北師大版七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)學(xué)案（含解析）：第四章三角形4用尺規(guī)作三角形

4用尺規(guī)作三角形自主學(xué)習(xí) 知識(shí)梳理 快樂學(xué)習(xí)用尺規(guī)作三角形（）用尺規(guī)作三角形，其實(shí)質(zhì)可以歸結(jié)為兩個(gè)基本作圖，即：①作一條線段__________；②__________等于已知角．（）本節(jié)學(xué)到的用尺規(guī)作三角形，包括三種類型：①已知__________作三角形；②已知__________作三角形；③已知__________作三角形．【答案】（）①等于已知線段；②作一個(gè)角（）①三角形的兩邊及其夾角；②三角形的兩角及其夾邊；③三角形的三條邊【解析】當(dāng)堂達(dá)標(biāo) 活學(xué)巧練 鞏固基礎(chǔ)考點(diǎn)一：尺規(guī)作圖1．尺規(guī)作圖的畫圖工具是（）．A．刻度尺、圓規(guī) B．三角尺和量角器 C．直尺和量角器 D．沒有刻度的直尺和圓規(guī)【答案】D【解析】2．如圖，用尺規(guī)作出，作圖痕跡是（）． A．以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑的弧 B．以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑的弧 C．以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑的弧 D．以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑的弧【答案】D【解析】3．根據(jù)下列已知條件，能唯一畫出的是（）．A．，， B．，， C．，， D．，【答案】A【解析】考點(diǎn)二：用尺規(guī)作三角形4．用尺規(guī)作一個(gè)直角三角形，使其兩條直角邊分別等于已知線段時(shí)，實(shí)際上已知條件是（）．A．三角形的兩條邊和它們的夾角 B．三角形的三條邊 C．三角形的兩角和它們的夾邊 D．三角形的三個(gè)角【答案】A【解析】5．如圖所示，已知一個(gè)三角形的兩邊分別為線段，，并且邊上的中線為線段，求作此三角形．（要求：用尺規(guī)作圖，寫出已知、求作，保留作圖痕跡，不寫作法，要寫結(jié)論） 【答案】見解析【解析】解：已知；線段，，；求作；，使，，是的中點(diǎn)，且（或求作：，使，，邊上的中線）．結(jié)論：即為所求．6．如圖，已知線段，和，你能作出符合如下要求的唯一三角形嗎？，，．若能，寫出作法；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】見解析【解析】解：能作出兩個(gè)三角形．如圖，所以不能作出唯一的符合要求的三角形．理由：“”不能說(shuō)明兩個(gè)三角形全等，所以一般情況下，已知兩邊和其中一邊的對(duì)角不能作出唯一的三角形．7．（黃島區(qū)期末）已知：線段，和．求作：，使，，．（用圓規(guī)、直尺作圖，不寫作法，但要保留作圖痕跡）【答案】見解析【解析】解：如圖所示．強(qiáng)化訓(xùn)練 綜合演練 強(qiáng)化能力1．（分）如圖，小敏做試題時(shí)，不小心把題目中的三角形用墨水弄污了一部分，她想在一塊白紙上作一個(gè)完全一樣的三角形，然后粘貼在上面，她作圖的依據(jù)是（）． A． B． C． D．【答案】C【解析】2．（分）已知線段，，，求作，使，，，作法的合理順序?yàn)開_________．（填序號(hào)）①分別以點(diǎn)，為圓心，以，的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)；②連接，，則就是所求作的三角形；③作一條線段．【答案】③①②【解析】3．（分）（北京校級(jí)期中）閱讀下面材料：在數(shù)學(xué)課上，老師提出如下問(wèn)題，尺規(guī)作圖（圖①）：作一個(gè)角的平分線，已知：． 求作：的平分線． 小蕓的作法如下：請(qǐng)你跟隨小蕓的敘述，在圖②中完成這個(gè)尺規(guī)作圖．（）以點(diǎn)為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．（）分別以點(diǎn)，為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧在的內(nèi)部相交于點(diǎn)．（）畫射線，射線即為所求． 老師說(shuō)：“小蕓的作法正確．” 請(qǐng)回答：小蕓的作圖依據(jù)是__________．【答案】見解析【解析】解：如圖所示．4．（分）如圖是數(shù)軸的一部分，其單位長(zhǎng)度為．已知中，，，．用直尺和圓規(guī)作出．（要求：使點(diǎn)，在數(shù)軸上，保留作圖痕跡，不必寫出作法） 【答案】見解析【解析】解：如圖所示，即為所求．