2022-2023學(xué)年四川省資陽(yáng)市高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)（文）試題【含答案】

2022-2023學(xué)年四川省資陽(yáng)市高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)（文）試題一、單選題1．橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由橢圓方程確定則可求橢圓的離心率.【詳解】解：由橢圓，得，所以所以離心率.故選：A.2．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體是（）A．圓柱 B．三棱臺(tái) C．圓臺(tái) D．圓錐【答案】C【分析】由已知，得到幾何體為旋轉(zhuǎn)體，結(jié)合俯視圖得到幾何體是圓臺(tái)．【詳解】解：由俯視圖得到幾何體為圓臺(tái)；故選：C．3．若直線始終平分圓的周長(zhǎng)，則a的值為（

）A．4 B．6 C．-6 D．-2【答案】C【解析】利用圓的性質(zhì)可得直線平分圓的周長(zhǎng)，必經(jīng)過(guò)圓心，根據(jù)圓的一般方程的到圓心坐標(biāo)，代入直線方程求得的值.【詳解】圓的圓心坐標(biāo)為,直線平分圓的周長(zhǎng)，必經(jīng)過(guò)圓心，點(diǎn)在直線上，，故選：C.【點(diǎn)睛】根據(jù)圓的一般方程求圓心坐標(biāo)，的圓心坐標(biāo)為.4．已知水平放置的的直觀圖如圖所示，，，則邊上的中線的實(shí)際長(zhǎng)度為（

）A．5 B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)斜二測(cè)畫法的規(guī)則即可求解【詳解】的實(shí)際圖形應(yīng)是直角三角形，兩條直角邊長(zhǎng)分別是4和3，斜邊上的中線長(zhǎng)度為故選：C5．設(shè)為實(shí)數(shù)，若方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由焦點(diǎn)在軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可得到答案.【詳解】由題意得，，解得.故選：A.6．圓與直線的位置關(guān)系為（

）A．相離 B．相切 C．相交 D．以上都有可能【答案】C【分析】先求得直線所過(guò)的定點(diǎn)，再判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，由此可知直線與圓的位置關(guān)系.【詳解】因?yàn)橹本€方程為，所以令，則，即直線過(guò)定點(diǎn)，因?yàn)閳A的方程為，故將代入得，所以點(diǎn)在圓的內(nèi)部，故直線與圓相交.故選：C.7．設(shè)、為橢圓的左、右焦點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在橢圓上，當(dāng)面積最大時(shí)，的值等于（

）A．0 B．1 C．2 D．4【答案】C【分析】根據(jù)面積公式可知當(dāng)為上或下頂點(diǎn)時(shí)，面積取最大值，求出點(diǎn)坐標(biāo)，由數(shù)量積公式即可求出結(jié)果．【詳解】根據(jù)對(duì)稱性不妨設(shè)點(diǎn)，因?yàn)樗詣t面積為當(dāng)時(shí)，面積取最大值，此時(shí)，又則，所以故選：C．8．已知m，n是兩條不重合的直線，，是兩個(gè)不重合的平面，以下命題：①若m∥，m⊥，則⊥；②若，則；③若⊥，m∥，n∥，則m⊥n；④若，則.其中正確的是（

）A．①④ B．①②④ C．①②③ D．②③④【答案】A【分析】對(duì)于①，根據(jù)線面平行性質(zhì)，結(jié)合面面垂直的判定定理，可得答案；對(duì)于②、③，利用線面垂直判定定理，舉反例，可得答案；對(duì)于④，根據(jù)線面平行的性質(zhì)，結(jié)合異面直線的定義，可得答案.【詳解】對(duì)于①，由m∥，則存在直線，使得，，，則，故①正確；對(duì)于②，當(dāng)時(shí)，存在，此時(shí)，，且，，則，，符合條件，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③，由，則，當(dāng)，且，時(shí)，，，符合條件，故③錯(cuò)誤；對(duì)于④，由，則任意直線，直線與直線之間的位置關(guān)系為異面或平行，，且，，故④正確.故選：A.9．過(guò)點(diǎn)作斜率為的直線與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，若M是線段AB的中點(diǎn)，則的值為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用點(diǎn)差法即可求得關(guān)系，進(jìn)而求得的值.【詳解】設(shè)，則，兩式相減得又，，則，則，.故選：A10．如圖，圓形紙片的四分之一扇形（陰影部分）是圓錐A的側(cè)面展開圖，其余部分是圓錐B的側(cè)面展開圖，則圓錐A與圓錐B的表面積之比為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)圓錐的側(cè)面積可得兩圓錐的底面圓半徑關(guān)系，進(jìn)而根據(jù)表面積公式即可求解.【詳解】設(shè)圓的半徑為r，圓錐A與B的底面半徑分別為，由題意知,解得,圓錐A的表面積，圓錐B的表面積，故．故選:B11．如圖，正方體中，O為底面的中心，E，F(xiàn)分別為棱，的中點(diǎn)，經(jīng)過(guò)E，F(xiàn)，O三點(diǎn)的平面與正方體相交所成的截面為（

