初等數(shù)論論文-2

初等數(shù)論論文素?cái)?shù)及其應(yīng)用摘要：質(zhì)數(shù)又稱(chēng)素?cái)?shù)。指在一個(gè)大于1的自然數(shù)中，除了1和此整數(shù)自身外，不能被其他自然數(shù)整除的數(shù)。因?yàn)楹蠑?shù)是由若干個(gè)質(zhì)數(shù)相乘而得來(lái)的，所以，沒(méi)有質(zhì)數(shù)就沒(méi)有合數(shù)，由此可見(jiàn)素?cái)?shù)在數(shù)論中有著很重要的地位。比1大但不是素?cái)?shù)的數(shù)稱(chēng)為合數(shù)。1和0既非素?cái)?shù)也非合數(shù)。質(zhì)數(shù)是與合數(shù)相對(duì)立的兩個(gè)概念，二者構(gòu)成了數(shù)論當(dāng)中最基礎(chǔ)的定義之一?；谫|(zhì)數(shù)定義的基礎(chǔ)之上而建立的問(wèn)題有很多世界級(jí)的難題，如哥德巴赫猜想等。算術(shù)基本定理每一個(gè)比1大的數(shù)（即每個(gè)比1大的正整數(shù)）要么本身是一個(gè)素?cái)?shù)，要么可以寫(xiě)成一系列素?cái)?shù)的乘積，如果不考慮這些素?cái)?shù)的在乘積中的順序，那么寫(xiě)出來(lái)的形式是唯一的。這個(gè)定理的重要一點(diǎn)是，將1排斥在素?cái)?shù)集合以外。關(guān)鍵詞：素?cái)?shù)，無(wú)窮性，著名問(wèn)題，應(yīng)用素?cái)?shù)的概念概念\o"編輯本段"只有1和它本身兩個(gè)正因數(shù)的自然數(shù)，叫素?cái)?shù)(PrimeNumber)，又稱(chēng)質(zhì)素。（如：由2÷1=2，2÷2=1，可知2的因數(shù)只有1和它本身2這兩個(gè)約數(shù)，所以2就是質(zhì)數(shù)。與之相對(duì)立的是合數(shù)：“除了1和它本身兩個(gè)因數(shù)外，還有其它因數(shù)的數(shù)，叫合數(shù)?！比纾?÷1=4，4÷2=2，4÷4=1，很顯然，4的因數(shù)除了1和它本身4這兩個(gè)因數(shù)以外，還有因數(shù)2，所以4是合數(shù)。）100以?xún)?nèi)的質(zhì)數(shù)有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97，在100內(nèi)共有25個(gè)質(zhì)數(shù)。注：（1）2和3是所有素?cái)?shù)中唯一兩個(gè)連著的數(shù)。（2）2是唯一一個(gè)為偶數(shù)（雙數(shù)）的質(zhì)數(shù)。（3）質(zhì)數(shù)的平方數(shù)只有三個(gè)因數(shù).素?cái)?shù)無(wú)窮性的證明素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)是無(wú)窮的。最經(jīng)典的證明由歐幾里得證得，在他的《幾何原本》中就有記載。它使用了證明常用的方法：反證法。具體的證明如下：假設(shè)質(zhì)數(shù)只有有限的n個(gè)，從小到大依次排列為p1，p2，……，pn，設(shè)N=p1×p2×……×pn，那么，N+1是素?cái)?shù)或者不是素?cái)?shù)。如果N+1為素?cái)?shù)，則N+1要大于p1，p2，……，pn，所以它不在那些假設(shè)的素?cái)?shù)集合中。如果N+1為合數(shù)，因?yàn)槿魏我粋€(gè)合數(shù)都可以分解為幾個(gè)素?cái)?shù)的積；而N和N+1的最大公約數(shù)是1，所以N+1不可能被p1，p2，……，pn整除，所以該合數(shù)分解得到的素因數(shù)肯定不在假設(shè)的素?cái)?shù)集合中。