第五章 時(shí)變電磁場(chǎng) 陳俊

第六章時(shí)變電磁場(chǎng)6.1法拉第電磁感應(yīng)定律6.2位移電流6.3麥克斯韋方程組6.4不同介質(zhì)分界面上的邊界條件6.5正弦電磁波6.6波動(dòng)方程、功率流、坡因亭主要內(nèi)容位移電流，麥克斯韋方程，邊界條件，正弦電磁場(chǎng)。電場(chǎng)、磁場(chǎng)矢量不僅是空間坐標(biāo)的函數(shù)，而且是時(shí)間的函數(shù)，這樣的場(chǎng)稱為時(shí)變電磁場(chǎng)。在時(shí)變電磁場(chǎng)中，電場(chǎng)與磁場(chǎng)互相依存、互相制約，已不可能如前面三種靜態(tài)場(chǎng)那樣分別進(jìn)行研究，而必須在一起進(jìn)行統(tǒng)一研究。6.1法拉第電磁感應(yīng)定律

由物理學(xué)知，穿過閉合線圈中的磁通發(fā)生變化時(shí)，線圈中產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)e為

式中電動(dòng)勢(shì)e的正方向規(guī)定為與磁通方向構(gòu)成右旋關(guān)系。因此，當(dāng)磁通增加時(shí)，感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的實(shí)際方向與磁通方向構(gòu)成左旋關(guān)系；反之，當(dāng)磁通減少時(shí)，電動(dòng)勢(shì)的實(shí)際方向與磁通方向構(gòu)成右旋關(guān)系。

感應(yīng)電流產(chǎn)生的感應(yīng)磁通方向總是阻礙原有磁通的變化，所以感應(yīng)磁通又稱為反磁通。

感應(yīng)電流產(chǎn)生意味著導(dǎo)線中存在電場(chǎng)，這種電場(chǎng)稱為感應(yīng)電場(chǎng)，以E表示。感應(yīng)電場(chǎng)強(qiáng)度沿線圈回路的閉合線積分等于線圈中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，即又知，得上式稱為電磁感應(yīng)定律，它表明穿過線圈中的磁場(chǎng)變化時(shí)，導(dǎo)線中產(chǎn)生感應(yīng)電場(chǎng)。它表明，時(shí)變磁場(chǎng)可以產(chǎn)生時(shí)變電場(chǎng)。

eI根據(jù)斯托克斯定理，由上式得

由于該式對(duì)于任一回路面積S均成立，因此，其被積函數(shù)一定為零，即此式為電磁感應(yīng)定律的微分形式。它表明某點(diǎn)磁感應(yīng)強(qiáng)度的時(shí)間變化率負(fù)值等于該點(diǎn)時(shí)變電場(chǎng)強(qiáng)度的旋度。

電磁感應(yīng)定律是時(shí)變電磁場(chǎng)的基本定律之一，也是下面將要介紹的描述時(shí)變電磁場(chǎng)著名的麥克斯韋方程組中方程之一。

例題計(jì)算感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)書P1496.2位移電流

位移電流不是電荷的運(yùn)動(dòng)，而是一種人為定義的概念。對(duì)于靜態(tài)場(chǎng)，由于電荷分布與時(shí)間無關(guān)，因此獲得電流連續(xù)性原理，即 電荷守恒原理表明

對(duì)于時(shí)變電磁場(chǎng)，因電荷隨時(shí)間變化，不可能根據(jù)電荷守恒原理推出電流連續(xù)性原理。但是電流連續(xù)是客觀存在的物理現(xiàn)象，為此必須擴(kuò)充前述的電流概念。靜電場(chǎng)的高斯定律同樣適用于時(shí)變電場(chǎng)。則

不是由電子運(yùn)動(dòng)形成的傳導(dǎo)電流或運(yùn)流電流，而是人為定義的位移電流。真空電容器中通過的時(shí)變電流是什么？顯然，上式中具有電流密度量綱?？傻媚敲?，求得

英圍物理學(xué)家麥克斯韋將稱為位移電流密度，以Jd表示，即

引入位移電流以后，時(shí)變電流仍然是連續(xù)的。由于此時(shí)包括了傳導(dǎo)電流，運(yùn)流電流及位移電流，因此，上式稱為全電流連續(xù)性原理。

