江西省宜春市宜春一中、萬(wàn)載中學(xué)、宜豐中學(xué)2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題

2024屆高二下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷第I卷（選擇題）一、單選題1．設(shè)集合A={x|x2-5x+6>0}，B={x|x-1<0}，則A∩B=A．(-∞，1)B．(-2，1)C．(-3，-1)D．(3，+∞)2．函數(shù)的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間是（

）A．B．C．D．3．下列函數(shù)中最小值為4的是（

）A． B．C． D．4．已知函數(shù)，則圖象為如圖的函數(shù)可能是（

）A． B．C． D．5．在△ABC中，“”是“△ABC為鈍角三角形”的A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件6．在“非遺剪紙進(jìn)校園，傳統(tǒng)文化潤(rùn)心田”主題活動(dòng)中，小紅設(shè)計(jì)了一個(gè)剪紙圖案，她現(xiàn)在一個(gè)半徑為4的圓紙片上畫(huà)一個(gè)內(nèi)接正方形，再畫(huà)該正方形的內(nèi)切圓，依次重復(fù)以上畫(huà)法，得到了一幅由6個(gè)圓和6個(gè)正方形構(gòu)成的圖案，依次剪去夾在正方形及其內(nèi)切圓的部分，并剪去最小正方形內(nèi)的部分，得到如圖所示的一幅剪紙，則該圖案（陰影部分）的面積為（

）A．B．C．D．7．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，若，且，則＝()A.eq\f(1,2) B. eq\f(\r(2),2) C.eq\f(\r(3),2) D.18．已知，則（

）A． B． C． D．二、多選題9．下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是（

）A． B．C． D．10．（多選）已知函數(shù)，則（

）A．函數(shù)的定義域?yàn)镽 B．函數(shù)的值域?yàn)镃．函數(shù)在上單調(diào)遞增 D．函數(shù)在上單調(diào)遞減11．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則下列選項(xiàng)正確的為（

）A．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列 B．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列C．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式為 D．12．在銳角中，角所對(duì)的邊分別為，且，則下列結(jié)論正確的有（

）A． B．的取值范圍為C．的取值范圍為 D．的取值范圍為第II卷（非選擇題）三、填空題13．已知函數(shù)，則曲線(xiàn)y＝f(x)在點(diǎn)(1，1)處的切線(xiàn)方程為_(kāi)_________．14．若角的終邊過(guò)點(diǎn)P(－2a,4a)(a≠0)，則=________________．15．已知且，則的最小值為_(kāi)__________．16．已知函數(shù)，若方程恰有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，分別記為則的取值范圍是___________．四、解答題17．設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)锳，集合(1)求集合A；(2)若且p是q的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．18．在中，，（1）求；（2）再?gòu)臈l件①、條件②、這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使存在且唯一確定，并求邊上中線(xiàn)的長(zhǎng)．條件①：的面積為；條件②：的周長(zhǎng)為；19．已知函數(shù)(1)求函數(shù)的最小正周期及對(duì)稱(chēng)軸方程；(2)將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位，再將所得圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變?橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍，得到函數(shù)的圖象，求在[0，2π]上的單調(diào)遞減區(qū)間.20．已知函數(shù)滿(mǎn)足．（1）若方程有解，求的取值范圍；（2）設(shè)，求不等式的解集.21．已知數(shù)列滿(mǎn)足，，其中.(1)設(shè)，求證：數(shù)列是等差數(shù)列.(2)在（1）的條件下，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.(3)在（1）的條件下，若，是否存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意的，都有，若存在，求出的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由.22．已知函數(shù)．(1)若，求a的取值范圍；(2)證明：若有兩個(gè)零點(diǎn)，則．2024屆高二下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷參考答案1．A 2．C 3．C 4．D 5.A6．B【分析】由題意可知，圓與正方形的面積分別構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列，求和即可.【詳解】設(shè)半徑從大到小的圓的面積依次為，由畫(huà)圖知圓的面積構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列，計(jì)算得，，所以公比為.同理，設(shè)邊長(zhǎng)從大到小的正方形面積依次為，也構(gòu)成一個(gè)公比為的等比數(shù)列，且首項(xiàng).由圖案知夾在面積最大的圓與面積最大的正方形之間的陰影面積為，同理，所以該剪紙圖案的面積為:，.故選：B.7．C8．B【分析】由結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)可得;構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)可得,即可得解.【詳解】因?yàn)?，因?yàn)楫?dāng)，所以,即，所以；設(shè)，，所以在單調(diào)遞增，則,所以，所以,所以，故選：A．9．BC10．ABD11．ACD解：由即為，可化為，由，可得數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，則，即，又，可得12．ACD【詳解】在中，由正弦定理可將式子化為，把代入整理得，，解得或，即或(舍去).所以.選項(xiàng)A正確.選項(xiàng)B：因?yàn)闉殇J角三角形，，所以.由解得，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤.選項(xiàng)C：，因?yàn)?，所以，，即的取值范?故選項(xiàng)C正確.選項(xiàng)D：.因?yàn)?，所以?令，，則.由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)知，函數(shù)在上單調(diào)遞增.又，，所以.即的取值范圍為.故選項(xiàng)D正確.故選：AD.13．14．15．【分析】令，，將已知條件簡(jiǎn)化為；將用表示，分離常數(shù)，再使用“乘1法”轉(zhuǎn)化后利用基本不等式即可求得最小值．【詳解】解：令，，因?yàn)?，所以，則，，所以,所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，，即時(shí)取“”，所以的最小值為.故答案為：.16．【分析】明確分段函數(shù)兩段的性質(zhì)，進(jìn)而作出其圖像，將方程恰有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)解轉(zhuǎn)化為的圖象與直線(xiàn)有4個(gè)不同的交點(diǎn)，由圖象確定，，，的范圍，結(jié)合對(duì)勾函數(shù)單調(diào)性性質(zhì)，即可求得答案.【詳解】由題意知，當(dāng)時(shí)，，令，則；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，令，則或4；令，則或2；由此可作出函數(shù)的圖象如圖：

