空間解析幾何基礎(chǔ)知識

關(guān)于空間解析幾何基礎(chǔ)知識第1頁，講稿共104頁，2023年5月2日，星期三橫軸縱軸豎軸定點空間直角坐標(biāo)系

三個坐標(biāo)軸的正方向符合右手系.一、空間點的直角坐標(biāo)第2頁，講稿共104頁，2023年5月2日，星期三Ⅶ面面面空間直角坐標(biāo)系共有八個卦限ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅧ第3頁，講稿共104頁，2023年5月2日，星期三空間兩點間距離公式二、空間兩點間的距離第4頁，講稿共104頁，2023年5月2日，星期三第5頁，講稿共104頁，2023年5月2日，星期三向量：既有大小又有方向的量.向量表示：模長為1的向量.零向量：模長為0的向量.||向量的模：向量的大小.單位向量：一、向量的概念或或或第6頁，講稿共104頁，2023年5月2日，星期三自由向量：不考慮起點位置的向量.相等向量：大小相等且方向相同的向量.負(fù)向量：大小相等但方向相反的向量.向徑：空間直角坐標(biāo)系中任一點

與原點構(gòu)成的向量.第7頁，講稿共104頁，2023年5月2日，星期三[1]加法：（平行四邊形法則）特殊地：若‖分為同向和反向（平行四邊形法則有時也稱為三角形法則）二、向量的加減法第8頁，講稿共104頁，2023年5月2日，星期三向量的加法符合下列運(yùn)算規(guī)律：（1）交換律：（2）結(jié)合律：（3）[2]減法第9頁，講稿共104頁，2023年5月2日，星期三三、向量與數(shù)的乘法第10頁，講稿共104頁，2023年5月2日，星期三數(shù)與向量的乘積符合下列運(yùn)算規(guī)律：（1）結(jié)合律：（2）分配律：兩個向量的平行關(guān)系第11頁，講稿共104頁，2023年5月2日，星期三按照向量與數(shù)的乘積的規(guī)定，上式表明：一個非零向量除以它的模的結(jié)果是一個與原向量同方向的單位向量.第12頁，講稿共104頁，2023年5月2日，星期三第13頁，講稿共104頁，2023年5月2日，星期三一、空間兩向量的夾角的概念：類似地，可定義向量與一軸或空間兩軸的夾角.特殊地，當(dāng)兩個向量中有一個零向量時，規(guī)定它們的夾角可在0與之間任意取值.第14頁，講稿共104頁，2023年5月2日，星期三空間一點在軸上的投影第15頁，講稿共104頁，2023年5月2日，星期三空間一向量在軸上的投影第16頁，講稿共104頁，2023年5月2日，星期三關(guān)于向量的投影定理（1）證第17頁，講稿共104頁，2023年5月2日，星期三定理1的說明：投影為正；投影為負(fù)；投影為零；(4)

