新教材數(shù)學(xué)人教A版選擇性課件3321拋物線的簡單幾何性質(zhì)

拋物線的簡單幾何性質(zhì)第1課時拋物線的簡單幾何性質(zhì)拋物線的簡單幾何性質(zhì)必備知識·素養(yǎng)奠基標準方程y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)圖形

范圍x≥0,y∈R_____,__________,__________,_____x≤0y∈Ry≥0x∈Ry≤0x∈R標準方程y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)對稱軸x軸____________焦點坐標

準線方程x=-x=____y=____y=頂點坐標O(0,0)離心率e=__1x軸y軸y軸【思考】(1)拋物線的幾何性質(zhì)與橢圓、雙曲線相比有哪些不同?提示:拋物線的離心率等于1,只有一個焦點、一個頂點、一條對稱軸、一條準線;它沒有中心,也沒有漸近線.(2)過焦點垂直于對稱軸的直線被拋物線截得的線段長度是多少?提示:這條線段是拋物線的通徑,長度為2p,借助于通徑可以畫出較準確的拋物線.【素養(yǎng)小測】1.思維辨析(對的打“√”,錯的打“×”)(1)拋物線焦點到準線的距離等于p. ()(2)拋物線的范圍是x∈R,y∈R. ()(3)拋物線是軸對稱圖形. ()提示:(1)√.拋物線焦點到準線的距離等于+=p.(2)×.拋物線的方程不同,其范圍就不一樣,如y2=2px(p>0)的范圍是x≥0,y∈R,故此說法錯誤.(3)√.拋物線y2=±2px(p>0)的對稱軸為x軸,拋物線x2=±2py(p>0)的對稱軸為y軸,故此說法正確.2.拋物線y=-x2的焦點坐標為 ()A. B.(-4,0)C. D.(0,-4)【解析】選D.因為拋物線y=-x2,所以x2=-16y,所以拋物線的焦點坐標為(0,-4).3.已知過拋物線y2=ax(a>0)的焦點且垂直于x軸的弦長度為2,則實數(shù)a的值為 ()【解析】選B.由題意可得焦點F,將x=代入拋物線方程可得y2=,解得y=±,所以a=2.關(guān)鍵能力·素養(yǎng)形成類型一由拋物線的幾何性質(zhì)求標準方程【典例】1.頂點在原點,對稱軸為y軸,頂點到準線的距離為4的拋物線方程是 ()22=8y22=±16y2.已知雙曲線C1:(a>0,b>0)的離心率為2.若拋物線C2:x2=2py(p>0)的焦點到雙曲線C1的漸近線的距離為2,則拋物線C2的方程為

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【思維·引】1.利用待定系數(shù)法設(shè)出方程,根據(jù)p的幾何意義求得p的值.2.求出雙曲線的漸近線后,利用拋物線的焦點到漸近線的距離為2,求參數(shù)p.【解析】1.選D.頂點在原點,對稱軸為y軸的拋物線方程有兩個:x2=-2py,x2=2py(p>0),由頂點到準線的距離為4,知p=8,故所求拋物線的方程為x2=16y或x2=-16y.2.因為雙曲線C1:(a>0,b>0)的離心率為2,所以==2,所以b=a,所以雙曲線的漸近線方程為x±y=0.所以拋物線C2:x2=2py(p>0)的焦點到雙曲線的漸近線的距離為=2,所以p=8,所以所求的拋物線方程為x2=16y.答案:x2=16y【內(nèi)化·悟】1.拋物線x2=2py(p>0)有幾條對稱軸?是不是中心對稱圖形?提示:有一條對稱軸;不是中心對稱圖形.2.影響拋物線開口大小的量是什么,是如何影響的?提示:參數(shù)p影響拋物線開口大小,p值越大,拋物線的開口越開闊,p值越小,開口越扁狹.【類題·通】用待定系數(shù)法求拋物線方程的步驟提醒:求拋物線的方程時要注意拋物線的焦點位置,不同的焦點設(shè)出不同的方程.【習(xí)練·破】若拋物線C:x2=2py(p>0)上的點P到焦點的距離為8,到x軸的距離為6,則拋物線C的方程是