）A．梯形 B．平行四邊形 C．矩形 D．正方形【答案】A【分析】通過(guò)作圖的方式確定，從而判斷出點(diǎn)，，，確定一個(gè)平面，從而判斷出經(jīng)過(guò)E，F(xiàn)，O三點(diǎn)的平面與正方體相交所成的截面是什么四邊形.【詳解】如圖，因?yàn)檎襟w中，O為底面的中心，E，F(xiàn)分別為棱，的中點(diǎn)所以在中，，因?yàn)檎襟w，所以所以，而點(diǎn)在直線上所以點(diǎn)，，，確定一個(gè)平面，所以經(jīng)過(guò)E，F(xiàn)，O三點(diǎn)的平面與正方體相交所成的截面為平面，即確定的平面是梯形故選：A12．已知三棱錐的直觀圖及其部分三視圖如圖所示，若三棱錐的四個(gè)面中面積最大的一個(gè)三角形面積是，則三棱錐的外接球體積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知可得：底面，是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，從而得到側(cè)面的面積最大，設(shè)，根據(jù)求出．設(shè)三棱錐的外接球的半徑為，利用球的性質(zhì)、勾股定理即可得出．【詳解】解：由已知可得：底面，是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，可得側(cè)面的面積最大，設(shè)，則，解得（負(fù)值舍去）．設(shè)三棱錐的外接球的半徑為，則，即．三棱錐的外接球的體積．故選：C．二、填空題13．已知橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)為、，過(guò)的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，則的周長(zhǎng)為______．【答案】20【分析】根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求出a的值，由的周長(zhǎng)是求出結(jié)果．【詳解】橢圓，∴，的周長(zhǎng)是，故答案為∶20﹒14．已知圓與圓恰有兩條公切線，則實(shí)數(shù)的取值范圍________．【答案】【分析】根據(jù)兩圓相交，列出不等關(guān)系，即可求得結(jié)果.【詳解】由，即，可知圓的圓心為，半徑為；因?yàn)閳A與圓恰有兩條公切線，所以圓與圓相交，則，∵，解得：，即的取值范圍是.故答案為：.15．已知正三棱錐P—ABC的側(cè)面是頂角為，腰長(zhǎng)為2的等腰三角形，若過(guò)A的截面與棱PB、PC分別交于點(diǎn)D、E，則截面△AED周長(zhǎng)的最小值為______.【答案】【分析】畫出正三棱錐的側(cè)面展開圖，利用兩點(diǎn)之間線段最短得出截面△AED周長(zhǎng)的最小時(shí)線段的長(zhǎng)，再利用勾股定理可求得的值.【詳解】由題意可得此三棱錐的側(cè)面展開圖如圖所示，則△AED周長(zhǎng)為，由于兩點(diǎn)之間線段最短，所以當(dāng)位于如圖位置時(shí)，截面△AED周長(zhǎng)的最小，即為的長(zhǎng)，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所以截面△AED周長(zhǎng)的最小值為，故答案為：.16．如圖，在正方體中，點(diǎn)P在線段上運(yùn)動(dòng)，則下列結(jié)論正確的是________．①直線平面②三棱錐的體積為定值③異面直線AP與所成角的取值范圍是④直線與平面所成角的正弦值的最大值為【答案】①②④【分析】對(duì)于①，利用線面垂直的判定定理及線面垂直的性質(zhì)定理，即可進(jìn)行判斷；對(duì)于②，利用線面平行的判定定理，得出∥平面，再根據(jù)三棱錐的體積的計(jì)算方法，即可進(jìn)行判斷；對(duì)于③，利用異面直線所成角的計(jì)算方法，即可進(jìn)行判斷；對(duì)于④，通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法求出直線與平面所成角的正弦值，然后借助二次函數(shù)，即可進(jìn)行判斷.【詳解】對(duì)于①，連接，，，，平面，平面，平面，平面，，同理，，，平面，平面，直線平面，故①正確；對(duì)于②，∥，平面，平面，∥平面，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)到平面的距離為定值，又的面積為定值，利用等體積法知三棱錐的體積為定值，故②正確；對(duì)于③，∥，異面直線與所成的角即為與所成的角，當(dāng)點(diǎn)位于點(diǎn)時(shí)，與所成的角為，當(dāng)點(diǎn)位于的中點(diǎn)時(shí)，，，此時(shí)，與所成的角為，異面直線與所成角的取值范圍是，故③錯(cuò)誤；對(duì)于④，以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，，則，，，，，，設(shè)平面的法向量，則，即，令，得，所以，直線與平面所成角的正弦值為：，當(dāng)時(shí)，直線與平面所成角的正弦值取得最大值，最大值為，故④正確.故答案為：①②④三、解答題17．