初中數(shù)學(xué)最值問題典型例題附含答案解析分析

./中考數(shù)學(xué)最值問題總結(jié)考查知識點：1、"兩點之間線段最短","垂線段最短","點關(guān)于線對稱","線段的平移"?！?、代數(shù)計算最值問題3、二次函數(shù)中最值問題問題原型：飲馬問題造橋選址問題〔完全平方公式配方求多項式取值二次函數(shù)頂點出題背景變式：角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圓、坐標(biāo)軸、拋物線等。解題總思路：找點關(guān)于線的對稱點實現(xiàn)"折"轉(zhuǎn)"直"AB′PlAB′Pl條件：如下左圖,、是直線同旁的兩個定點．問題：在直線上確定一點,使的值最小．方法：作點關(guān)于直線的對稱點,連結(jié)交于點,則的值最小例1、如圖,四邊形ABCD是正方形,△ABE是等邊三角形,M為對角線BD〔不含B點上任意一點,將BM繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到BN,連接EN、AM、CM．〔1求證：△AMB≌△ENB；〔2①當(dāng)M點在何處時,AM+CM的值最小；②當(dāng)M點在何處時,AM+BM+CM的值最小,并說明理由；〔3當(dāng)AM+BM+CM的最小值為時,求正方形的邊長。例2、如圖13,拋物線y=ax2＋bx＋c<a≠0>的頂點為〔1,4,交x軸于A、B,交y軸于D,其中B點的坐標(biāo)為〔3,0〔1求拋物線的解析式〔2如圖14,過點A的直線與拋物線交于點E,交y軸于點F,其中E點的橫坐標(biāo)為2,若直線PQ為拋物線的對稱軸,點G為PQ上一動點,則x軸上是否存在一點H,使D、G、F、H四點圍成的四邊形周長最小.若存在,求出這個最小值及G、H的坐標(biāo)；若不存在,請說明理由.〔3如圖15,拋物線上是否存在一點T,過點T作x的垂線,垂足為M,過點M作直線MN∥BD,交線段AD于點N,連接MD,使△DNM∽△BMD,若存在,求出點T的坐標(biāo)；若不存在,說明理由.例3、如圖1,四邊形AEFG與ABCD都是正方形,它們的邊長分別為a,b<b≥2a>,且點F在AD上〔以下問題的結(jié)果可用a,b表示〔1求S△DBF;<2>把正方形AEFG繞點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)450得圖2,求圖2中的S△DBF;<3>把正方形AEFG繞點A旋轉(zhuǎn)任意角度,在旋轉(zhuǎn)過程中,S△DBF是否存在最大值,最小值?如果存在,試求出最大值、最小值；如果不存在,請說明理由。例4、如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線與拋物線交于A,B兩點,點A在x軸上,點B的縱坐標(biāo)為3。點P是直線AB下方的拋物線上一動點〔不與A,B重合,過點P作x軸的垂線交直線AB與點C,作PD⊥AB于點D〔1求a,b及的值〔2設(shè)點P的橫坐標(biāo)為①用含的代數(shù)式表示線段PD的長,并求出線段PD長的最大值；②連接PB,線段PC把△PDB分成兩個三角形,是否存在適合的值,使這兩個三角形的面積之比為9：10？若存在,直接寫出值；若不存在,說明理由.例5、如圖,⊙C的內(nèi)接△AOB中,AB=AO=4,tan∠AOB=,拋物線經(jīng)過點A<4,0>與點〔-2,6.〔1求拋物線的函數(shù)解析式；〔2直線m與⊙C相切于點A,交y于點D.動點P在線段OB上,從點O出發(fā)向點B運動；同時動點Q在線段DA上,從點D出發(fā)向點A運動；點P的速度為每秒1個單位長,點Q的速度為每秒2個單位長,當(dāng)PQ⊥AD時,求運動時間t的值；〔3點R在拋物線位于x軸下方部分的圖象上,當(dāng)△ROB面積最大時,求點R的坐標(biāo).例1、證明：〔1∵△ABE是等邊三角形,∴BA=BE,∠ABE=60°．∵∠MBN=60°,∴∠MBN-∠ABN=∠ABE-∠ABN．即∠MBA=∠NBE．又∵M(jìn)B=NB,∴△AMB≌△ENB〔SAS．〔5分解：〔2①當(dāng)M點落在BD的中點時,A、M、C三點共線,AM+CM的值最小．〔7分②如圖,連接CE,當(dāng)M點位于BD與CE的交點處時,AM+BM+CM的值最小．〔9分理由如下：連接MN,由〔1知,△AMB≌△ENB,∴AM=EN,∵∠MBN=60°,MB=NB,∴△BMN是等邊三角形．