因此無(wú)論該數(shù)是素?cái)?shù)還是合數(shù)，都意味著在假設(shè)的有限個(gè)素?cái)?shù)之外還存在著其他素?cái)?shù)。對(duì)任何有限個(gè)素?cái)?shù)的集合來(lái)說(shuō)，用上述的方法永遠(yuǎn)可以得到有一個(gè)素?cái)?shù)不在假設(shè)的素?cái)?shù)集合中的結(jié)論。所以原先的假設(shè)不成立。也就是說(shuō)，素?cái)?shù)有無(wú)窮多個(gè)。其他數(shù)學(xué)家也給出了他們自己的證明。歐拉利用黎曼函數(shù)證明了全部素?cái)?shù)的倒數(shù)之和是發(fā)散的，恩斯特·庫(kù)默的證明更為簡(jiǎn)潔，HillelFurstenberg則用拓?fù)鋵W(xué)加以證明。素?cái)?shù)計(jì)算盡管整個(gè)素?cái)?shù)是無(wú)窮的，仍然有人會(huì)問(wèn)“100,000以下有多少個(gè)素?cái)?shù)?”，“一個(gè)隨機(jī)的100位數(shù)多大可能是素?cái)?shù)?”。素?cái)?shù)定理可以回答此問(wèn)題。素?cái)?shù)、即質(zhì)數(shù)，是在大于1的整數(shù)中只能被1和其自身整除的數(shù)。梅森素?cái)?shù)以法國(guó)數(shù)學(xué)家馬蘭.梅森命名，指的是形如2的P次冪減一的素?cái)?shù)，而P本身也是素?cái)?shù)。迄今為止，數(shù)學(xué)界共計(jì)發(fā)現(xiàn)48個(gè)梅森素?cái)?shù)。中央密蘇里大學(xué)在2013年1月25日協(xié)調(diào)世界時(shí)23:30:26發(fā)現(xiàn)的那一素?cái)?shù)2的57,885,161次冪減一為迄今發(fā)現(xiàn)的最大素?cái)?shù)。素?cái)?shù)檢驗(yàn)\o"編輯本段"檢查一個(gè)正整數(shù)n是否為素?cái)?shù)，最簡(jiǎn)單的方法就是試除法，將該數(shù)n用小于等于根號(hào)n的所有素?cái)?shù)去試除，若均無(wú)法整除，則n為素?cái)?shù)，參見(jiàn)素?cái)?shù)判定法則。2002年，印度人M.Agrawal、N.Kayal以及N.Saxena提出了AKS質(zhì)數(shù)測(cè)試算法，證明了可以在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)檢驗(yàn)是否為素?cái)?shù)。著名問(wèn)題哥德巴赫猜想\o"編輯本段"在1742年給歐拉的信中哥德巴赫提出了以下猜想：任一大于2的整數(shù)都可寫(xiě)成三個(gè)質(zhì)數(shù)之和。因現(xiàn)今數(shù)學(xué)界已經(jīng)不使用“1也是素?cái)?shù)”這個(gè)約定，原初猜想的現(xiàn)代陳述為：任一大于5的整數(shù)都可寫(xiě)成三個(gè)質(zhì)數(shù)之和。歐拉在回信中也提出另一等價(jià)版本，即任一大于2的偶數(shù)想陳述為歐拉的版本。把命題"任一充分大的偶數(shù)都可以表示成為一個(gè)素因子個(gè)數(shù)不超過(guò)a個(gè)的數(shù)與另一個(gè)素因子不超過(guò)b個(gè)的數(shù)之和"記作"a+b"。1966年陳景潤(rùn)證明了"1+2"成立，即"任一充分大的偶數(shù)都可以表示成二個(gè)素?cái)?shù)的和，或是一個(gè)素?cái)?shù)和一個(gè)半素?cái)?shù)的和"。今日常見(jiàn)的猜想陳述為歐拉的版本，即任一大于2的偶數(shù)都可寫(xiě)成兩個(gè)素?cái)?shù)之和，亦稱(chēng)為“強(qiáng)哥德巴赫猜想”或“關(guān)于偶數(shù)的哥德巴赫猜想”。從關(guān)于偶數(shù)的哥德巴赫猜想，可推出任一大于7的奇數(shù)都可寫(xiě)成三個(gè)質(zhì)數(shù)之和的猜想。