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【解析】根據(jù)拋物線定義,準線方程為y=-,由題意可得8=6+,解得p=4,故拋物線C的方程是x2=8y.答案:x2=8y類型二焦點弦問題【典例】是過拋物線C:y2=4x焦點的弦,且|AB|=10,則線段AB的中點橫坐標為 ()2.已知直線l經(jīng)過拋物線y2=6x的焦點F,且與拋物線相交于A,B兩點.(1)若直線l的傾斜角為60°,求|AB|的值;(2)若|AB|=9,求線段AB的中點M到準線的距離.【思維·引】1.由已知利用拋物線焦點弦的性質(zhì)即可求得線段AB的中點橫坐標.2.(1)寫出直線方程,把直線方程和拋物線方程聯(lián)立求得坐標,利用弦長公式求得弦長.(2)利用拋物線定義結(jié)合焦點弦的長度求得中點橫坐標.【解析】1.選A.因為拋物線C:y2=4x,所以p=2.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),因為直線AB過拋物線的焦點,所以|AB|=x1+x2+2=10,則x1+x2=8,所以AB中點的橫坐標為2.(1)因為直線l的傾斜角為60°,所以其斜率k=tan60°=,又F,所以直線l的方程為聯(lián)立消去y得4x2-20x+9=0,解得x1=,x2=,故|AB|=

=2×4=8.(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由拋物線定義,知|AB|=|AF|+|BF|=x1++x2+=x1+x2+p=x1+x2+3=9,所以x1+x2=6,于是線段AB的中點M的橫坐標是3,又準線方程是x=-,所以M到準線的距離等于【內(nèi)化·悟】焦點弦有哪些性質(zhì)?提示:已知過拋物線y2=2px(p>0)的焦點F的直線交拋物線于A,B兩點,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則有:(1)y1y2=-p2,x1x2=.(2)|AB|=x1+x2+p,|AF|=x1+.(3)以AB為直徑的圓與拋物線的準線相切.【類題·通】1.拋物線的焦半徑定義拋物線的焦半徑是指以拋物線上任意一點與拋物線焦點為端點的線段.焦半徑公式P(x0,y0)為拋物線上一點,F為焦點.①若拋物線y2=2px(p>0),則|PF|=x0+;②若拋物線y2=-2px(p>0),則|PF|=-x0;③若拋物線x2=2py(p>0),則|PF|=y0+;④若拋物線x2=-2py(p>0),則|PF|=-y0.2.過焦點的弦長的求解方法設(shè)過拋物線y2=2px(p>0)的焦點的弦的端點為A(x1,y1),B(x2,y2),則|AB|=x1+x2+p,然后利用弦所在直線方程與拋物線方程聯(lián)立、消元,由根與系數(shù)的關(guān)系求出x1+x2即可.【習(xí)練·破】已知拋物線y2=16x的焦點為F,準線交x軸于點P,過F的直線l交拋物線于M,N兩點,若PM⊥PN,求|MN|.【解析】由題意可得拋物線的焦點F(4,0),準線方程為x=-4,P的坐標(-4,0),由題意設(shè)直線l的方程:x=my+4,M(x1,y1),N(x2,y2),直線與拋物線聯(lián)立可得:y2-16my-64=0,可得y1+y2=16m,y1y2=-64,所以x1+x2=m(y1+y2)+8=16m2+8,x1x2==16,由PM⊥PN,可得=0,即(x1+4,y1)·(x2+4,y2)=x1x2+4(x1+x2)+16+y1y2=0,即16+4(16m2+8)+16-64=0,解得m2=0,所以x1+x2=8,由拋物線的性質(zhì),到焦點的距離等于到準線的距離可得|MN|=x1+x2+p=8+8=16.【加練·固】已知拋物線C1:y2=2px(p>0)與圓C2:x2+y2=5的兩個交點之間的距離為4.(1)求p的值;(2)設(shè)過拋物線C1的焦點F且斜率為2的直線與拋物線交于A,B兩點,求|AB|.【解析】(1)設(shè)交點為M,N.易知M(1,2),N(1,-2),代入y2=2px得2p=4,p=2.(2)由(1)知,拋物線C1:y2=4x,焦點F(1,0).直線AB的方程為y=2(x-1),設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),聯(lián)立得x2-3x+1=0,所以x1+x2=3,所以|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p=3+p=5.類型三拋物線性質(zhì)的應(yīng)用【典例】已知拋物線的焦點F在x軸上,直線l過F且垂直于x軸,l與拋物線交于A,B兩點,O為坐標原點,若△OAB的面積等于4,求此拋物線的標準方程.【思維·引】求出A,B的坐標,求得|AB|的長度,利用△OAB的面積列方程求得.【解析】由題意知,拋物線方程為y2=2px(p≠0),焦點F,直線l:x=,所以A,B兩點的坐標分別為,,所以|AB|=2|p|,因為△OAB的面積為4,所以··2|p|=4,所以p=±.所以拋物線方程為y2=±x.【內(nèi)化·悟】在什么條件下,拋物線的內(nèi)接三角形為等腰三角形?提示:與x軸垂直的直線與拋物線交于兩點,這兩點與點O構(gòu)成的三角形必為等腰三角形.【類題·通】利用拋物線的性質(zhì)可以解決的問題(1)對稱性:解決拋物線的內(nèi)接三角形問題.(2)焦點、準線:解決與拋物線的定義有關(guān)的問題.(3)范圍:解決與拋物線有關(guān)的最值問題.(4)焦點:解決焦點弦問題.

