河北省石家莊市精英中學(xué)高三數(shù)學(xué)文上學(xué)期期末試卷含解析

河北省石家莊市精英中學(xué)高三數(shù)學(xué)文上學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.若函數(shù)圖像上存在兩個(gè)點(diǎn)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則對(duì)稱點(diǎn)為函數(shù)的“孿生點(diǎn)對(duì)”，且點(diǎn)對(duì)與可看作同一個(gè)“孿生點(diǎn)對(duì)”.若函數(shù)恰好有兩個(gè)“孿生點(diǎn)對(duì)”，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．0

B．2

C.4

D．6參考答案：A2.如圖，是半徑為5的圓上的一個(gè)定點(diǎn)，單位向量在點(diǎn)處與圓相切，點(diǎn)是圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)與點(diǎn)不重合，則的取值范圍是(

)

A．

B.

C．

D.

參考答案：B略3.已知實(shí)數(shù)滿足則

（A）7

（B）

（C）

（D）

參考答案：A4.中國(guó)古代儒家要求學(xué)生掌握六種基本才藝：禮、樂、射、御、書、數(shù)，簡(jiǎn)稱“六藝”．某中學(xué)為弘揚(yáng)“六藝”的傳統(tǒng)文化，分別進(jìn)行了主題為“禮、樂、射、御、書、數(shù)”六場(chǎng)傳統(tǒng)文化知識(shí)的競(jìng)賽．現(xiàn)有甲、乙、丙三位選手進(jìn)入了前三名的最后角逐．規(guī)定：每場(chǎng)知識(shí)競(jìng)賽前三名的得分都分別為a，b，c（a＞b＞c，且a，b，c∈N*）；選手最后得分為各場(chǎng)得分之和．在六場(chǎng)比賽后，已知甲最后得分為26分，乙和丙最后得分都為11分，且乙在其中一場(chǎng)比賽中獲得第一名，則下列說法正確的是（）A．每場(chǎng)比賽第一名得分a為4B．甲可能有一場(chǎng)比賽獲得第二名C．乙有四場(chǎng)比賽獲得第三名D．丙可能有一場(chǎng)比賽獲得第一名參考答案：C【考點(diǎn)】進(jìn)行簡(jiǎn)單的合情推理．【分析】由題可知（a+b+c）×N=26+11+11=48，且a、b、c及N都是正整數(shù)，推出N的可能結(jié)果，即可判斷．【解答】解：由題可知（a+b+c）×N=26+11+11=48，且a、b、c及N都是正整數(shù)，所以a+b+c也是正整數(shù)，48能被N整除，N的可能結(jié)果是1、2、3、4、6、8、12、16、24、48經(jīng)檢驗(yàn)當(dāng)N=5時(shí)a+b+c=8且a＞b＞c推斷出a=5，b=2，c=1最后得出結(jié)論甲4個(gè)項(xiàng)目得第一，1個(gè)項(xiàng)目得第二乙4個(gè)項(xiàng)目得第三，1個(gè)項(xiàng)目得第一丙4個(gè)項(xiàng)目得第二，1個(gè)項(xiàng)目得第三，故選：C．5.已知為常數(shù)，則使得成立的一個(gè)充分而不必要條件是()A． B． C．