后者稱(chēng)為“弱哥德巴赫猜想”或“關(guān)于奇數(shù)的哥德巴赫猜想”。若關(guān)于偶數(shù)的哥德巴赫猜想是對(duì)的，則關(guān)于奇數(shù)的哥德巴赫猜想也會(huì)是對(duì)的。若哥德巴赫猜想尚未完全解決，但1937年時(shí)前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家維諾格拉多夫已經(jīng)證明充分大的奇質(zhì)數(shù)都能寫(xiě)成三個(gè)質(zhì)數(shù)的和，也稱(chēng)為“哥德巴赫-維諾格拉朵夫定理”或“三素?cái)?shù)定理”，數(shù)學(xué)家認(rèn)為弱哥德巴赫猜想已基本解決。黎曼猜想黎曼猜想是關(guān)于黎曼ζ函數(shù)ζ(s)的零點(diǎn)分布的猜想，由數(shù)學(xué)家波恩哈德·黎曼（1826--1866）于1859年提出。德國(guó)數(shù)學(xué)家希爾伯特列出23個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題．其中第8問(wèn)題中便有黎曼假設(shè)。素?cái)?shù)在自然數(shù)中的分布并沒(méi)有簡(jiǎn)單的規(guī)律。黎曼發(fā)現(xiàn)素?cái)?shù)出現(xiàn)的頻率與黎曼ζ函數(shù)緊密相關(guān)。黎曼猜想提出：黎曼ζ函數(shù)ζ(s)非平凡零點(diǎn)（在此情況下是指s不為-2、-4、-6等點(diǎn)的值）的實(shí)數(shù)部份是1/2。即所有非平凡零點(diǎn)都應(yīng)該位于直線(xiàn)1/2+ti（“臨界線(xiàn)”（criticalline））上。t為一實(shí)數(shù)，而i為虛數(shù)的基本單位。至今尚無(wú)人給出一個(gè)令人信服的關(guān)于黎曼猜想的合理證明。在黎曼猜想的研究中，數(shù)學(xué)家們把復(fù)平面上Re(s)=1/2的直線(xiàn)稱(chēng)為criticalline。運(yùn)用這一術(shù)語(yǔ)，黎曼猜想也可以表述為：黎曼ζ函數(shù)的所有非平凡零點(diǎn)都位于criticalline上。黎曼猜想是黎曼在1859年提出的。在證明素?cái)?shù)定理的過(guò)程中，黎曼提出了一個(gè)論斷：Zeta函數(shù)的零點(diǎn)都在直線(xiàn)Res(s)=1/2上。他在作了一番努力而未能證明后便放棄了，因?yàn)檫@對(duì)他證明素?cái)?shù)定理影響不大。但這一問(wèn)題至今仍然未能解決，甚至于比此假設(shè)簡(jiǎn)單的猜想也未能獲證。而函數(shù)論和解析數(shù)論中的很多問(wèn)題都依賴(lài)于黎曼假設(shè)。在代數(shù)數(shù)論中的廣義黎曼假設(shè)更是影響深遠(yuǎn)。若能證明黎曼假設(shè)，則可帶動(dòng)許多問(wèn)題的解決。孿生素?cái)?shù)猜想1849年，波林那克提出孿生質(zhì)數(shù)猜想（theconjectureoftwinprimes），即猜測(cè)存在無(wú)窮多對(duì)孿生質(zhì)數(shù)。猜想中的“孿生質(zhì)數(shù)”是指一對(duì)質(zhì)數(shù)，它們之間相差2。例如3和5，5和7，11和13，10,016,957和10,016,959等等都是孿生質(zhì)數(shù)。費(fèi)馬數(shù)被稱(chēng)為“17世紀(jì)最偉大的法國(guó)數(shù)學(xué)家”的費(fèi)馬，也研究過(guò)質(zhì)數(shù)的性質(zhì)。他發(fā)現(xiàn)，設(shè)Fn=2^(2^n)+1，則當(dāng)n分別等于0、1、2、3、4時(shí)，F(xiàn)n分別給出3、5、17、257、65,537，都是質(zhì)數(shù)，由于F5太大（F5=4,294,967,297），他沒(méi)有再往下檢測(cè)就直接猜測(cè)：對(duì)于一切自然數(shù)，F(xiàn)n都是質(zhì)數(shù)。