求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），短軸長(zhǎng)為2；(2)經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)．【答案】(1)(2)【分析】（1）由條件求出的值即可，（2）設(shè)橢圓的方程為，然后將點(diǎn)代入求解即可.【詳解】（1）因?yàn)闄E圓的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），短軸長(zhǎng)為2；所以橢圓的焦點(diǎn)在軸上，設(shè)其方程為，所以，所以，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，（2）設(shè)橢圓的方程為，因?yàn)闄E圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)，所以，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.18．如圖,在三棱錐中,,D,E分別是的中點(diǎn)．(1)求證：平面;(2)求證：平面．【答案】(1)見解析,(2)見解析.【分析】(1)根據(jù)線面平行的判定定理證明線面平行;(2)根據(jù)線面垂直的判定定理證明線面垂直.【詳解】（1）證明：由題知D,E分別是的中點(diǎn),,平面平面,平面,得證;（2）證明：由題知,D是的中點(diǎn),,平面,平面且,故平面得證.19．如圖，已知點(diǎn)P在圓柱的底面圓O上，AB為圓O的直徑，OA＝2，∠AOP＝120°，三棱錐的體積為．(1)求圓柱的表面積；(2)求異面直線與OP所成角的余弦值．【答案】(1)24π；(2)．【分析】(1)連接BP，根據(jù)AP⊥PB求出△APB的面積，根據(jù)三棱錐的體積公式求出圓柱的高，根據(jù)圓柱結(jié)構(gòu)特征即可求其表面積；(2)取中點(diǎn)，連接，根據(jù)三角形中位線可得∥，可得或它的補(bǔ)角為所求角，由余弦定理即可得結(jié)果．【詳解】（1）連接BP，∵AB是圓O的直徑，∴AP⊥BP．由題意，在中，，∴易知，在中，，∴，∵三棱錐的體積為，∴由解得，故圓柱的表面積為：．（2）取中點(diǎn)，連接，則∥，且．∴或它的補(bǔ)角為異面直線與所成的角，又，∴，在△OPQ中，由余弦定理得，，異面直線與所成角的余弦值為．20．已知線段AB的端點(diǎn)B的坐標(biāo)是，端點(diǎn)A在圓上運(yùn)動(dòng)．(1)求線段AB的中點(diǎn)P的軌跡的方程；(2)設(shè)圓與曲線的兩交點(diǎn)為M，N，求線段MN的長(zhǎng)；【答案】(1)；(2)【分析】（1）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，由于點(diǎn)的坐標(biāo)為，且點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，利用代入法可得軌跡方程；（2）聯(lián)立方程和，得MN所在公共弦所在的直線方程,再由弦長(zhǎng)公式可求得結(jié)果【詳解】（1）設(shè)，，點(diǎn)A在圓，所以①，因?yàn)镻是A，B的中點(diǎn)，所以，即②，將②代入①得，即P的軌跡方程為：；（2）聯(lián)立方程和，得MN所在公共弦所在的直線方程，圓的圓心為，半徑，設(shè)到直線MN的距離為d，則,所以，；21．如圖，在五面體ABCDEF中，四邊形ABCD是矩形，平面ADE⊥平面ABCD，AB＝2AD＝2EF＝4，．(1)求證：；(2)求直線AE與平面BCF所成角的正弦值．【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】(1)根據(jù)題意可得，利用線面平行判定定理證明平面，結(jié)合圖形即可證明；(2)取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，則、，利用線面垂直的判定定理和性質(zhì)證得，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，利用向量法即可求出線面角的正弦值.【詳解】（1）因?yàn)樗倪呅螢榫匦?，所以，又平面，平面，所以平面，又平面平面，平面，所以；?）取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，則，由，得，且，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面，由平面，得，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，，則，設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則，令，得，所以，，設(shè)直線與平面所成角為，則.所以直線與平面所成角的正弦值為.22．已知圓和定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在圓上．(1)過(guò)點(diǎn)作圓的切線，求切線方程；(2)若滿足，求證：直線過(guò)定點(diǎn)．【答案】(1)或(2)證明見解析【分析】（1）設(shè)直線方程后由點(diǎn)到直線的距離公式列式求解即可；（2）分類討論直線斜率存在與否的情況，聯(lián)立直線與圓的方程，直接求得或由韋達(dá)定理化簡(jiǎn)