由定義可見，位移電流密度是電通密度的時(shí)間變化率，或者說是電場(chǎng)的時(shí)間變化率。在靜電場(chǎng)中，由于，自然不存在位移電流。

在時(shí)變電場(chǎng)中，電場(chǎng)變化愈快，產(chǎn)生的位移電流密度也愈大。在電導(dǎo)率較低的媒質(zhì)中，在良導(dǎo)體中，

在時(shí)變電場(chǎng)中，由于位移電流存在，麥克斯韋認(rèn)為位移電流也可產(chǎn)生磁場(chǎng)，因此前述的安培環(huán)路定律變?yōu)榧瓷蟽墒椒Q為全電流定律。它表明，時(shí)變磁場(chǎng)是由傳導(dǎo)電流，運(yùn)流電流以及位移電流共同產(chǎn)生的。

已知位移電流是由時(shí)變電場(chǎng)形成的，由此可見，時(shí)變電場(chǎng)可以產(chǎn)生時(shí)變磁場(chǎng)。

電磁感應(yīng)定律表明，時(shí)變磁場(chǎng)可以產(chǎn)生時(shí)變電場(chǎng)。因此，麥克斯韋引入位移電流概念以后，預(yù)見時(shí)變電場(chǎng)與時(shí)變磁場(chǎng)相互轉(zhuǎn)化的特性可能會(huì)在空間形成電磁波。6.遭3犬麥脆克斯吼韋方希程靜態(tài)廈場(chǎng)中雅的高斯篇定理及磁通棍連續(xù)分性原以理對(duì)于訪時(shí)變廢電磁竟場(chǎng)仍然勒成立頁(yè)。那么漠，對(duì)食于時(shí)望變電大磁場(chǎng)漁，麥推克斯魔韋歸稈納為慮四個(gè)尖方程拘，其靠積分衰形式與和微膝分形溝式分跟別如踏下：積分形式微分形式全電這流定可律電磁浮感應(yīng)思定律磁通維連續(xù)萬(wàn)性原偵理高斯葉定律可見鍛，時(shí)栽變電場(chǎng)是有旋媽有散研的，時(shí)攜變磁場(chǎng)是有旋久無散末的。但講是，旋時(shí)變腥電磁卻場(chǎng)中烤的電軟場(chǎng)與泊磁場(chǎng)會(huì)是不可銳分割的，告因此視，時(shí)按變電舉磁場(chǎng)是有驗(yàn)旋有鐮散場(chǎng)。積分形式微分形式在電助荷及屯電流睜均不組存在佳的無源違區(qū)中，淘時(shí)變?cè)诫姶沤粓?chǎng)是有旋斑無散的。電場(chǎng)躁線與同磁場(chǎng)壺線相互及交鏈，自行禽閉合，從柜而在甲空間使形成電磁嶼波。時(shí)變電場(chǎng)的方船向與懲時(shí)變磁場(chǎng)的方控向處擱處相互筒垂直。為了完整地描攤述時(shí)俊變電浪磁場(chǎng)染的特界性，哄麥克膨斯韋仇方程照還應(yīng)炮包括電荷棉守恒方程吩以及沒說明場(chǎng)量與媒質(zhì)特性繭關(guān)系塘的方欣程，菌即麥克順?biāo)鬼f勞方程魄組中缸各個(gè)餓方程不是完全炎獨(dú)立遍的。纖可以恥由第1、2方程惹導(dǎo)出釀第3、4方程黨，或旅反之脅。對(duì)于踩不隨慶時(shí)間脈變化頂?shù)撵o蝕態(tài)場(chǎng)涂，則那么扣，上宿述麥錫克斯瘡韋方閃程變趙為前秀述的央靜電累場(chǎng)方哄程和層恒定儀磁場(chǎng)勢(shì)方程盟，電場(chǎng)與磁場(chǎng)不再揮相關(guān)票，彼此品獨(dú)立。（例霜題板里書）式中代表產(chǎn)生時(shí)變電磁場(chǎng)的電流源或非電的外源。在簡(jiǎn)抱單的遷形式尊下隱但藏著深?yuàn)W的內(nèi)瘋?cè)荩@些燒內(nèi)容緞只有仔細(xì)的研咽究才售能顯春示出硬來，抵方程呢是表巷示場(chǎng)反的結(jié)構(gòu)的定摘律。靠它不嬌像牛級(jí)頓定擠律那端樣，宿把此罷處發(fā)叢生的惜事件目與彼豬處的室條件憂聯(lián)系券起來塑，而庭是把此處的現(xiàn)在的場(chǎng)粱只與資最鄰近的剛過去的場(chǎng)江發(fā)生算聯(lián)系赤。愛因柏斯坦危（1壺87渣9-抱19東55掌）在杯他所沫著的撞“物理腐學(xué)演飾變”一希書中莊關(guān)于筍麥克樓斯韋都方程蘇的一備段評(píng)烈述：?！笆葸@個(gè)蟻方程洋的提父出是楚牛頓吃時(shí)代喝以來膜物理書學(xué)上渠的一秤個(gè)重要零事件，它輛是關(guān)惰于場(chǎng)葬的定量數(shù)學(xué)猴描述六，方偉程所翅包含腥的意告義比涌我們釀指出文的要轉(zhuǎn)豐富吹得多絨。假使粥我們叼已知此處的現(xiàn)在所發(fā)舞生的奶事件炸，藉鍛助這丘些方堤程便看可預(yù)測(cè)在空間稍為秀遠(yuǎn)一液些，杰在時(shí)間上稍冤為遲端一些悟所發(fā)氧生的謎事件豬”。處于駱信息縫時(shí)代酷的今市天，乘從嬰需兒監(jiān)控器到駕各種遙控設(shè)備必、從雷達(dá)到微波仇爐、從地面廣播縱電視狀到太空衡衛(wèi)星廣播標(biāo)電視偷、從陰地面移動(dòng)通信扒到宇滔宙星際通信既、從思室外無線局域豬網(wǎng)到率室內(nèi)藍(lán)牙技術(shù)擱、以裳及全球晶衛(wèi)星錫定位盯導(dǎo)航欄系統(tǒng)等，主無不黎利用電磁陷波作為傳播踢媒體。無線信息爽高速易公路籍更使建人們重能在任何躲地點(diǎn)、任何豈時(shí)間同任何僅人取得抗聯(lián)系壺，發(fā)脫送所午需的莫文本武、聲押音或酷圖象憲信息凈。電碗磁波跨的傳住播還謀能制勸造一據(jù)種身著在遠(yuǎn)蛇方的欠感覺程，形詳成無累線虛擬銹現(xiàn)實(shí)。電磁允波獲為得如歇此廣醫(yī)泛的瞎應(yīng)用希，更組使我蠻們深鄰刻地任體會(huì)露到1依9世撐紀(jì)的項(xiàng)麥克佩斯韋惰和赫差茲對(duì)酬于人安類文明和進(jìn)步的偉芬大貢褲獻(xiàn)。6.息4割時(shí)兼變電磁鞋場(chǎng)的野邊界蹲條件適合靜態(tài)場(chǎng)的距各種份邊界腎條件原則北上可以桌直接竟推廣殊到時(shí)變電磁賣場(chǎng)。第一旋，在任何邊界宴上電場(chǎng)訊強(qiáng)度的切向分量象是連暮續(xù)的，即因?yàn)榭蛑灰鸥泄?yīng)強(qiáng)旋度的時(shí)間艦變化汗率是有限的，鴉那么孔由電撕磁感憤應(yīng)定驕律的伍積分濁形式或?qū)懗墒噶啃问?/p>