這便是費(fèi)馬數(shù)。費(fèi)馬死后67年，25歲的瑞士數(shù)學(xué)家歐拉證明：F5=641×6,700,417是一個(gè)合數(shù)。以后的Fn值，數(shù)學(xué)家再也沒(méi)有找到哪個(gè)Fn值是質(zhì)數(shù)，全部都是合數(shù)。由于平方開(kāi)得較大，因而能夠證明的也很少?，F(xiàn)在數(shù)學(xué)家們?nèi)〉肍n的最大值為：n=1,495，其位數(shù)多達(dá)10^10584位，當(dāng)然它盡管非常之大，但也不是個(gè)質(zhì)數(shù)。高斯已經(jīng)證明，一個(gè)正多邊形能用直尺和圓規(guī)作出當(dāng)且僅當(dāng)邊數(shù)為質(zhì)數(shù)的Fn或若干個(gè)為質(zhì)數(shù)的Fn的乘積。梅森素?cái)?shù)17世紀(jì)還有位法國(guó)數(shù)學(xué)家叫梅森，他曾經(jīng)做過(guò)一個(gè)猜想：當(dāng)2^p-1中的p是質(zhì)數(shù)時(shí)，2^p-1是質(zhì)數(shù)。他驗(yàn)算出：當(dāng)p=2、3、5、7、17、19時(shí)，所得代數(shù)式的值都是質(zhì)數(shù)，后來(lái)，歐拉證明p=31時(shí)，2^p-1是質(zhì)數(shù)。p=2，3，5，7時(shí)，2^p-1都是素?cái)?shù)，但p=11時(shí)，所得2,047=23×89卻不是素?cái)?shù)。梅森去世250年后，美國(guó)數(shù)學(xué)家科勒證明，2^67-1=193,707,721×761,838,257,287，是一個(gè)合數(shù)。這是第九個(gè)梅森數(shù)。20世紀(jì)，人們先后證明：第10個(gè)梅森數(shù)是質(zhì)數(shù)，第11個(gè)梅森數(shù)是合數(shù)。質(zhì)數(shù)排列得雜亂無(wú)章，也給人們尋找質(zhì)數(shù)規(guī)律造成了困難。目前最大的已知質(zhì)數(shù)是梅森質(zhì)數(shù)2^57,885,161－1。迄今為止，人類(lèi)僅發(fā)現(xiàn)48個(gè)梅森質(zhì)數(shù)。由于這種質(zhì)數(shù)珍奇而迷人，它被人們稱(chēng)為“數(shù)學(xué)珍寶”。中國(guó)數(shù)學(xué)家和語(yǔ)言學(xué)家周海中根據(jù)已知的梅森質(zhì)數(shù)及其排列，巧妙地運(yùn)用聯(lián)系觀察法和不完全歸納法，于1992年正式提出了梅森素質(zhì)分布的猜想(即周氏猜測(cè))。相關(guān)定理\o"編輯本段"素?cái)?shù)定理素?cái)?shù)定理描述素?cái)?shù)的大致分布情況。素?cái)?shù)的出現(xiàn)規(guī)律一直困惑著數(shù)學(xué)家。一個(gè)個(gè)地看，素?cái)?shù)在正整數(shù)中的出現(xiàn)沒(méi)有什么規(guī)律?？墒强傮w地看，素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)竟然有規(guī)可循。對(duì)正實(shí)數(shù)x，定義π(x)為不大于x的素?cái)?shù)個(gè)數(shù)。數(shù)學(xué)家找到了一些函數(shù)來(lái)估計(jì)π(x)的增長(zhǎng)。以下是第一個(gè)這樣的估計(jì)。π(x)≈x/lnx其中l(wèi)nx為x的自然對(duì)數(shù)。上式的意思是當(dāng)x趨近∞，π(x)和x/lnx的比趨近1（注：該結(jié)果為高斯所發(fā)現(xiàn)）。但這不表示它們的數(shù)值隨著x增大而接近。