【習(xí)練·破】已知拋物線C:x2=2py(p>0)的焦點為F,點A是拋物線C上任意一點,且|AF|min=1.(1)求拋物線C的方程;(2)設(shè)經(jīng)過點(0,2)、傾斜角為的直線l與拋物線C交于M,N兩點,拋物線C的準線與y軸交于E點,求△MEN的面積.【解析】(1)由拋物線定義及|AF|min=1,可得2p=4,所以拋物線C的方程為x2=4y.(2)可得l方程為y=x+2,將y=x+2與x2=4y聯(lián)立,消y得x2-4x-8=0.設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),x1+x2=4,x1x2=-8,所以S△MEN=【加練·固】已知A,B是拋物線y2=2px(p>0)上兩點,O為坐標原點,若|OA|=|OB|,且△ABO的垂心恰是此拋物線的焦點F,求直線AB的方程.【解析】拋物線的焦點F,因為拋物線關(guān)于x軸對稱,|OA|=|OB|,所以△ABO為等腰三角形,所以A,B兩點關(guān)于x軸對稱,設(shè)A(x0,y0),則B(x0,-y0),因為△ABO的垂心恰為拋物線的焦點,所以BF⊥OA.則kBF·kOA=-1,即·=-1.又因為=2px0,所以x0=p,所以直線AB的方程為x=.課堂檢測·素養(yǎng)達標1.(2019·全國卷Ⅱ)若拋物線y2=2px(p>0)的焦點是橢圓=1的一個焦點,則p= ()【解析】選D.因為橢圓的焦點為(±,0),拋物線的焦點為,由已知可得,解得p=8.2.若拋物線x2=8y上一點P(x0,y0)到焦點的距離是該點到x軸距離的2倍,則y0= ()【解析】選D.因為P(x0,y0)到焦點的距離d=y0+2,則y0+2=2y0,解得y0=2.3.設(shè)拋物線y2=2px(p>0)的焦點為F,點A(0,2).若線段FA的中點B在拋物線上,則B到該拋物線準線的距離為

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【解析】由拋物線y2=2px(p>0),得焦點F的坐標為,則FA的中點B的坐標為,代入拋物線方程得,2p×=1,所