第二章極限與連續(xù)小結(jié)典型題

第二章數(shù)列極限與函數(shù)極限的定義及其性質(zhì)函數(shù)的左極限和右極限無窮小量和無窮大量的概念及其關(guān)系無窮小量的性質(zhì)及無窮小量的比較極限的四則運(yùn)算法則極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則(單調(diào)有界準(zhǔn)則和準(zhǔn)則)兩個(gè)重要極限§1 limxa0N，使當(dāng)nNxa

f(x)A0X0xX

f(x)A

f(x)A00，使當(dāng)0

x

f(x)Anx為n時(shí)的無窮小n

xn0f(xxa時(shí)的無窮小

f(x)0說明xaxnlimxM0N，使得當(dāng)nNn

f(x)M

f(x)M0X0xX

f(x)M

f(x)M00，使得當(dāng)0x

f(x)Mlimf(x)A

f(x)

f(x)A

limf(x)A

f(x)

f(x)A

limxnalimx2nlimx2n1a

alim k

alimf(x)Af(x)A lim(x)0

f(x)

f

0；

f(x)0,f(x)0

f

x

f(x)A,

xn

(xx,nN)

f(xn)A

f(x)A

f(n)A唯一 極限存在都是唯一的

xnaM0,n1,2,3,均有|xn|Mlimf(x)

0M0，使得xU(x?0,

f(x)Mlimf(xAX0M0，使得xX

f(x)Mnlimxa0(n

N，使得當(dāng)nNxn0(0limf(x)A0(

U(a?xU(a?f(x0(0

xa,nn

ynbxnynxnyn(nn0Nablimf(xA,limg(x)B,f(xg(xf(xg(xxU(a?AB 若

f(x),

g(xlim[f(x)g(x)]

f(x)

g(x)

lim[f(x)g(x)]

f(x)

g(x)

f

f

（limg(x)0．xa

f(uA,uu(x在U(?0內(nèi)u(xu0

u(x)u0

f[u(x)]ynxnzn(nn0N)，

nn

ann

xnag(x)

f(x)h(x)(xU(?))，

g(x)limh(x)A

f(x)A

單調(diào)增加有上界（或單調(diào)減少有下界）設(shè)xa 是的高階無窮小，記為o(x

c()

是的同階無窮小，記為~(xxa

limc0為的k階無窮小(xa)．xa若~~(xa，則lim

lim1 xa

xa若~,~(xa)，則~(xa)． 當(dāng)x0時(shí)，①sinx~tanx~arcsinx~arctanx~ex1~ln(1x)~x②1cosx~1x22

1~1xn1n1③tanxx~xarctanx~1x3,tanxsinx~1x3,xsinx~1x3 利用兩個(gè)重要極限 （2）利用等價(jià)無窮小（3）利用極限四則運(yùn)算法則 （4）利用復(fù)合函數(shù)極限法則（5）利用初等函數(shù)的連續(xù)性 （6）利用無窮小性質(zhì)（7）利用夾擠準(zhǔn)則和單調(diào)有界準(zhǔn)則 （8）利用法則（9）利用極限與單側(cè)極限關(guān)系 （10）利用導(dǎo)數(shù)、定積分定義（11）利用微分中值定理、積分中值定理；（12）利用收斂級數(shù)必要條件；等等．要條件、、變限函數(shù)等求極限的方法參見后面相關(guān)章節(jié)的例題【1】設(shè)f(xg(x在(a,b內(nèi)有定義，且f(x)g(xx(a,b)．x0(a,b)

f(x)A,

g(x)BAB若在（1）f(xg(xx0ABx 0f(x

x1g(x)x2在(1,1f(x)g(xAB

x

f(x)0,

g(x)0f(xg(xx0A

f(x)

0f(x),B0

g(x)g(x0)x0(a,b)f(x0)g(x0AB3 3x(2x1)(x1)(3xx3原式

1x(21)(11)(32 (3)nn

型極限．分子分母同除以4n原式

(3)n 1．n3(3)n nn3

n

n)xx

4n4n3n n

)