即可尚獲得絹上面殃結(jié)果膝。對(duì)于各向同性的線性媒質(zhì)，上式又可寫為

①②en第二榆,在任何邊界搞上，磁感只應(yīng)強(qiáng)購(gòu)度的法向分量菊是連矩續(xù)的威。由磁顫通連杰續(xù)性可原理耍，即裁可證糊明或?qū)懗墒噶啃问?/p>

第三你，電氣通密月度的法向分量鑒邊界兩條件槐與媒質(zhì)特性迫有關(guān)曠。在一般情況獅下，悉由高凱斯定血律求壯得或?qū)懗墒噶啃问?/p>

式中s為邊頸界表堅(jiān)面上自由采電荷的面粱密度殲。對(duì)于各向同性的線性媒質(zhì)，上式又可表示為對(duì)于養(yǎng)兩種理想離介質(zhì)形成督的邊陵界，茫由于嶼不可功能存蠢在表面自由旦電荷究，因雖此可見支，兩種理想介質(zhì)邊形成耀的邊較界上，電通稠密度膛的法赤向分咬量是連續(xù)的。第四巷，磁場(chǎng)嗽強(qiáng)度躁的切坑向分柔量邊轎界條但件也愛與媒漸質(zhì)特泄性有牲關(guān)。在一續(xù)般情待況下肌，由隆于邊當(dāng)界上超不可歷能存?zhèn)仍诒砻媸犭娏?，根梅?jù)全鉛電流夠定律擾，只悼要電啟通密隙度的蔬時(shí)間將變化岡率是信有限薄的，開可得或?qū)懗墒噶啃问?/p>

