第一章隨機(jī)與概率03節(jié)

第一章

概率論的基本概念等可能概型§3

等可能概型(古典概型)一、定義生活中有這樣一類試驗(yàn)，它們的共同特點(diǎn)是：§

樣本空間的元素只有有限個(gè)(有限性)；§

每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性相同(等可能性)。比如：足球比賽中扔硬幣挑邊，圍棋比賽中猜先。這類試驗(yàn)稱為等可能概型。它是概率論發(fā)展初期最主要的研究對(duì)象，所以也稱為古典概型。1P{ei

}

=nP{e1}

=

P{e2}

==P{

en

}.2.

古典概型概率公式:若事件A包含k個(gè)基本事件,即A

={e1,e2,…ek

},則：(滿足概率的三性質(zhì))等可能概型第一章

概率論的基本概念二、古典概型中概率計(jì)算公式1.

基本事件概率公式：(設(shè)S

={e1,e2,…en

})niP{e

}

=

1第一章

概率論的基本概念等可能概型例1.

將一硬幣拋擲三次.事件A1為“恰有一次出現(xiàn)正面”A2為“至少有一次出現(xiàn)正面”,求

P

(A1

),

P

(A2

)。(n

=8,古典概型)解：S={HHH,HHT,HTH,THH,

HTT,THT,TTH,TTT}.=

;k

3n

8P

(

A

1)

=1A

={HTT,THT,TTH},

k

=

3，第一章

概率論的基本概念等可能概型(摸球模型,抽樣問(wèn)題)例2

設(shè)袋中有只4白球和2只黑球，現(xiàn)從袋中無(wú)放回地依次摸出2只球.試求取到的兩只球都是白球的概率；取到的兩只球顏色相同的概率；（3）取到的兩只球中至少有一只是白球的概率A={兩只白球}B

={兩只黑球}C

={至少一只白球}D

={兩球同色}解：(1)6=4

·

3

2

4

=A

2A

2P

(

A

)

=522

!2

6

2

!6

·

5

52

4

==

2

6

2

4

AAP

(

A

)

=第一章

概率論的基本概念等可能概型15P(C

)

=

P(B)

=

1

-

P(B)

=

14（3）C

=

B,

D

=

A

B6

·

5

15由于AB=F

，故由概率的有限可加性，所求概率是：15P(

D)

=

P(

A

B)

=

P(

A)

+

P(B)

=

7

（2）P(B)

=

2

·1

=

1(摸球模型,抽樣問(wèn)題)例2

設(shè)袋中有只4白球和2只黑球，現(xiàn)從袋中無(wú)放回地依次摸出2只球.試求取到的兩只球都是白球的概率；取到的兩只球顏色相同的概率；（3）取到的兩只球中至少有一只是白球的概率A={兩只白球}B

={兩只黑球}C

={至少一只白球}D

={兩球同色}第k次取出黑球,取法數(shù)為b第一章

概率論的基本概念等可能概型a

+

b例3

袋中有

a只白球，b只黑球．從中任意依次取出k只球,試求第

k

次取出的球是黑球的概率．解：A=“第k

次取出的球是黑球”從a+b只球中依次k只球,樣本點(diǎn)總數(shù)為：A

ka

+

b

-1前k

-1次取球,取法數(shù)為：Ak

-1a

+

b

-1事件A所含樣本點(diǎn)數(shù)為:b Ak

-1bAka

+

ba

+

bb

Ak

-1P(A)=

a

+

b

-1

=為不放回抽樣.對(duì)放回抽樣，結(jié)果相同。聯(lián)系摸獎(jiǎng)？例4

把4個(gè)球放到10個(gè)杯子中去,每個(gè)杯子只能放一個(gè)球,

求第1

至第4個(gè)杯子各放一個(gè)球的概率.第一章

概率論的基本概念等可能概型P(

A)

=

4·3·

2·1

=

110

·9

·8·7

210故球放入杯子模型，杯子容量有限解:

設(shè)A={第1至第4個(gè)杯子各放一個(gè)球}基本事件總數(shù):10·9·8·7,A

所含基本事件個(gè)數(shù):4·3·2·1,例5

把4個(gè)球放到10個(gè)杯子中(設(shè)杯子容量不限),

求事件B={每個(gè)杯子至多有一只球}的概率。第一章

概率論的基本概念等可能概型故

P(B)