下面是對(duì)π(x)更好的估計(jì)：π(x)=Li(x)+O(xe^(-(lnx)^(1/2)/15)，當(dāng)x趨近∞。其中Li(x)=∫(dt/lnx2,x)，而關(guān)系式右邊第二項(xiàng)是誤差估計(jì)。素?cái)?shù)定理可以給出第n個(gè)素?cái)?shù)p(n)的漸近估計(jì)：p(n)～n/lnn.它也給出從整數(shù)中抽到素?cái)?shù)的概率。從不大于n的自然數(shù)隨機(jī)選一個(gè)，它是素?cái)?shù)的概率大約是1/lnn。這定理的式子於1798年法國(guó)數(shù)學(xué)家勒讓德提出。1896年法國(guó)數(shù)學(xué)家哈達(dá)瑪(JacquesHadamard)和比利時(shí)數(shù)學(xué)家普森(CharlesJeandelaVallée-Poussin)先後獨(dú)立給出證明。證明用到了復(fù)分析，尤其是黎曼ζ函數(shù)。因?yàn)槔杪坪瘮?shù)與π(x)關(guān)系密切，關(guān)于黎曼ζ函數(shù)的黎曼猜想對(duì)數(shù)論很重要。一旦猜想獲證，便能大大改進(jìn)素?cái)?shù)定理誤差的估計(jì)。1901年瑞典數(shù)學(xué)家HelgevonKoch證明出，假設(shè)黎曼猜想成立，以上關(guān)系式誤差項(xiàng)的估計(jì)可改進(jìn)為:π(x)=Li(x)+O(x^(1/2)lnx)至於大O項(xiàng)的常數(shù)則還未知道。素?cái)?shù)定理有些初等證明只需用數(shù)論的方法。第一個(gè)初等證明于1949年由匈牙利數(shù)學(xué)家保羅·艾狄胥（“愛(ài)爾多斯”，或“愛(ài)爾多?！保┖团餐?shù)學(xué)家阿特利·西爾伯格合作得出。在此之前一些數(shù)學(xué)家不相信能找出不需借助艱深數(shù)學(xué)的初等證明。像英國(guó)數(shù)學(xué)家哈代便說(shuō)過(guò)素?cái)?shù)定理必須以復(fù)分析證明，顯出定理結(jié)果的「深度」。他認(rèn)為只用到實(shí)數(shù)不足以解決某些問(wèn)題，必須引進(jìn)復(fù)數(shù)來(lái)解決。這是憑感覺(jué)說(shuō)出來(lái)的，覺(jué)得一些方法比別的更高等也更厲害，而素?cái)?shù)定理的初等證明動(dòng)搖了這論調(diào)。Selberg－艾狄胥的證明正好表示，看似初等的組合數(shù)學(xué)，威力也可以很大。但是，有必要指出的是，雖然該初等證明只用到初等的辦法，其難度甚至要比用到復(fù)分析的證明遠(yuǎn)為困難。算術(shù)基本定理任何一個(gè)大于1的自然數(shù)N，都可以唯一分解成有限個(gè)質(zhì)數(shù)的乘積N=(P_1^a1)*(P_2^a2)......(P_n^an),這里P_1<P_2<...<P_n是質(zhì)數(shù)，其諸方冪ai是正整數(shù)。這樣的分解稱(chēng)為N的標(biāo)準(zhǔn)分解式。算術(shù)基本定理的內(nèi)容由兩部分構(gòu)成：分解的存在性、分解的唯一性（即若不考慮排列的順序，正整數(shù)分解為素?cái)?shù)乘積的方式是唯一的）。算術(shù)基本定理是初等數(shù)論中一個(gè)基本的定理，也是許多其他定理的邏輯支撐點(diǎn)和出發(fā)點(diǎn)。此定理可推廣至更一般的交換代數(shù)和代數(shù)數(shù)論。高斯證明復(fù)整數(shù)環(huán)Z[i]也有唯一分解定理。它也誘導(dǎo)了諸如唯一分解整環(huán)，歐幾里得整環(huán)等等概念。更一般的還有戴德金理想分解定理。素?cái)?shù)等差數(shù)列等差數(shù)列是數(shù)列的一種。在等差數(shù)列中，任何相鄰兩項(xiàng)的差相等。該差值稱(chēng)為公差。類(lèi)似7、37、67、97、107、137、167、197。