由于方程恰有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，分別記為，，，，故的圖象與直線(xiàn)有4個(gè)不同的交點(diǎn)，由圖象可知，不妨設(shè)，則，且關(guān)于對(duì)稱(chēng)，所以，又即，則，故，由于在上單調(diào)遞增，故，所以，故的取值范圍是，故答案為：17.(1)(2)【詳解】（1）由題意得：，解得：，所以；（2）因?yàn)閜是q的必要不充分條件，所以是的真子集，當(dāng)時(shí)，，解得：，當(dāng)時(shí)，，解得：，綜上：實(shí)數(shù)m的取值范圍是18．（1）；（2）答案不唯一，具體見(jiàn)解析．【詳解】（1），則由正弦定理可得，，，，，，解得；（2）若選擇①：由（1）可得，即，則，解得，則由余弦定理可得邊上的中線(xiàn)的長(zhǎng)度為：.若選擇②：由（1）可得，設(shè)的外接圓半徑為，則由正弦定理可得，，則周長(zhǎng)，解得，則，由余弦定理可得邊上的中線(xiàn)的長(zhǎng)度為：；19．(1)最小正周期為，對(duì)稱(chēng)軸方程為，(2)【詳解】（1），，所以函數(shù)的最小正周期為，令，，得函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸方程為，（2）將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位后所得圖象的解析式為，所以，令，所以.又，所以在上的單調(diào)遞減區(qū)間為.20．（1）；（2）.【詳解】（1）由，得，解得或（舍去），所以的解析式為：；所以，令，則，利用二次函數(shù)的性質(zhì)知，，所以的取值范圍為．（2）由函數(shù)知，定義域?yàn)?，又，即為上的偶函?shù)，當(dāng)時(shí)，利用指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知是增函數(shù)，由，即，所以，解得．故不等式的解集是：．21．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)(3)存在；【詳解】（1）證明：，，∴數(shù)列是首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列；（2），設(shè)，則①，②，①-②得，∴；（3）存在，理由如下：，，則，若對(duì)任意，都有，則等價(jià)于恒成立，即恒成立，，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，則；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，則.綜上，存在，使得對(duì)任意的，都有.22．【詳解】（1）的定義域?yàn)?，則令,得當(dāng)單調(diào)遞減當(dāng)單調(diào)遞增，若,則,即所以的取值范圍為（2）[方法一]：構(gòu)造函數(shù)由題知,一個(gè)零點(diǎn)小于1,一個(gè)零點(diǎn)大于1，不妨設(shè)要證,即證因?yàn)?即證又因?yàn)?/p>