=

10

·

9·

8·

7

=

0.504解:基本事件總數(shù):B

所含基本事件個(gè)數(shù):10·9·8·7,10

·10

·10

·10思考：逆事件C

={至少兩球在一個(gè)杯子}的概率？“一個(gè)班有64人，至少有兩人生日相同”的概率為多少？例6.將n只球隨機(jī)放入N(N?n)個(gè)杯子中(設(shè)杯子容量不限),求事件B={每個(gè)杯子至多有一只球}的概率。N

nAn故

p(B)=

N

.np20

23

30

40

50

64

1000.411

0.507

0.706

0.891

0.970

0.997

0.9999997思考：逆事件C

={至少兩球在一個(gè)杯子}的概率？模型擴(kuò)展取N=365N

nAnp(C)=1-

p(B)

=1-

N

.解:

基本事件總數(shù):B

所含基本事件個(gè)數(shù):思考：“一個(gè)班級(jí)有64人，至少有兩人生日相同”的概率為多少？(99.7%)(杯子容量不限)第一章

概率論的基本概念等可能概型第一章概率論的基本概念等可能概型“概率很小的事件在一次實(shí)驗(yàn)中幾乎是不發(fā)生的”（稱之為實(shí)際推斷原理）。常用之判斷假設(shè)是否正確。如在假設(shè)下一事件的概率很小，但事件發(fā)生，則認(rèn)為假設(shè)不成立。三.實(shí)際推斷原理例7

（女士品茶）一位常飲奶茶的女士稱：她能從一杯沖好的奶茶中辨別出該奶茶是先放牛奶還是先放茶沖制而成.做了10次測(cè)試，結(jié)果是她都正確地辨別出來(lái)了.問(wèn)該女士的說(shuō)法是否可信？第一章

概率論的基本概念等可能概型1210=

0.0009766P(

A)

=解假設(shè)該女士的說(shuō)法不可信，即純粹是靠運(yùn)氣猜對(duì)的。在此假設(shè)下，每次試驗(yàn)的兩個(gè)可能結(jié)果為：奶＋茶或茶＋奶且它們是等可能的，因此是一個(gè)古典概型問(wèn)題。茶的先后次序}本點(diǎn)，故10次試驗(yàn)一共有210個(gè)等可能的結(jié)果若記A

={10次試驗(yàn)中都能正確分辨出放奶和放則A只包含了210個(gè)樣本點(diǎn)中一個(gè)樣由實(shí)際推斷原理，該女士的說(shuō)法可信．實(shí)際推斷原理概率很小的事件在一次試驗(yàn)中實(shí)際上幾乎不會(huì)發(fā)生第一章

概率論的基本概念幾何概型四、幾何概型能否突破古典概型中“基本事件總數(shù)有限”的限制，推廣到無(wú)限多的結(jié)果呢？首先看下面的例子。例8

(會(huì)面問(wèn)題）甲、乙二人約定在0

點(diǎn)到5點(diǎn)之間在某地會(huì)面，先到者等一個(gè)小時(shí)后即離去設(shè)二人在這段時(shí)間內(nèi)的各時(shí)刻到達(dá)是等可能的，且二人互不影響。求二人能會(huì)面的概率。解：X,Y

分別表示甲乙二人到達(dá)的時(shí)刻，于是0

￡

X

￡

5,

0

￡

Y

￡

5.二人會(huì)面的條件是：|

X

-Y|￡1,即點(diǎn)M落在圖中的陰影部分。所有點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)正方形,即有無(wú)窮多個(gè)結(jié)果。每人在任一時(shí)刻到達(dá)都是等可能的，所以落在正方形內(nèi)各點(diǎn)是等概率的。0

1

2

3

4

5yx54321y-x

=1y-x

=

-125.925142=25

-

2

·

·2=正方形的面積陰影部分的面積p

=P(

A)

=

SA

.S說(shuō)明：當(dāng)古典概型的試驗(yàn)結(jié)果為連續(xù)無(wú)窮多個(gè)時(shí),就歸結(jié)為幾何概