這樣由素?cái)?shù)組成的數(shù)列叫做等差素?cái)?shù)數(shù)列。2004年，格林和陶哲軒證明存在任意長(zhǎng)的素?cái)?shù)等差數(shù)列。2004年4月18日，兩人宣布：他們證明了“存在任意長(zhǎng)度的素?cái)?shù)等差數(shù)列”，也就是說(shuō)，對(duì)于任意值K，存在K個(gè)成等差級(jí)數(shù)的素?cái)?shù)。例如K=3，有素?cái)?shù)序列3,5,7（每?jī)蓚€(gè)差2）……K=10，有素?cái)?shù)序列199,409,619,829,1039,1249,1459,1669,1879,2089（每?jī)蓚€(gè)差210）。未解之謎哥德巴赫猜想：是否每個(gè)大于2的偶數(shù)都可寫(xiě)成兩個(gè)素?cái)?shù)之和？孿生素?cái)?shù)猜想：孿生素?cái)?shù)就是差為2的素?cái)?shù)對(duì)，例如11和13。是否存在無(wú)窮多的孿生素?cái)?shù)？斐波那契數(shù)列內(nèi)是否存在無(wú)窮多的素?cái)?shù)？是否有無(wú)窮多個(gè)的梅森素?cái)?shù)？在n2與（n+1）2之間是否每隔n就有一個(gè)素?cái)?shù)？是否存在無(wú)窮個(gè)形式如X2+1素?cái)?shù)？黎曼猜想素?cái)?shù)的應(yīng)用質(zhì)數(shù)被利用在密碼學(xué)上，所謂的公鑰就是將想要傳遞的信息在編碼時(shí)加入質(zhì)數(shù)，編碼之后傳送給收信人，任何人收到此信息后，若沒(méi)有此收信人所擁有的密鑰，則解密的過(guò)程中（實(shí)為尋找素?cái)?shù)的過(guò)程），將會(huì)因?yàn)檎屹|(zhì)數(shù)的過(guò)程（分解質(zhì)因數(shù)）過(guò)久，使即使取得信息也會(huì)無(wú)意義。在汽車(chē)變速箱齒輪的設(shè)計(jì)上，相鄰的兩個(gè)大小齒輪齒數(shù)最好設(shè)計(jì)成質(zhì)數(shù)，以增加兩齒輪內(nèi)兩個(gè)相同的齒相遇嚙合次數(shù)的最小公倍數(shù)，可增強(qiáng)耐用度減少故障。在害蟲(chóng)的生物生長(zhǎng)周期與殺蟲(chóng)劑使用之間的關(guān)系上，殺蟲(chóng)劑的質(zhì)數(shù)次數(shù)的使用也得到了證明。實(shí)驗(yàn)表明，質(zhì)數(shù)次數(shù)地使用殺蟲(chóng)劑是最合理的：都是使用在害蟲(chóng)繁殖的高潮期，而且害蟲(chóng)很難產(chǎn)生抗藥性。以質(zhì)數(shù)形式無(wú)規(guī)律變化的導(dǎo)彈和魚(yú)雷可以使敵人不易攔截。多數(shù)生物的生命周期也是質(zhì)數(shù)（單位為年），這樣可以最大程度地減少碰見(jiàn)天敵的機(jī)會(huì)。素?cái)?shù)的最新成果\o"編輯本段"數(shù)論是純粹數(shù)學(xué)的分支之一，主要研究整數(shù)的性質(zhì)。而整數(shù)的基本元素是素?cái)?shù)（也稱(chēng)質(zhì)數(shù)），所以數(shù)論的本質(zhì)是對(duì)素?cái)?shù)性質(zhì)的研究。數(shù)論被高斯譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的皇冠”。因此，數(shù)學(xué)家都喜歡把數(shù)論中一些懸而未決的疑難問(wèn)題，叫做“皇冠上的明珠”，以鼓勵(lì)人們?nèi)ァ罢　?。發(fā)現(xiàn)已知的最大素?cái)?shù)美國(guó)中央密蘇里大學(xué)數(shù)學(xué)家柯蒂斯·庫(kù)珀領(lǐng)導(dǎo)的研究小組通過(guò)參加一個(gè)名為“互聯(lián)網(wǎng)梅森素?cái)?shù)大索”（GIMPS）的國(guó)際合作項(xiàng)目，于2013年1月25日發(fā)現(xiàn)了目前已知的最大素?cái)?shù)——2^57885161-1（即2的57885161次方減1）。