41111 1n31n

2x01cos 型極限．通分，約去致零因子1cosx原式lim

)

1cosx

1x01cos

1cos2

x0(1cosx)(1cos

x0(1cos 當(dāng)Qm(x0Pn(x00xx0

可推廣為：limsin(x)(0)1(lim(x)0)， 1)(x)(1)e（(lim(x))

limsinx0

(11)xx

arcsin(12x) （2）

tan2xtan(x)x2

4x2

4（1）原式x2

1

2x

12法 由三角函數(shù)關(guān)系可得

原式

sin2x xcos4

4

1

limsin2x

lim2

14

x444

4

4

xsin(424

法 原式lim1 1x4

2

4 lim(xa

(a0)xx

x變形可得：原式

e

e2a

x當(dāng)存在

f(xA0,limg(xB

f(x)g(x)AB評 恒等式uvevlnu常用于處理冪指型函數(shù)的極限、導(dǎo)數(shù)等

x x 法

x x

xx

cosxxcosx x xxx

x1e，

∴

xcosexcos法 ∵x

xlncoslncos

x

1 x x∴

xcosexcos 2

（2）

x0ln(1x)

x 2（1）x0arctanx2~x2ln(1x)~xe2x1~2x22∴原式 12x0(x) x0ln(13xsinx)~3xsinx~3x2,tan

~

，∴原式

3

(x(x

x

x0【7】求極限x

f(x

f(x)

x1

x∵

f(x)

(x2)arctan12()1，

f(x)

(2

x

1)2x

x

x x

f(x【點(diǎn)評】ax,arctanx,arccotx，某些分段函數(shù)（函數(shù)表達(dá)式不同或相同但含有上述函數(shù)

ex0,limex；

arctan1,limarctan1

arccotx0,

2 arccotx

xxsinx故原式

11cos 1．

x0 x0x1n1n2n2n2n2n2

)．nn2n2nn2n2n2n2n2∵

nn2nn2

1111nn2

1111nanan k【10】設(shè)aa,

為k

nanannanan k

A 11i

nnnannnnanan k

【11】x1x2xn11（n2,3,x收斂，并求極限limx 1

n∵x1,

2x113x 11 1假設(shè)nk

xk

成立，則當(dāng)nk1xk

2

1

2

1xk

xk∴由數(shù)學(xué)歸納法可得：對任意正整數(shù)nxnxn1，即{xn}nnnx2 2，∴{x}為有界數(shù)列．于是，由單調(diào)有界準(zhǔn)則可得：{x}nnn1xnnn

a

2xn11a2a1a2a10n

1xn

1a1

5

0，故a1

5，即lim

1 5

n 求n項(xiàng)和（或n個(gè)因子積）【點(diǎn)評】求n項(xiàng)和（無窮項(xiàng)和）①將n③若n④利用無窮級數(shù)求和（如冪級數(shù)求和

f(x)【12】已知lim tan2x1，則當(dāng)x0時(shí)，無窮小f(x)關(guān)于x的階數(shù)是 3x1（A） （B） （B．

f(x) tan2x1，lim(3x1)

3x

f(x)0

f

0，

f(x)0x

tan

f(x)

x0tanf

x tan2xlimtan2x

f

x0f

3x

x02x2lnx的階數(shù)是2x2ax2【13】已知極限22

3，求常數(shù)ab2x2ax 2

1)0，x1sin(

axb)1ab0將b1a

x2ax2

x2ax12

(x1)(x1a)

x1

2

3

x

(x1)(x

x 故a4,b5§2連續(xù)與間斷理解函數(shù)連續(xù)性的概念（含左連續(xù)與右連續(xù)1（1）f(xx0f(xx0處左連續(xù)f(xx0處右連續(xù)