D．參考答案：C6.在△ABC中，2AB=3AC，∠A=，∠BAC的平分線交邊BC于點(diǎn)D，|AD|=1，則（）A．AB?AC=AB+AC B．AB+AC=AB?AC C．AB?AC=AB+AC D．AB+AC=AB?AC參考答案：D【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．【分析】令A(yù)B=3k，AC=2k，在△ABC中，由余弦定理得BC、cosB由∠BAC的平分線交邊BC于點(diǎn)D的DB，在△ABD中，由余弦定理得AD2=AB2+BD2﹣2AB?BDcosB，解得k即可．【解答】解：如圖所示，令A(yù)B=3k，AC=2k，在△ABC中，由余弦定理得BC2=AC2+AB2﹣2AB?ACcosA=7k2．?BC=．由余弦定理得AC2=BC2+AB2﹣2AB?BCcosB?cosB=．∵∠BAC的平分線交邊BC于點(diǎn)D∴，∴DB=．在△ABD中，由余弦定理得AD2=AB2+BD2﹣2AB?BDcosB=1，解得k=經(jīng)驗(yàn)證D滿足，故選D．7.已知平面α與平面β交于直線l，且直線a?α，直線b?β，則下列命題錯(cuò)誤的是（）A．若α⊥β，a⊥b，且b與l不垂直，則a⊥lB．若α⊥β，b⊥l，則a⊥bC．若a⊥b，b⊥l，且a與l不平行，則α⊥βD．若a⊥l，b⊥l，則α⊥β參考答案：D【考點(diǎn)】空間中直線與平面之間的位置關(guān)系．【專題】證明題；整體思想；定義法；空間位置關(guān)系與距離．【分析】根據(jù)空間直線和平面平行或垂直以及平面和平面平行或者垂直的性質(zhì)和判定定理進(jìn)行判斷即可．【解答】解：A．若α⊥β，a⊥b，且b與l不垂直，則a⊥l，正確B．若α⊥β，b⊥l，則b⊥α，∵a?α，∴a⊥b，正確C．∵a與l不平行，∴a與l相交，∵a⊥b，b⊥l，∴b⊥α，則α⊥β正確．D．若a⊥l，b⊥l，不能得出α⊥β，因?yàn)椴粷M足面面垂直的條件，故D錯(cuò)誤，故選：D【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查命題的真假判斷，涉及空間直線和平面平行或垂直的位置關(guān)系，比較基礎(chǔ)．8.若正數(shù)滿足，則（

）A.有最小值36，無(wú)最大值 B.有最大值36,無(wú)最小值C.有最小值6，無(wú)最大值 D.有最大值6，無(wú)最小值參考答案：A9.設(shè)，則函數(shù)的零點(diǎn)位于區(qū)間（

）A.

B.

C.

D.參考答案：C10.已知是虛數(shù)單位，則等于（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知是實(shí)數(shù)，是純虛數(shù)，則

．參考答案：12.設(shè)若不等式對(duì)于任意的恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是

▲

參考答案：

13._________（小數(shù)點(diǎn)后保留三位小數(shù)）。參考答案：1.17214.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則

參考答案：15.一平面截一球得到直徑是的圓面，球心到這個(gè)平面的距離是，則該球的體積是__________．參考答案：球的半徑為，故球的體積為．16.過雙曲線（a＞0，b＞0）的右焦點(diǎn)F作圓x2+y2=a2的切線FM，交y軸于點(diǎn)P，切圓于點(diǎn)M，若，則雙曲線的離心率是．參考答案：【考點(diǎn)】雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】根據(jù)向量加法法則，得到OM是△POF中PF邊上的中線．由PF與圓x2+y2=a2相切得到OM⊥PF，從而可得△POF是等腰直角三角形，∠MFO=45°．最后在Rt△OMF利用三角函數(shù)的定義算出=，可得雙曲線的離心率大?。窘獯稹拷猓骸?，∴△POF中，OM是PF邊上的中線．∵PF與圓x2+y2=a2相切，∴OM⊥PF，由此可得△POF中，PO=FO，∠MFO=45°，又∵Rt△OMF中，OM=a，OF=c，∴sin∠MFO=，即=．因此，雙曲線的離心率e=．故答案為．17.已知各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列若存在兩項(xiàng)、使得，則的最小值為