5．（分）如圖，已知線段和，只用直尺和圓規(guī)，求作，使，，．（保留作圖痕跡，不寫作法） 【答案】見解析【解析】解：如圖所示，即為所示．6．（分）已知：線段，．求作：，使，．（保留作圖痕跡，不寫作法）【答案】見解析【解析】解：如圖所示，即為所求．7．（分）（拓展提升題）已知一個(gè)三角形的兩條邊長(zhǎng)分別是和，一個(gè)內(nèi)角為．（）請(qǐng)你畫出一個(gè)滿足題設(shè)條件的三角形．（）你是否還能畫出既滿足題設(shè)條件，又與（）中所畫的三角形不全等的三角形？若能，請(qǐng)你用尺規(guī)作圖作出所有這樣的三角形；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．（數(shù)學(xué)思想鏈接：分類討論思想）【答案】見解析【解析】解：示例：（）如圖①．（）能．如圖②．5利用三角形全等測(cè)距離自主學(xué)習(xí) 知識(shí)梳理 快樂學(xué)習(xí)利用三角形全等測(cè)距離（）在測(cè)量不能直接測(cè)量的兩點(diǎn)之間的距離時(shí)，可以想辦法構(gòu)造兩個(gè)全等三角形，利用全等三角形的性質(zhì)“全等三角形的__________”，將其轉(zhuǎn)化為易于測(cè)量的線段．構(gòu)造全等三角形時(shí)要滿足全等三角形的判定方法：“”“”或“”．（）如圖所示，，在一水池的兩側(cè)，若，，，則水池寬__________． 【答案】（）對(duì)應(yīng)角相等（）【解析】當(dāng)堂達(dá)標(biāo) 活學(xué)巧練 鞏固基礎(chǔ)考點(diǎn)：利用三角形全等測(cè)距離1．要測(cè)量河兩岸相對(duì)的兩點(diǎn)，的距離，先在的垂線上取兩點(diǎn)，，使，再作出的垂線，使，，在一條直線上（如圖所示），可以說(shuō)明≌，通過(guò)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等，得出的長(zhǎng)，判定≌最恰當(dāng)?shù)睦碛墒牵ǎ?A．邊角邊 B．角邊角 C．邊邊邊 D．邊邊角【答案】B【解析】2．某大學(xué)計(jì)劃為新生配備如圖①所示的折疊凳．圖②是折疊凳撐開后的側(cè)面示意圖（木條等材料寬度忽略不計(jì)），其中凳腿和的長(zhǎng)相等，是它們的中點(diǎn)．為了使折疊凳坐著舒適，廠家將撐開后的折疊凳寬度設(shè)計(jì)為，則由以上信息可推得的長(zhǎng)度也為，依據(jù)是（）（數(shù)學(xué)思想鏈接：轉(zhuǎn)化思想） A． B． C． D．【答案】A【解析】3．如圖，要測(cè)量池塘兩岸相對(duì)的兩點(diǎn)，的距離，可以在的垂線上取兩點(diǎn)，，使，再作出的垂線，使，，三點(diǎn)在一條直線上，這時(shí)測(cè)得__________的長(zhǎng)就等于的長(zhǎng)．【答案】【解析】4．教室里有幾盆花，如圖①，要想測(cè)量這幾盆花兩旁的，兩點(diǎn)間的距離不方便，因此，選點(diǎn)，都能到達(dá)的一點(diǎn)，如圖②，連接并延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連接并延長(zhǎng)到點(diǎn)，使．那么，，兩點(diǎn)間的距離就是，兩點(diǎn)間的距離．理由：在和中，，所以≌（__________）．所以__________，所以只要測(cè)出，兩點(diǎn)間的距離就可知，兩點(diǎn)間的距離．【答案】，【解析】5．你一定玩過(guò)蹺蹺板吧！如圖是小明和小剛玩蹺蹺板的示意圖，橫板繞它的中點(diǎn)上下轉(zhuǎn)動(dòng)，立柱與地面垂直，當(dāng)一方著地時(shí)，另一方上升到最高點(diǎn)．問(wèn)：在上下轉(zhuǎn)動(dòng)橫板的過(guò)程中，兩人上升的最大高度，有何數(shù)量關(guān)系？為什么？ 【答案】見解析【解析】解：．理由如下：因?yàn)槭牵闹悬c(diǎn)，所以，．在與中，因?yàn)椋?，，所以≌．所以?．（即墨28中期末）如圖，，兩點(diǎn)分別位于一個(gè)假山兩邊，請(qǐng)你利用全等三角形的知識(shí)設(shè)計(jì)一種測(cè)量，間距離的方案，并說(shuō)明其中的道理． （）測(cè)量方案：（）理由：【答案】見解析【解析】解：（）測(cè)量方案：先在平地上取一個(gè)可直接到達(dá)，的點(diǎn)，連接，，并分別延長(zhǎng)至點(diǎn)，至點(diǎn)，使，，最后測(cè)出的距離即為的長(zhǎng)．（）理由：在和中，因?yàn)?，所以≌，所以（全等三角形的?duì)應(yīng)邊相等），所以的距離即為的長(zhǎng)．強(qiáng)化訓(xùn)練 綜合演練 強(qiáng)化能力1．