在理爬想導(dǎo)秩電體婦表面速上可判以形語(yǔ)成表幕面電賴流，胸此時(shí)落磁場(chǎng)弟強(qiáng)度網(wǎng)的切趨向分棍量是戚不連遣續(xù)的誦。對(duì)于各向同性的線性介質(zhì)，上式又可寫為在理想綿導(dǎo)電引體內(nèi)嬌部不可跳能存鼻在時(shí)變尼電磁茶場(chǎng)及時(shí)變鍋的傳刷導(dǎo)電默流，它澤們只叉可能哲分布賭在理貝想導(dǎo)尤電體敞的表面。已知窗在任何邊界觀上，電場(chǎng)強(qiáng)度啞的切向分量森及磁感孟應(yīng)強(qiáng)度母的法向分量壇是連遲續(xù)的鑼，因返此理忌想導(dǎo)喜體表田面上酬不可念能存銷在電場(chǎng)慢切向分量占及磁場(chǎng)前法向分量啄，即時(shí)變知電場(chǎng)必須垂直于理鏈想導(dǎo)訪電體棒的表亡面，庸而時(shí)榴變磁場(chǎng)必須多與其濕表面相切。器糕E(t),B(t),J(t)=犬0E≠趕0J=E疑H≠墾0E≠喉0J≠確0H≠格0因，由前式得

或由于察理想貍導(dǎo)電堂體表姓面存饒?jiān)诒砻鎮(zhèn)€電流Js，設(shè)取表面汁電流妄密度駐的方魚向與東積分秒回路處構(gòu)成沾右旋憂關(guān)系重，因虧，飾求得或EH,

enet①②H1tH2tJS例題玻書光P1斑46例已知腳內(nèi)截給面為ab的矩濕形金朝屬波兩導(dǎo)中可的時(shí)平變電報(bào)磁場(chǎng)捏的各保分量鵝為其坐懲標(biāo)如借圖示袍。試值求波捕導(dǎo)中終的位淋移電表流分炭布和艘波導(dǎo)守內(nèi)壁漆上的險(xiǎn)電荷撕及電妖流分需布。管波導(dǎo)膨內(nèi)部甩為真連空。azyxbxzyxyzgba磁場(chǎng)線電場(chǎng)線解①由前怪式求硬得位置移電磨流為②在y=樣0的內(nèi)株壁上在y=b的內(nèi)賀壁上在x=0的側(cè)壁上，在x=a

的側(cè)壁上，在x=0及x=a

的側(cè)壁上，因，所以。zyx內(nèi)壁電流6.巷5籠正因弦電籍磁場(chǎng)一種財(cái)特殊包的時(shí)變變電饒磁場(chǎng)潮，其海場(chǎng)強(qiáng)影的方向與時(shí)階間無受關(guān)，簽但其極大小療隨時(shí)加間的描變化首規(guī)律佛為正弦陣函數(shù)，即式中Em(r)陰僅為?？臻g泳函數(shù)炎，它錦是正幫弦時(shí)刷間函伯?dāng)?shù)的創(chuàng)振幅際。為角頻乞率。e(r)為正心弦函近數(shù)的初始姥相位。由傅犁里葉單變換寬得知香，任冊(cè)一周困期性繩或非鞠周期爺性的序時(shí)間黃函數(shù)循在一鑒定條湖件下撒均可帽分解跑為很菌多正礎(chǔ)弦函旺數(shù)之燒和。較因此吉，我憶們著重討論解正弦見電磁圣場(chǎng)是羅具有養(yǎng)實(shí)際做意義住的。正弦電磁我場(chǎng)又茅稱為時(shí)諧電磁獻(xiàn)場(chǎng)。正弦賺電磁堂場(chǎng)是返由隨時(shí)間按正弦變化依的時(shí)亡變電荷與電流產(chǎn)生否的。鑒雖然念場(chǎng)的刊變化階落后襪于源動(dòng)，但氏是場(chǎng)與源隨時(shí)釀間的編變化約規(guī)律澆是相鈔同的園，所快以正助弦電貞磁場(chǎng)題的場(chǎng)和源具有毒相同城的頻發(fā)率。對(duì)于外這些相同偶頻率的正紀(jì)弦量黨之間禽的運(yùn)抱算可濤以采勸用復(fù)數(shù)拉方法，即僅須考姜慮正單弦量做的振幅和空間相位彩，而影略去時(shí)間相位墊t。那粒么，澡對(duì)于嗎電場(chǎng)耽強(qiáng)度厭可用詞一個(gè)某與時(shí)闖間無旱關(guān)的設(shè)復(fù)矢孤量初表朝示為原來苗的瞬時(shí)矢量炊和復(fù)矢量購(gòu)的關(guān)撲系為無論爪何種就表示預(yù)方法券，復(fù)矢量?jī)H為空間函數(shù)襯，與時(shí)間無關(guān)。有的剝書刊部將正碗弦電軋磁場(chǎng)學(xué)表示趣為則瞬時(shí)矢量與復(fù)矢量的關(guān)系為只有頻率晚相同的正眼弦量眠之間肺才能轎使用復(fù)矢量利的方光法進(jìn)兆行運(yùn)是算。已知正弦電磁厚場(chǎng)的場(chǎng)與源的頻率徒相同，因件此可最用復(fù)矢筋量形式懲表示伸麥克艙斯韋喬方程夸。考慮越到正之弦時(shí)師間函圣數(shù)的白時(shí)間列導(dǎo)數(shù)紫為因?yàn)殄\上式下對(duì)于任何攜時(shí)刻均成薦立，帖故虛部符號(hào)愉可以消去。那么因此，麥克斯韋第一方程可表示為(證明板書)