0xx00xx0

f(x)f(x)

f(x0)f(x0)f(xxx0處連續(xù)limf(xf(x0

y0f(x)在開區(qū)間(ab內(nèi)連續(xù)

f(x)在(a,b)f(x)在開區(qū)間[a,b上連續(xù)

f(x)在開區(qū)間(ab

f(x)f(a)，

f(x)f(b)

f(xxx0處連續(xù)

f(xxx0定理 若函數(shù)f(x),g(x)在點(diǎn)x（或區(qū)間I）均連續(xù)，則函f(x)g(x)，f(x)g(x)x（I）

f(x)（g(x)0定理 若(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)，f(u)在點(diǎn)u0(x0)處連續(xù)，則f[(x)]在點(diǎn)x0處連續(xù)x定理 若函數(shù)yf(x)在區(qū)間I上連續(xù)且單調(diào)增（減少則其反函數(shù)xf1(y)在xIy上也連續(xù)且單調(diào)增加（減少5f(x在[abf(x在[a,b上最大值、最小值均存在．6(有界定理)設(shè)f(x)在[abf(x)在[a,b上為有界函數(shù)．7f(x在[abf(x在[a,b上可取到介于最大值與最小值定理8(零點(diǎn)定理)設(shè)f(x)在[abf(a)f(b)0，則存在點(diǎn)a,b)f()01定理1x1評 初等函數(shù)在定義域內(nèi)未必連續(xù)．例如，函數(shù)f(xx1

x

f(xf(xx0的某去心鄰域U(?0

f(xf(x0x0f(x)f(xx0

f(x0)無定義

limf(x

f(x00

f(x)存在，但limf(x)f(x0f(xx0第一類間斷點(diǎn)（00

f

0xx0

f(x均存在·可去間斷點(diǎn)（

·跳躍間斷點(diǎn)（00

f(x)00

f(x)第二類間斷點(diǎn)（00

f

0xx0

f(x至少有一個(gè)不存在·無窮間斷點(diǎn)（00

f

0xx0

f(x至少有一個(gè)為無窮，……【1】f(x)在(,)x0x1x2(,滿f(x1x2f(x1f(x2)f(x在(, 【證】x(,f(xxlimy0 0yf(x0xf(x0f(x0f(xf(x0f(x0f(x1．f(x0limy0；0f(x00f(x0f(x00f(x0f(0f(0)1

y

f(x)[00

f(x)1]

f(x0)[f(0)1]0f(x)在(,)【2】f(x

x1

x

cosx

x 1

x【解】函數(shù)f(x)可改寫為f(x)

1xx

xf(x在(,11,11,內(nèi)都連續(xù)．因此，下面討論f(x)x1x1處的連續(xù)性．x1

f(x)

(1x0f(1（左連續(xù)

f(x)

limcosx0f(1（右連續(xù)

f(xx1x1limf(x)limcosx0f(1（左連續(xù)

f(xx1處連續(xù)．于是，f(x)在(,)內(nèi)連續(xù)．【3】設(shè)f(x)和(x)在(,)有定義，f(x)為連續(xù)函數(shù)，且f(x)0，(x)有f(x)(x)必有間斷點(diǎn) （2）f(x)(x)必有間斷點(diǎn)f[(x)]必有間斷點(diǎn) （4）[f(x)]必有間斷點(diǎn)2(x)必有間斷點(diǎn) （6）(x)必有間斷點(diǎn)f（1（1）若F(x)f(x)(x)連續(xù)，而f(x)連續(xù)，則(x)F(x)f(x)連續(xù)，若G(x)(x)連續(xù)，而f(x)連續(xù)，則(x)G(x)f(x)連續(xù) fsinx

x反例1f(x)x(x)

x

x0處間斷，而f(x)(x)sinx(,)反例2f(x1(x

xx0f[(x1在(,)x（4（5

x0x0f(x1，2(xx均在(,)【4f(x)是定義在區(qū)間[a,bx0(a,bx

f(xf(xx0【證】f(x在[a,bxU(?0xx0f(xf(x00xx0xx0f(xf(x00xx0

f(x)f(x