該素?cái)?shù)是第48個(gè)梅森素?cái)?shù)，有17425170位；如果用普通字號(hào)將它連續(xù)打印下來(lái)，其長(zhǎng)度可超過(guò)65公里！美國(guó)數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)發(fā)言人邁克·布林宣稱(chēng)：這是數(shù)論研究的一項(xiàng)重大突破。研究小組在大約1000臺(tái)大學(xué)里的計(jì)算機(jī)上運(yùn)行GIMPS的軟件，每臺(tái)計(jì)算機(jī)都不間斷地用了39天時(shí)間證明2^57885161-1是個(gè)素?cái)?shù)。之后其他研究者也獨(dú)立驗(yàn)證了這一結(jié)果。庫(kù)珀通過(guò)參加GIMPS項(xiàng)目一共發(fā)現(xiàn)了3個(gè)梅森素?cái)?shù)。尋找梅森素?cái)?shù)已成為發(fā)現(xiàn)已知最大素?cái)?shù)的最有效途徑。如今世界上有180多個(gè)國(guó)家和地區(qū)近28萬(wàn)人參加了GIMPS項(xiàng)目，并動(dòng)用超過(guò)79萬(wàn)臺(tái)計(jì)算機(jī)聯(lián)網(wǎng)來(lái)尋找新的梅森素?cái)?shù)。梅森素?cái)?shù)是否有無(wú)窮多個(gè)？這是一個(gè)尚未破解的著名數(shù)學(xué)謎題。證明“弱孿生素?cái)?shù)猜想”美國(guó)新罕布什爾大學(xué)數(shù)學(xué)家張益唐經(jīng)過(guò)多年努力，在不依賴(lài)未經(jīng)證明推論的前提下，率先證明了一個(gè)“弱孿生素?cái)?shù)猜想”，即“存在無(wú)窮多個(gè)之差小于7000萬(wàn)的素?cái)?shù)對(duì)”。4月17日，他將論文投稿給世界頂級(jí)期刊《數(shù)學(xué)年刊》。美國(guó)數(shù)學(xué)家、審稿人之一亨里克·艾溫尼科評(píng)價(jià)說(shuō)：“這是一流的數(shù)學(xué)工作。”他相信不久會(huì)有很多人把“7000萬(wàn)”這個(gè)數(shù)字“變小”。盡管從證明弱孿生素?cái)?shù)猜想到證明孿生素?cái)?shù)猜想還有相當(dāng)?shù)木嚯x，英國(guó)《自然》雜志在線(xiàn)報(bào)道還是稱(chēng)張益唐的證明為一個(gè)“重要的里程碑”。由于孿生素?cái)?shù)猜想與哥德巴赫猜想密切相關(guān)（姐妹問(wèn)題），很多數(shù)學(xué)家希望通過(guò)解決這個(gè)猜想，進(jìn)而攻克哥德巴赫猜想。值得一提的是，英國(guó)數(shù)學(xué)家戈弗雷·哈代和約翰·李特爾伍德曾提出一個(gè)“強(qiáng)孿生素?cái)?shù)猜想”。這一猜想不僅提出孿生素?cái)?shù)有無(wú)窮多對(duì)，而且還給出其漸近分布形式。中國(guó)數(shù)學(xué)家周海中指出：要證明強(qiáng)孿生素?cái)?shù)猜想，人們?nèi)砸鎸?duì)許多巨大的困難。解開(kāi)“弱哥德巴赫猜想”2013年5月13日，秘魯數(shù)學(xué)家哈拉爾德·赫爾弗戈特在巴黎高等師范學(xué)院宣稱(chēng)：證明了一個(gè)“弱哥德巴赫猜想”，即“任何一個(gè)大于7的奇數(shù)都能被表示成3個(gè)奇素?cái)?shù)之和”。他將論文投稿給全球最大的預(yù)印本網(wǎng)站（arXiv）；有專(zhuān)家認(rèn)為這是哥德巴赫猜想研究的一項(xiàng)重大成果。不過(guò)，其證明是否成立，還有待進(jìn)一步考證。赫爾弗戈特在論證技術(shù)上主要使用了哈代-李特爾伍德-維諾格拉多夫圓法。