相等向量在同一軸上投影相等；第18頁，講稿共104頁，2023年5月2日，星期三關(guān)于向量的投影定理（2）（可推廣到有限多個）第19頁，講稿共104頁，2023年5月2日，星期三二、向量在坐標(biāo)軸上的分向量與向量的坐標(biāo)第20頁，講稿共104頁，2023年5月2日，星期三向量在軸上的投影向量在軸上的投影向量在軸上的投影第21頁，講稿共104頁，2023年5月2日，星期三按基本單位向量的坐標(biāo)分解式：在三個坐標(biāo)軸上的分向量：向量的坐標(biāo)：向量的坐標(biāo)表達(dá)式：特殊地：第22頁，講稿共104頁，2023年5月2日，星期三向量的加減法、向量與數(shù)的乘法運(yùn)算的坐標(biāo)表達(dá)式第23頁，講稿共104頁，2023年5月2日，星期三非零向量的方向角：非零向量與三條坐標(biāo)軸的正向的夾角稱為方向角.三、向量的模與方向余弦的坐標(biāo)表示式第24頁，講稿共104頁，2023年5月2日，星期三由圖分析可知向量的方向余弦方向余弦通常用來表示向量的方向.向量模長的坐標(biāo)表示式第25頁，講稿共104頁，2023年5月2日，星期三當(dāng)時，向量方向余弦的坐標(biāo)表示式第26頁，講稿共104頁，2023年5月2日，星期三方向余弦的特征特殊地：單位向量的方向余弦為第27頁，講稿共104頁，2023年5月2日，星期三第28頁，講稿共104頁，2023年5月2日，星期三關(guān)于數(shù)量積的說明：一、兩向量的數(shù)量積定義數(shù)量積也稱為“點積”、“內(nèi)積”.第29頁，講稿共104頁，2023年5月2日，星期三數(shù)量積符合下列運(yùn)算規(guī)律：（1）交換律：（2）分配律：（3）若為數(shù)：若、為數(shù)：第30頁，講稿共104頁，2023年5月2日，星期三兩向量夾角余弦的坐標(biāo)表示式由此可知兩向量垂直的充要條件為數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式第31頁，講稿共104頁，2023年5月2日，星期三定義關(guān)于向量積的說明：//向量積也稱為“叉積”、“外積”.二、兩向量的向量積第32頁，講稿共104頁，2023年5月2日，星期三向量積符合下列運(yùn)算規(guī)律：（1）（2）分配律：（3）若為數(shù)：第33頁，講稿共104頁，2023年5月2日，星期三向量積還可用三階行列式表示//由上式可推出第34頁，講稿共104頁，2023年5月2日，星期三補(bǔ)充例如，第35頁，講稿共104頁，2023年5月2日，星期三定義設(shè)混合積的坐標(biāo)表達(dá)式三、向量的混合積第36頁，講稿共104頁，2023年5月2日，星期三關(guān)于混合積的說明：(1)向量的混合積是一個數(shù)量.第37頁，講稿共104頁，2023年5月2日，星期三第38頁，講稿共104頁，2023年5月2日，星期三一、曲面方程的概念曲面方程的定義：第39頁，講稿共104頁，2023年5月2日，星期三以上幾例表明研究空間曲面有兩個基本問題：（2）已知坐標(biāo)間的關(guān)系式，研究曲面形狀．（討論旋轉(zhuǎn)曲面）（討論柱面、二次曲面）（1）已知曲面作為點的軌跡時，求曲面方程．第40頁，講稿共104頁，2023年5月2日，星期三二、旋轉(zhuǎn)曲面定義

以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面.這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的軸．播放第41頁，講稿共104頁，2023年5月2日，星期三二、旋轉(zhuǎn)曲面定義

以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面.這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的軸．第42頁，講稿共104頁，2023年5月2日，星期三二、旋轉(zhuǎn)曲面定義

以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面.這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的軸．第43頁，講稿共104頁，2023年5月2日，星期三二、旋轉(zhuǎn)曲面定義

以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面.這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的軸．第44頁，講稿共104頁，2023年5月2日，星期三二、旋轉(zhuǎn)曲面定義

以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面.這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的軸．第45頁，講稿共104頁，2023年5月2日，星期三二、旋轉(zhuǎn)曲面定義

以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面.這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的軸．第46頁，講稿共104頁，2023年5月2日，星期三二、旋轉(zhuǎn)曲面定義

以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面.這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的軸．第47頁，講稿共104頁，2023年5月2日，星期三二、旋轉(zhuǎn)曲面定義

以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面.這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的軸．第48頁，講稿共104頁，2023年5月2日，星期三二、旋轉(zhuǎn)曲面定義

以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面.這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的軸．第49頁，講稿共104頁，2023年5月2日，星期三二、旋轉(zhuǎn)曲面定義

以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面.這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的軸．第50頁，講稿共104頁，2023年5月2日，星期三二、旋轉(zhuǎn)曲面定義

以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面.這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的軸．第51頁，講稿共104頁，2023年5月2日，星期三二、旋轉(zhuǎn)曲面定義

