=0時，分別取i=1，i=2,…i=l-1,便可求得t1時刻各內(nèi)結(jié)點的水頭值h11，…h(huán)l-10。3.顯式差分方程的收斂性和穩(wěn)定性

差分方程的解hik+1是否逼近原微分方程的解Hik+1?必須從差分方程的收斂性和穩(wěn)定性兩個方面回答此問題。顯式差分格式收斂和穩(wěn)定的條件

只有收斂和穩(wěn)定的差分格式，才具有實用價值。因此，合理選取△x,△t是很重要的。收斂性：如果在△x,△t取得充分小時，差分方程的解和微分方程的解析解很接近，便說這種差分格式是收斂的。穩(wěn)定性：差分計算時，每一步都有舍入誤差，隨著計算時間或計算次數(shù)的增加，累積誤差逐漸減小，以至于不影響計算結(jié)果，那么這種差分格式便是穩(wěn)定的。三、一維隱式有限差分格式1.隱式差分方程的建立

在t=tk+1時刻，（8-1）式左端用二階導(dǎo)數(shù)的近似表達(dá)式，右端用時間導(dǎo)數(shù)的向后差分近似代替導(dǎo)數(shù)，略去0(△t)和0(△x)2，則有：（8-9）若定義：，則（8-9）式可變?yōu)椋篿=1,2,…,l-1K=1,2,…,m-1（8-10）

（8-10）式左端包含了三個未知數(shù)，不能直接解出hik+1，所以稱為隱式差分格式。2.隱式差分方程的求解代入第一個和最后一個方程，形成由（l-1)個方程組成的線性方程組，聯(lián)立求解，便可得到（l-1)個內(nèi)結(jié)點tk+1時刻的水頭值。由于線性方程組的系數(shù)矩陣只在三條對角線上有值，其余均為零，所以稱為三對角線方陣，可用追趕法求解。由于隱式差分格式不能直接解出hik+1值，所以應(yīng)該對所有內(nèi)結(jié)點（i=1,i=2,…,i=l-1)都按（8-10）式列出相應(yīng)的方程。并把邊界條件：

隱式差分格式是無條件收斂和穩(wěn)定的。四、一維中心有限差分格式1.中心差分方程的建立

這種差分格式是在tk與tk+1時刻之間，取中間過渡時刻tk+△t/2時刻，以結(jié)點（i,k+1/2)處的微分方程為基礎(chǔ)建立差分方程。

在t=tk+1/2時刻，（8-1）式右端用時間導(dǎo)數(shù)的中心差分近似代替導(dǎo)數(shù)，則有：（8-11）

（8-1）式左端

的，用tk

和tk+1

時刻二階差商的平均值代替，則有：（8-12）將（8-11)和（8-12）式代入（8-1）式，得：

（8-13）

（8-12）式包含了六個結(jié)點的水頭值，故稱之為六點格式。其中有三個結(jié)點的水頭是未知的，不能直接解出hik+1，因此，必須建立聯(lián)立方程組求解。中心差分格式是無條件穩(wěn)定和收斂的。2.中心差分方程的求解用解三對角方程組的追趕法求解。五、三種有限差分格式的統(tǒng)一表達(dá)式（8-14）θ(權(quán)因子)=0，

顯式差分格式1，隱式差分格式1/2，中心式差分格式§8-3地下水運(yùn)動數(shù)值模擬的一般步驟概化水文地質(zhì)概念模型計算域空間、時間上的離散模擬計算（運(yùn)轉(zhuǎn)模型）建立數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型檢驗校正（識別）數(shù)學(xué)模型一、概化水文地質(zhì)概念模型

在充分了解研究區(qū)地質(zhì)和水文地質(zhì)條件的基礎(chǔ)上，結(jié)合地下水開采、補(bǔ)給布局情況，對實際的水文地質(zhì)條件進(jìn)行概化，抽象出能用文字、數(shù)據(jù)或圖形等簡潔方式表達(dá)并反映地下水運(yùn)動規(guī)律的水文地質(zhì)概念模型。研究區(qū)范圍和邊界條件概化含水層內(nèi)部條件概化（含水層的類型、空間分布及導(dǎo)水性、貯水性的空間變化等。）含水層水力特征概化（地下水的流態(tài)和空間變化類型）二、建立數(shù)學(xué)模型