在這一圓法中，數(shù)學(xué)家創(chuàng)建了一個(gè)周期函數(shù)，其范圍包括所有素?cái)?shù)。1923年，哈代和李特爾伍德證明，假設(shè)廣義黎曼猜想成立，三元哥德巴赫猜想對(duì)充分大的奇數(shù)是正確的；1937年，蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家伊萬(wàn)·維諾格拉多夫更進(jìn)一步，在無(wú)須廣義黎曼猜想的情形下，直接證明了充分大的奇數(shù)可以表示為3個(gè)素?cái)?shù)之和。英國(guó)數(shù)學(xué)家安德魯·格蘭維爾稱(chēng)，不幸的是，由于技術(shù)原因，赫爾弗戈特的方法很難證明“強(qiáng)哥德巴赫猜想”，即“關(guān)于偶數(shù)的哥德巴赫猜想”。如今數(shù)學(xué)界的主流意見(jiàn)認(rèn)為：要證明強(qiáng)哥德巴赫猜想，還需要新的思路和工具，或者在現(xiàn)有的方法上進(jìn)行重大的改進(jìn)。初等證明\o"編輯本段"素?cái)?shù)定理有些初等證明只需用數(shù)論的方法。第一個(gè)初等證明於1949年由匈牙利數(shù)學(xué)家保羅·艾狄胥（“愛(ài)爾多斯”，或“愛(ài)爾多?！保┖团餐?shù)學(xué)家阿特利·西爾伯格合作得出。在此之前一些數(shù)學(xué)家不相信能找出不需借助艱深數(shù)學(xué)的初等證明。像英國(guó)數(shù)學(xué)家哈代便說(shuō)過(guò)素?cái)?shù)定理必須以復(fù)分析證明，顯出定理結(jié)果的「深度」。他認(rèn)為只用到實(shí)數(shù)不足以解決某些問(wèn)題，必須引進(jìn)復(fù)數(shù)來(lái)解決。這是憑感覺(jué)說(shuō)出來(lái)的，覺(jué)得一些方法比別的更高等也更厲害，而素?cái)?shù)定理的初等證明動(dòng)搖了這論調(diào)。Selberg－艾狄胥的證明正好表示，看似初等的組合數(shù)學(xué)，威力也可以很大。但是，有必要指出的是，雖然該初等證明只用到初等的辦法，其難度甚至要比用到復(fù)分析的證明遠(yuǎn)為困難。質(zhì)數(shù)趣談\o"編輯本段"孿生素?cái)?shù)和廣義孿生素?cái)?shù)眾所周知，孿生素?cái)?shù)指的是恰好相差2的兩個(gè)質(zhì)數(shù)。為什么是相差2，不是相差1呢？相差1的質(zhì)數(shù)只有2和3一對(duì)（偶質(zhì)數(shù)只有一個(gè)），太平凡；而相差2的有無(wú)窮多對(duì)，而且規(guī)律難以捉摸，這就成為了數(shù)學(xué)家們樂(lè)此不疲的研究課題。不少人相信，孿生素?cái)?shù)有無(wú)窮多對(duì)，不過(guò)這個(gè)猜想至少未證明，卻成為了數(shù)學(xué)界上最著名的未解問(wèn)題之一[6]。而“廣義”的“孿生”素?cái)?shù)則是指相差不超過(guò)k的一對(duì)素?cái)?shù)。有人說(shuō)，這種素?cái)?shù)不是很常見(jiàn)嗎？比如k等于10的時(shí)候，在1000以?xún)?nèi)這種“廣義”的孿生素?cái)?shù)俯拾即是，不是很平凡嗎？非也。眾所周知，離原點(diǎn)越遠(yuǎn)，質(zhì)數(shù)越稀疏，故數(shù)字大的時(shí)候這種廣義孿生質(zhì)數(shù)沒(méi)有想象中這么容易找到。同時(shí)，既然孿生素?cái)?shù)猜想這么難證明，我們可以退求其次，證明“廣義孿生素?cái)?shù)”有無(wú)窮多對(duì)，哥德巴赫猜想就是這么一步一步發(fā)展的——從（9+9）到（1+5）再到（1+4）（1+3）（1+2），至今距離哥德巴赫猜想本身——（1+1）只剩一步之遙了。數(shù)論一般都是如此，用最普通的數(shù)學(xué)歸納基本上是不可