以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面.這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的軸．第52頁，講稿共104頁，2023年5月2日，星期三二、旋轉(zhuǎn)曲面定義

以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面.這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的軸．第53頁，講稿共104頁，2023年5月2日，星期三第54頁，講稿共104頁，2023年5月2日，星期三解

圓錐面方程或第55頁，講稿共104頁，2023年5月2日，星期三例6

將下列各曲線繞對應(yīng)的軸旋轉(zhuǎn)一周，求生成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程．旋轉(zhuǎn)雙曲面第56頁，講稿共104頁，2023年5月2日，星期三旋轉(zhuǎn)橢球面旋轉(zhuǎn)拋物面第57頁，講稿共104頁，2023年5月2日，星期三播放定義三、柱面觀察柱面的形成過程:平行于定直線并沿定曲線移動的直線所形成的曲面稱為柱面.這條定曲線叫柱面的準(zhǔn)線，動直線叫柱面的母線.第58頁，講稿共104頁，2023年5月2日，星期三定義三、柱面觀察柱面的形成過程:平行于定直線并沿定曲線移動的直線所形成的曲面稱為柱面.這條定曲線叫柱面的準(zhǔn)線，動直線叫柱面的母線.第59頁，講稿共104頁，2023年5月2日，星期三定義三、柱面觀察柱面的形成過程:平行于定直線并沿定曲線移動的直線所形成的曲面稱為柱面.這條定曲線叫柱面的準(zhǔn)線，動直線叫柱面的母線.第60頁，講稿共104頁，2023年5月2日，星期三定義三、柱面觀察柱面的形成過程:平行于定直線并沿定曲線移動的直線所形成的曲面稱為柱面.這條定曲線叫柱面的準(zhǔn)線，動直線叫柱面的母線.第61頁，講稿共104頁，2023年5月2日，星期三定義三、柱面觀察柱面的形成過程:平行于定直線并沿定曲線移動的直線所形成的曲面稱為柱面.這條定曲線叫柱面的準(zhǔn)線，動直線叫柱面的母線.第62頁，講稿共104頁，2023年5月2日，星期三定義三、柱面觀察柱面的形成過程:平行于定直線并沿定曲線移動的直線所形成的曲面稱為柱面.這條定曲線叫柱面的準(zhǔn)線，動直線叫柱面的母線.第63頁，講稿共104頁，2023年5月2日，星期三定義三、柱面觀察柱面的形成過程:平行于定直線并沿定曲線移動的直線所形成的曲面稱為柱面.這條定曲線叫柱面的準(zhǔn)線，動直線叫柱面的母線.第64頁，講稿共104頁，2023年5月2日，星期三定義三、柱面觀察柱面的形成過程:平行于定直線并沿定曲線移動的直線所形成的曲面稱為柱面.這條定曲線叫柱面的準(zhǔn)線，動直線叫柱面的母線.第65頁，講稿共104頁，2023年5月2日，星期三定義三、柱面觀察柱面的形成過程:平行于定直線并沿定曲線移動的直線所形成的曲面稱為柱面.這條定曲線叫柱面的準(zhǔn)線，動直線叫柱面的母線.第66頁，講稿共104頁，2023年5月2日，星期三定義三、柱面觀察柱面的形成過程:平行于定直線并沿定曲線移動的直線所形成的曲面稱為柱面.這條定曲線叫柱面的準(zhǔn)線，動直線叫柱面的母線.第67頁，講稿共104頁，2023年5月2日，星期三定義三、柱面觀察柱面的形成過程:平行于定直線并沿定曲線移動的直線所形成的曲面稱為柱面.這條定曲線叫柱面的準(zhǔn)線，動直線叫柱面的母線.第68頁，講稿共104頁，2023年5月2日，星期三定義三、柱面觀察柱面的形成過程:平行于定直線并沿定曲線移動的直線所形成的曲面稱為柱面.這條定曲線叫柱面的準(zhǔn)線，動直線叫柱面的母線.第69頁，講稿共104頁，2023年5月2日，星期三定義三、柱面觀察柱面的形成過程:平行于定直線并沿定曲線移動的直線所形成的曲面稱為柱面.這條定曲線叫柱面的準(zhǔn)線，動直線叫柱面的母線.第70頁，講稿共104頁，2023年5月2日，星期三柱面舉例拋物柱面平面第71頁，講稿共104頁，2023年5月2日，星期三從柱面方程看柱面的特征：（其他類推）實例橢圓柱面//軸雙曲柱面//軸拋物柱面//軸第72頁，講稿共104頁，2023年5月2日，星期三第73頁，講稿共104頁，2023年5月2日，星期三空間曲線的一般方程