∴BM=MN．∴AM+BM+CM=EN+MN+CM．〔10分根據(jù)"兩點之間線段最短",得EN+MN+CM=EC最短∴當(dāng)M點位于BD與CE的交點處時,AM+BM+CM的值最小,即等于EC的長．〔11分例2、解：〔1設(shè)所求拋物線的解析式為：,依題意,將點B〔3,0代入,得：解得：a＝－1∴所求拋物線的解析式為：〔2如圖6,在y軸的負(fù)半軸上取一點I,使得點F與點I關(guān)于x軸對稱,在x軸上取一點H,連接HF、HI、HG、GD、GE,則HF＝HI…①設(shè)過A、E兩點的一次函數(shù)解析式為：y＝kx＋b〔k≠0,∵點E在拋物線上且點E的橫坐標(biāo)為2,將x＝2代入拋物線,得∴點E坐標(biāo)為〔2,3又∵拋物線圖像分別與x軸、y軸交于點A、B、D∴當(dāng)y＝0時,,∴x＝－1或x＝3當(dāng)x＝0時,y＝－1＋4＝3,∴點A〔－1,0,點B〔3,0,點D〔0,3又∵拋物線的對稱軸為：直線x＝1,∴點D與點E關(guān)于PQ對稱,GD＝GE…②分別將點A〔－1,0、點E〔2,3代入y＝kx＋b,得：解得：過A、E兩點的一次函數(shù)解析式為：y＝x＋1∴當(dāng)x＝0時,y＝1∴點F坐標(biāo)為〔0,1∴=2………③又∵點F與點I關(guān)于x軸對稱,∴點I坐標(biāo)為〔0,－1∴………④又∵要使四邊形DFHG的周長最小,由于DF是一個定值,∴只要使DG＋GH＋HI最小即可由圖形的對稱性和①、②、③,可知,DG＋GH＋HF＝EG＋GH＋HI只有當(dāng)EI為一條直線時,EG＋GH＋HI最小設(shè)過E〔2,3、I〔0,－1兩點的函數(shù)解析式為：,分別將點E〔2,3、點I〔0,－1代入,得：解得：過A、E兩點的一次函數(shù)解析式為：y＝2x－1∴當(dāng)x＝1時,y＝1；當(dāng)y＝0時,x＝；∴點G坐標(biāo)為〔1,1,點H坐標(biāo)為〔,0∴四邊形DFHG的周長最小為：DF＋DG＋GH＋HF＝DF＋EI由③和④,可知：DF＋EI＝∴四邊形DFHG的周長最小為?！?如圖7,由題意可知,∠NMD＝∠MDB,要使,△DNM∽△BMD,只要使即可,即：………………⑤設(shè)點M的坐標(biāo)為〔a,0,由MN∥BD,可得△AMN∽△ABD,∴再由〔1、〔2可知,AM＝1＋a,BD＝,AB＝4∴∵,∴⑤式可寫成：解得：或〔不合題意,舍去∴點M的坐標(biāo)為〔,0又∵點T在拋物線圖像上,∴當(dāng)x＝時,y＝∴點T的坐標(biāo)為〔,.例3、解：〔1∵點F在AD上,∴AF2=a2＋a2,即AF=?！?。∴?！?連接DF,AF,由題意易知AF∥BD,∴四邊形AFDB是梯形?！唷鱀BF與△ABD等高同底,即BD為兩三角形的底。由AF∥BD,得到平行線間的距離相等,即高相等,∴?！?正方形AEFG在繞A點旋轉(zhuǎn)的過程中,F點的軌跡是以點A為圓心,AF為半徑的圓。第一種情況：當(dāng)b＞2a時,存在最大值及最小值,∵△BFD的邊BD=,∴當(dāng)F點到BD的距離取得最大、最小值時,S△BFD取得最大、最小值。如圖,當(dāng)DF⊥BD時,S△BFD的最大值=,S△BFD的最小值=。第二種情況：當(dāng)b=2a時,存在最大值,不存在最小值,S△BFD的最大值=。例4、解：〔1由,得到x=－2,∴A〔－2,0。由,得到x=4,∴B〔4,3?！呓?jīng)過A、B兩點,∴,解得。設(shè)直線AB與y軸交于點E,則E〔0,1?！喔鶕?jù)勾股定理,得AE=。∵PC∥y軸,∴∠ACP=∠AEO。∴。〔2①由〔1可知拋物線的解析式為。由點P的橫坐標(biāo)為,得P,C?！郟C=。在Rt△PCD中,,∵,∴當(dāng)m=1時,PD有最大值。②存在滿足條件的值,。例5、解：〔1將點A〔4,0和點〔-2,6的坐標(biāo)代入中,得方程組,解之,得.∴拋物線的解析式為.〔2連接AC交OB于E.∵直線m切⊙C于A∴AC⊥m,∵弦AB=AO,∴.∴AC⊥OB,∴m∥OB.∴∠OAD=∠AOB,∵OA=4tan∠AOB=,∴OD=OA·tan∠OAD=4×=3.作OF⊥AD于F.則OF=OA·sin∠OAD=4×=2.4.t秒時,OP=t,DQ=2t,若PQ⊥AD,則FQ=OP=t.DF=DQ－FQ=t.⊿ODF中,t=DF==1.8秒.〔3令R<x,x2－2x><0＜x＜4>.作RG⊥y軸于G作RH⊥OB于H交y軸于I.則RG=x,O