廣東省珠海市市三灶中學2021-2022學年高二數學文測試題含解析

廣東省珠海市市三灶中學2021-2022學年高二數學文測試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.的展開式中常數項是（） A．﹣160 B．﹣20 C．20 D．160參考答案：A考點： 二項式系數的性質．專題： 計算題．分析： 利用二項展開式的通項公式求出展開式的通項，令x的指數為0，求出r，進而求出展開式的常數項．解答： 解：展開式的通項為Tr+1=（﹣2）rC6rx3﹣r令3﹣r=0得r=3所以展開式的常數項為（﹣2）3C63=﹣160故選A點評： 本題考查利用二項展開式的通項公式解決二項展開式的特定項問題．2.某班有4個空位，安排從外校轉來的3個學生坐到這4個空位上，每人一個座位，則不同的坐法有（） A．24種 B． 43種 C． 34種 D． 4種參考答案：A略3.已知雙曲線C：=1（a＞0，b＞0）的左右焦點分別為F1，F2，點P在雙曲線的右支上，且滿足|PF1|=|，|OP|=|OF2|（O為坐標原點），則雙曲線C的離心率為（）A．3 B． C．5 D．參考答案：C考點：雙曲線的簡單性質．專題：計算題；圓錐曲線的定義、性質與方程．分析：運用雙曲線的定義，結合條件可得|PF1|=8a，|PF2|=6a，再由|OP|=|OF2|，得到∠F1PF2=90°，由勾股定理及離心率公式，計算即可得到．解答：解：由于點P在雙曲線的右支上，則由雙曲線的定義可得|PF1|﹣|PF2|=2a，又|PF1|=|PF2|，解得|PF1|=8a，|PF2|=6a，由于△PF1F2中，|OP|=|OF2|=|OF1|，則∠F1PF2=90°，由勾股定理得|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2，即有64a2+36a2=4c2，即有c=5a，即e==5．故選C．點評：本題考查雙曲線的定義、方程和性質，考查雙曲線的離心率的求法，同時考查勾股定理的運用，考查運算能力，屬于基礎題．4.在平面直角坐標系中，橫、縱坐標均為整數的點叫做格點．若函數圖象恰好經過k個格點，則稱函數為k階格點函數．已知函數：①y=sinx；

②y=cos（x+）；③y=ex﹣1；

④y=x2．其中為一階格點函數的序號為（）A．①② B．②③ C．①③ D．②④參考答案：C【考點】H2：正弦函數的圖象．【分析】根據已知中在平面直角坐標系中，橫、縱坐標均為整數的點叫做格點．若函數y=f（x）的圖象恰好經過k個格點，則稱函數f（x）為k階格點函數．我們逐個分析四個答案中四個函數的格點個數，即可得到答案．【解答】解：對于①，注意到y(tǒng)=sinx的值域是[﹣1，1]，當sinx=0時，x=kπ（k∈Z），此時相應的整數x=0；當sinx=±1時，x=kπ+（k∈Z），此時沒有相應的整數x，因此函數y=sinx僅過唯一的整點（0，0），該函數是一階格點函數．同理可知，對于②，函數y=cos（x+）不是一階格點函數．對于③，令y=ex﹣1=k（k∈Z）得ex=k+1＞0，x=ln（k+1），僅當k=0時，x=0∈Z，因此函數y=ex﹣1是一階格點函數．對于④，注意到函數y=x2的圖象經過多個整點，如點（0，0），（1，1），因此函數y=x2不是一階格點函數．綜上所述知①③正確，故選C．5.若命題“”為假，且“”為假，則（

） A．或為假 B．假 C．真

D．不能判斷的真假參考答案：B略6.已知雙曲線C的焦點、實軸端點分別恰好是橢圓的長軸端點、焦點，則雙曲線C的漸近線方程為（）A．4x±3y=0 B．3x±4y=0 C．4x±5y=0 D．5x±4y=0參考答案：A【考點】雙曲線的簡單性質．【專題】計算題．【分析】依據題意，求得雙曲線C的焦點坐標和實軸端點坐標，求得曲線的標準方程，從而求得雙曲線C的漸近線方程．【解答】解：橢圓的長軸端點為（±5，0），焦點為（±3，0）．由題意可得，對雙曲線C，焦點（±5，0），實軸端點為（±3，0），∴a=3，c=5，b=4，故雙曲線C的方程為，故漸近線方程為y=±，即4x±3y=0，故選A．【點評】本題考查雙曲線的標準方程，以及雙曲線的簡單性質的應用，求出雙曲線的標準方程是解題的關鍵．7.給出定義：若函數在D上可導，即存在，且導函數在D上也可導，則稱在D上存在二階導函數，記，若在D上恒成立，則稱在D上為凸函數，以下四個函數在（0，）上不是凸函數的是

（

）

A.

B.

C.