參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知圓，點(diǎn)P在圓外，過點(diǎn)P作圓C的兩條切線，切點(diǎn)分別為T1，T2．（1）若，求點(diǎn)P的軌跡方程；（2）設(shè)，點(diǎn)P在平面上構(gòu)成的圖形為M，求M的面積．參考答案：【考點(diǎn)】軌跡方程．【專題】綜合題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線中的最值與范圍問題．【分析】（1）由題意，四邊形OT1T2P是正方形，|OP|=2，可得點(diǎn)P的軌跡方程；（2）由題意，點(diǎn)P在平面上構(gòu)成的圖形是以O(shè)P為直徑的圓，利用，求出OP2，即可求M的面積．【解答】解：（1）由題意，四邊形OT1T2P是正方形，∴|OP|=2，∴點(diǎn)P的軌跡方程是x2+y2=4；（2）由題意，點(diǎn)P在平面上構(gòu)成的圖形是以O(shè)P為直徑的圓，設(shè)∠T1OP=α，t=OP2，∵，∴（﹣）?（﹣）=λ，∴2cos2α﹣2OPcosα+OP2=λ，∴+t﹣6=λ，∴t2﹣（6+λ）t+8=0，∴t=（另一根舍去），∴M的面積S==．【點(diǎn)評(píng)】本題考查軌跡方程，考查面積的計(jì)算，確定軌跡方程是關(guān)鍵．19.選修4-5:不等式選講已知函數(shù).（1）求不等式的解集A；（2）證明：對(duì)于任意的，都有成立.

參考答案：（1）∵，∴.當(dāng)時(shí)，不等式可化為，解得，∴；當(dāng),不等式可化為，解得，無(wú)解；當(dāng)時(shí)，不等式可化為，解得，∴.綜上所述，或.（2）∵，要證成立，只需證，即證，即證,即證.由（1）知，或，∵，∴，∴成立.綜上所述，對(duì)于任意的都有成立.

20.(本小題滿分14分)如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為矩形，平面PAB⊥平面ABCD，PA⊥PB，BP＝BC，E為PC的中點(diǎn)．（1）求證：AP∥平面BDE；（2）求證：BE⊥平面PAC．參考答案：21.已知Sn為各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，a1∈（0，2），an2+3an+2=6Sn．（1）求{an}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)bn=，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，若對(duì)?n∈N*，t≤4Tn恒成立，求實(shí)數(shù)t的最大值．參考答案：【考點(diǎn)】數(shù)列的求和；數(shù)列遞推式．【分析】（1）把n=1代入an2+3an+2=6Sn求得首項(xiàng)a1=1．結(jié)合已知條件an2+3an+2=6Sn得到：（an+1+an）（an+1﹣an﹣3）=0．由此求得公差d=3，根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式推知an=3n﹣2．（2）利用裂項(xiàng)求和求得Tn，然后根據(jù)不等式t≤4Tn實(shí)數(shù)t的最大值．【解答】解：（1）當(dāng)n=1時(shí)，由，得，即．又a1∈（0，2），解得a1=1．由，可知．兩式相減，得，即（an+1+an）（an+1﹣an﹣3）=0．由于an＞0，可得an+1﹣an﹣3=0，即an+1﹣an=3，所以{an}是首項(xiàng)為1，公差為3的等差數(shù)列．所以an=1+3（n﹣1）=3n﹣2．（2）由an=3n﹣2，可得=．因?yàn)?，所以Tn+1＞Tn，所以數(shù)列{Tn}是遞增數(shù)列．所以，所以實(shí)數(shù)t的最大值是1．22.設(shè)函數(shù)f（x）=x2﹣alnx﹣（a﹣2）x（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若函數(shù)f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)x1，x2，求滿足條件的最小正整數(shù)a的值．參考答案：【考點(diǎn)】6B：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】（Ⅰ）利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則即可得出f′（x），并對(duì)a分類討論即可；（Ⅱ）由（Ⅰ）的結(jié)論，結(jié)合根的存在性原理，可以判斷存在a0∈（2，3），h（a0）=0，當(dāng)a＞a0，h（a）＞0；【解答】解：（Ⅰ）．當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，所以函數(shù)f（x）單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+∞），此時(shí)f（x）無(wú)單調(diào)減區(qū)間．當(dāng)a＞0時(shí)，由f′（x）＞0，得，由f′（x）＜0，得0＜x＜，得，所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為（，+∞），單調(diào)減區(qū)間為（0，）．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知函數(shù)f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，所以a＞0，f（x）的最小