地下水流數(shù)學(xué)模型就是把水文地質(zhì)概念模型數(shù)學(xué)化，用一組數(shù)學(xué)關(guān)系式來刻劃地下水流的數(shù)量關(guān)系和空間形式。它具有復(fù)制和再現(xiàn)實際地下水流運(yùn)動狀態(tài)的能力。3.給出相應(yīng)描述研究區(qū)內(nèi)地下水流初始狀態(tài)的初始條件和研究區(qū)內(nèi)水流與周圍環(huán)境相互關(guān)系的表達(dá)式，即邊界條件。確定性數(shù)學(xué)模型必須具備下列條件：1.有一個或一組描述地下水運(yùn)動規(guī)律的偏微分方程；2.確定相應(yīng)的滲流區(qū)（研究區(qū)）的范圍、形狀和有關(guān)的各種參數(shù)值；三、計算域空間和時間的離散1.空間離散

將計算域按三角形或方形進(jìn)行剖分，離散為許多但有限的小單元（均衡域)，作出剖分網(wǎng)格圖。在剖分時約定，第一類邊界從小均衡域的中心通過，第二類邊界與小均衡域的邊界重合。小均衡域的中心稱為結(jié)點，其長度稱為空間步長。2.時間離散

將連續(xù)的計算時間劃分成若干時段，每個時段長度稱為時間步長。

空間步長、時間步長各自可以相等，也可以不相等，主要根據(jù)地下水位的變化趨勢確定。注意四、校正（識別）數(shù)學(xué)模型將計算的水位值與實際觀測值進(jìn)行對比，如果兩者相差很大，就需要修改參數(shù)或邊界條件，再進(jìn)行模擬計算，如此反復(fù)調(diào)試，直到滿足判斷準(zhǔn)則（允許誤差）為止。這時所用的一組參數(shù)和邊界條件及數(shù)學(xué)模型就可以認(rèn)為是符合客觀實際的。根據(jù)所建立的數(shù)學(xué)模型，選用通用程序或?qū)ｉT編制的程序，用勘探試驗所確定的水文地質(zhì)參數(shù)和邊界條件作為初值，選定某一時刻作為初始時刻，然后按正演計算模擬抽水試驗或開采，輸出各觀測孔各時段的水位變化值和抽水結(jié)束時的流場分布。五、數(shù)學(xué)模型檢驗

由于在模型識別中存在不確定性，通過識別模型得到的一組參數(shù)有可能并不能夠準(zhǔn)確代表實際的水文地質(zhì)條件。因此，需要對模型進(jìn)行檢驗，以提高模型的置信度。

模型檢驗通常是把識別得到的一組參數(shù)和模型用來模擬另一段時間的外部影響，如抽、注水量和抽、注水時間、方式以及邊值，入滲補(bǔ)給量等也按該時段的實際情況給出，然后進(jìn)行正演計算，比較模擬值和實測值，若兩者間的誤差在預(yù)先設(shè)定的允許誤差范圍內(nèi)，說明模型（連同參數(shù)）可靠，具有實用性，可用于模擬計算。六、模擬計算（運(yùn)轉(zhuǎn)模型）

經(jīng)過識別、檢驗合格后的數(shù)學(xué)模型,才能夠模擬研究區(qū)域地質(zhì)體中發(fā)生的真實地下水流的運(yùn)動情況，可以用該模型來預(yù)測未來的地下水流狀態(tài)。因而，可以根據(jù)研究工作的需要，運(yùn)轉(zhuǎn)這個模型來進(jìn)行相應(yīng)的模擬計算?！?-4常用地下水?dāng)?shù)值模擬軟件介紹地下水模擬系統(tǒng)(GroundwaterModelingSystem)，簡稱GMS，是美國Br