D.參考答案：D8.若a＜b＜0，則下列不等式中不能成立的是（）A．＞ B．＞ C．|a|＞|b| D．a2＞b2參考答案：B【考點】3F：函數單調性的性質．【分析】由于a＜b＜0，利用函數單調性可以比較大?。窘獯稹拷猓骸遖＜b＜0，f（x）=在（﹣∞，0）單調遞減，所以＞成立；∵a＜b＜0，0＞a﹣b＞a，f（x）=在（﹣∞，0）單調遞減，所以＜，故B不成立；∵f（x）=|x|在（﹣∞，0）單調遞減，所以|a|＞|b|成立；∵f（x）=x2在（﹣∞，0）單調遞減，所以a2＞b2成立；故選：B．【點評】本題考查了函數單調性與數值大小的比較，屬于基礎題．9.當時,不等式成立的充要條件是(

)A．

B．

C．

D．參考答案：B10.已知在△ABC中，角A，B，C分別為△ABC的三個內角，若命題p：sinA＞sinB，命題q：A＞B，則p是q的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件參考答案：C【考點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【分析】△ABC中，由正弦定理，a＞b?sinA＞sinB．而a＞b?A＞B．即可判斷出結論．【解答】解：△ABC中，由正弦定理=k＞0，a＞b?ksinA＞ksinB?sinA＞sinB．而a＞b?A＞B．∴△ABC中，sinA＞sinB?A＞B，即p?q．∴p是q的充要條件．故選：C．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.拋物線的焦點坐標為：

.參考答案：略12.若△ABC的三條中線AD．BE、CF相交于點M，則＝參考答案：解析：設AB的中點為D，由平行四邊形法則得所以＝013.設函數f(x)在x=1處存在導數為2,則=

．參考答案：==×f′(1)=.

14.已知底面邊長為1，側棱長為的正四棱柱，其各頂點均在同一個球面上，則該球的體積為

．參考答案：∵正四棱柱的底面邊長為1，側棱長為，∴正四棱柱體對角線的長為，又∵正四棱柱的頂點在同一球面上，∴正四棱柱體對角線恰好是球的一條直徑，得球半徑，根據球的體積公式，得此球的體積為，故答案為.

15.已知命題p：m＜1，命題q：函數f（x）=﹣（5﹣2m）x是減函數，若p與q一真一假，則實數m的取值范圍是．參考答案：[1，2）考點：復合命題的真假．專題：函數的性質及應用；簡易邏輯．分析：先求出命題p，q下的m的取值范圍：命題p：m＜1，命題q：m＜2，然后根據p或q為真，p且q為假知：p，q中一真一假，討論p，q的真假情況，求出在每一種情況下的m范圍求并集即可．解答： 解：若命題q：函數f（x）=﹣（5﹣2m）x是減函數，是真命題，則5﹣2m＞1，解得：m＜2．又∵命題p：m＜1，p與q一真一假，當p真q假時，m＜1且m≥2，不存在滿足條件的m值．當p假q真進，m≥1且m＜2，則m∈[1，2），綜上所述：實數m的取值范圍是[1，2），故答案為：[1，2）點評：考查絕指數函數的單調性，p或q，p且q的真假和p，q真假的關系，難度不大，屬于基礎題．16.若，滿足約束條件

，為上述不等式組表示的平面區(qū)域，則：(1)目標函數的最小值為__________；(2)當從連續(xù)變化到_____時，動直線掃過中的那部分區(qū)域的面積為．（改編）參考答案：-8,0.17.觀察下列各圖，并閱讀下面的文字，像這樣，10條直線相交，交點的個數最多是

，其通項公式為

.參考答案：45;

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（10分）用數學歸納法證明：；參考答案：當時，左邊=.

19.（1）當時，證明：；（2）已知，，求證：中至少有一個不小于0.參考答案：(1)要證即證

只要證即證即證只要證而上式顯然成立

所以成立

（2）假設且

由得

由得，

這與矛盾

所以假設錯誤所以中至少有一個不小于020.（本小題滿分12分）已知：橢圓（），過點，的直線傾斜角為，焦距為．（1）求橢圓的方程；（2）已知直線過與橢圓交于，兩點，若，求直線的方程；（3）是否存在實數，直線交橢圓于，兩點，以為直徑的圓過？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．參考答案：（1）由，，得，，所以橢圓方程是：（2）設EF：（）代入，得，設，，由，得．由，得，，或直線的方程為：或（3）將代入，得（*）記，，PQ為直徑的圓過，則，即，又，，得．解得，此時（*）方程，存在，滿足題設條件．21.如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=90°．（1）求證：PC⊥BC；（2）求點A到平面PBC的距離．參考答案：【考點】點、線、面間的距離計算；空間中直線與平面之間的位置關系．【分析】（1），要證明PC⊥BC，可以轉化為證明BC垂直于PC所在的平面，由PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=90°，容易證明BC⊥平面PCD，從而得證；（2），有兩種方法可以求點A到平面PBC的距離：方法一，注意到第一問證明的結論，取AB的中點E，容易證明DE∥平面PBC，點D、E到平面PBC的距離相等，而A到平面PBC的距離等于E到平面PBC的距離的2倍，由第一問證明的結論知平面PBC⊥平面PCD，交線是PC，所以只求D到PC的距離即可，在等腰直角三角形PDC中易求；方法二，等體積法：連接AC，則三棱錐P﹣ACB與三棱錐A﹣PBC體積相等，而三棱錐P﹣ACB體積易求，三棱錐A﹣PBC的地面PBC的面積易求，其高即為點A到平面PBC的距離，設為h，則利用體積相等即求．【解答】解：（1）證明：因為PD⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，所以PD⊥BC．由∠BCD=90°，得CD⊥BC，又PD∩DC=D，PD、DC?平面PCD，所以BC⊥平面PCD．因為PC?平面PCD，故PC⊥BC．（2）（方法一）分別取AB、PC的中點E、F，連DE、DF，則：易證DE∥CB，DE∥平面PBC，點D、E到平面PBC的距離相等．又點A到平面PBC的距離等于E到平面PBC的距離的2倍．由（1）知：BC⊥平面PCD，所以平面PBC⊥平面PCD于PC，因為PD=DC，PF=FC，所以DF⊥PC，所以DF⊥平面PBC于F．易知DF=，故點A到平面PBC的距離等于．（方法二）等體積法：連接AC．設點