同理可得以及上述瓣方程漲稱為墨麥克躺斯韋岸方程框的復(fù)數(shù)損形式，式想中各訂量均腎為有效緞值。例已知杜某真澆空區(qū)凈域中漏的時(shí)搬變電撲磁場(chǎng)早的電紐奉場(chǎng)瞬搜時(shí)值騎為試求緒其磁矮場(chǎng)強(qiáng)躬度的饒復(fù)數(shù)新形式鍛。解根據(jù)毛時(shí)變閘電場(chǎng)泰瞬時(shí)裕值，寺求得倚其有幅效值餓的復(fù)夕數(shù)形路式為由于電場(chǎng)僅有y分量，且與變量y無關(guān)，即。那么又知麥克梅斯韋云方程爪的復(fù)萌數(shù)形冒式瞬時(shí)罵形式(r,t)復(fù)數(shù)歸形式(r)1.投波動(dòng)飄方程從電侍磁場(chǎng)面基本寨方程稻組推旅導(dǎo)電登磁波腔動(dòng)方趣程：1）2）因此膽，無焦源區(qū)斬域中挑的E國(guó)或H其可以稼通過桶波動(dòng)愈方程裂得到寇。討論前提：脫離激勵(lì)源；6.墊6淹波動(dòng)葉方程洽、北功率趕流和港坡因過亭矢長(zhǎng)量取電別磁場(chǎng)賺基本議方程狼的第退1、劃第2舞方程紗的微寶分形氣式依據(jù)拉矢量踩恒等莖式又得2.死功率掀流與妻坡因裙亭矢鋒量很顯般然，迅上式麥?zhǔn)请娙未艌?chǎng)榨的功盒率平牽衡方襖程，渣它的民每一忌項(xiàng)都盾有其地明確褲的物箱理意象義：魚右邊下第一彩項(xiàng)是朵每秒昂電場(chǎng)運(yùn)能量右和磁庸場(chǎng)能朗量的刮增加壘量，癥第二用項(xiàng)是課變?yōu)楸斫苟鷵軣岬你@功率所，根偷據(jù)能濤量守哭恒，錦等式毀左邊吐的面血積積學(xué)分應(yīng)氏是穿慈過閉瘋合面尊S進(jìn)送入體既積內(nèi)奏的功襪率。陡通常帝稱之伏為坡固印亭播定理衫，它鞏表示嘗：“空間拳中由玩于媒懲質(zhì)的森熱耗攀和電刑荷運(yùn)葛動(dòng)導(dǎo)賊致的誼功率辨損耗應(yīng)，以丙及由弱該空數(shù)間向幻玉外輸桐送的號(hào)功率催，由龍單位周時(shí)間較內(nèi)場(chǎng)慈能的姑減少分以及荷外源跟所作欲的功臟來補(bǔ)焦償。鏟”包圍V區(qū)域虛內(nèi)對(duì)譯上式靠?jī)啥司献黧w曠積分雜：表示致單位蛙時(shí)間