（分）小明用同種材料制成的金屬框架如圖所示，已知，，，其中框架的質(zhì)量為克，的質(zhì)量為克，則整個(gè)金屬框架的質(zhì)量為（）． A．克 B．克 C．克 D．克【答案】D【解析】2．（分）（膠州市期末變式）如圖，，表示兩根長(zhǎng)度相等的鐵條，若為，的中點(diǎn)，經(jīng)測(cè)量，則容器內(nèi)徑為（）．（數(shù)學(xué)思想鏈接：轉(zhuǎn)化思想） A． B． C． D．【答案】D【解析】3．（分）如圖所示，，，，是四個(gè)村莊，，，在一條東西走向公路的沿線上，千米，千米，村莊，與，間也有公路相連且千米，只有，之間由于間隔了一個(gè)小湖泊，所以無(wú)直接相連的公路，現(xiàn)決定在湖面上造一座斜拉橋，測(cè)得千米，千米，那么建造的斜拉橋至少有__________千米．【答案】【解析】4．（分）（臨沭縣期中）如圖，課間小明拿著老師的等腰三角尺玩，不小心掉到兩條凳子之間（凳子與地面垂直）．已知，．則兩條凳子的高度之和為__________．【答案】【解析】5．（分）如圖，在新建的小區(qū)中，有一條“”字形綠色長(zhǎng)廓，其中，在，，三段綠色長(zhǎng)廊上各修一涼亭，，，且，點(diǎn)是的中點(diǎn)，在涼亭與之間有一池塘，不能直接到達(dá)．要想知道與的距離，只需要測(cè)出線段__________的長(zhǎng)度．理由是：可以說(shuō)明__________，從而由全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得出__________．【答案】，≌，【解析】6．（分）（宜昌）楊陽(yáng)同學(xué)沿一段筆直的人行道行走，在由步行到達(dá)處的過(guò)程中，通過(guò)隔離帶的空隙，剛好瀏覽完對(duì)面人行道宣傳墻上的社會(huì)主義核心價(jià)值觀標(biāo)語(yǔ)，其具體信息匯集如下：如圖，，相鄰兩平行線間的距離相等，，相交于，，垂足為，已知米，請(qǐng)根據(jù)上述信息求標(biāo)語(yǔ)的長(zhǎng)度．【答案】見解析【解析】解：因?yàn)椋裕驗(yàn)?，所以，所以，即．因?yàn)橄噜弮善叫芯€間的距離相等，所以．在與中，因?yàn)椋浴?，所以米?．（分）（拓展提升題）（一題多解）已知，兩點(diǎn)之間被一個(gè)池塘隔開，無(wú)法直接測(cè)量，但兩點(diǎn)可以到達(dá)，請(qǐng)你給出一個(gè)合適可行的方案，畫出設(shè)計(jì)圖，說(shuō)明依據(jù)．【答案】見解析【解析】解：方案一：找能到達(dá)，兩點(diǎn)的一點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)到點(diǎn)，使；連接并延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連接并測(cè)量出它的長(zhǎng)度，的長(zhǎng)就是的長(zhǎng)（如圖①）．方案二：找兩點(diǎn)，，使且，量出的長(zhǎng)，即得的長(zhǎng)[如圖②，由≌得到]．方案三：找一點(diǎn)，使，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，連接．量得的長(zhǎng)即得的長(zhǎng)（如圖③）．尖子生成長(zhǎng)計(jì)劃5 全等三角形中常見的輔助線一、翻折法1．如圖，在中，是的平分線，，垂足為．試說(shuō)明：． 【答案】見解析【解析】解：如圖，延長(zhǎng)交于點(diǎn)（相當(dāng)于將邊向下翻折，與邊重合，點(diǎn)落在點(diǎn)處，折痕為）．因?yàn)槠椒郑裕驗(yàn)?，所以．在和中，因?yàn)?，所以≌．所以．又因?yàn)椋裕?、?gòu)造法2．如圖，在直角三角形中，，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，于點(diǎn)，其延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，連接．試說(shuō)明：．【答案】見解析【解析】解：如圖，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．因?yàn)椋裕驗(yàn)?，所以，所以．所以．在和中，因?yàn)椋浴眨裕驗(yàn)辄c(diǎn)為的中點(diǎn)，所以，所以．又因?yàn)?，，所以．所以．在和中，因?yàn)椋浴眨裕裕?、旋轉(zhuǎn)法3．如圖，在正方形中，為上的一點(diǎn)，為上的一點(diǎn)，，求的度數(shù)．【答案】見解析【解析】解：如圖，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使得．因?yàn)?，，所以．在和中，因?yàn)椋浴眨?，．所以，即．因?yàn)?，所以，即．在和中，因?yàn)椋浴眨裕裕?、中線倍長(zhǎng)法4．如圖，在中，為的中點(diǎn)． （）試說(shuō)