曲線上的點都滿足方程，滿足方程的點都在曲線上，不在曲線上的點不能同時滿足兩個方程.空間曲線C可看作空間兩曲面的交線.特點：一、空間曲線的一般方程第74頁，講稿共104頁，2023年5月2日，星期三空間曲線的參數(shù)方程二、空間曲線的參數(shù)方程第75頁，講稿共104頁，2023年5月2日，星期三消去變量z后得：曲線關(guān)于的投影柱面設(shè)空間曲線的一般方程：以此空間曲線為準(zhǔn)線，垂直于所投影的坐標(biāo)面.投影柱面的特征：三、空間曲線在坐標(biāo)面上的投影第76頁，講稿共104頁，2023年5月2日，星期三類似地：可定義空間曲線在其他坐標(biāo)面上的投影面上的投影曲線,面上的投影曲線,空間曲線在面上的投影曲線第77頁，講稿共104頁，2023年5月2日，星期三第78頁，講稿共104頁，2023年5月2日，星期三

如果一非零向量垂直于一平面，這向量就叫做該平面的法線向量．法線向量的特征：垂直于平面內(nèi)的任一向量．一、平面的點法式方程平面的點法式方程法向量已知點第79頁，講稿共104頁，2023年5月2日，星期三由平面的點法式方程平面的一般方程法向量二、平面的一般方程第80頁，講稿共104頁，2023年5月2日，星期三平面一般方程的幾種特殊情況：平面通過坐標(biāo)原點；平面通過軸；平面平行于軸；平面平行于坐標(biāo)面；類似地可討論情形.類似地可討論情形.第81頁，講稿共104頁，2023年5月2日，星期三將代入所設(shè)方程得平面的截距式方程第82頁，講稿共104頁，2023年5月2日，星期三定義（通常取銳角）兩平面法向量之間的夾角稱為兩平面的夾角.三、兩平面的夾角第83頁，講稿共104頁，2023年5月2日，星期三按照兩向量夾角余弦公式有兩平面夾角余弦公式兩平面位置特征：//第84頁，講稿共104頁，2023年5月2日，星期三點到平面距離公式第85頁，講稿共104頁，2023年5月2日，星期三第86頁，講稿共104頁，2023年5月2日，星期三定義空間直線可看成兩平面的交線．空間直線的一般方程一、空間直線的一般方程第87頁，講稿共104頁，2023年5月2日，星期三方向向量的定義：

如果一非零向量平行于一條已知直線，這個向量稱為這條直線的方向向量．//二、空間直線的對稱式方程與參數(shù)方程第88頁，講稿共104頁，2023年5月2日，星期三直線的對稱式方程令直線的一組方向數(shù)方向向量的余弦稱為直線的方向余弦.直線的參數(shù)方程直線方向向量直線上一點第89頁，講稿共104頁，2023年5月2日，星期三定義直線直線^兩直線的方向向量的夾角稱之.（銳角）兩直線的夾角公式三、兩直線的夾角第90頁，講稿共104頁，2023年5月2日，星期三兩直線的位置關(guān)系：//第91頁，講稿共104頁，2023年5月2日，星期三定義直線和它在平面上的投影直線的夾角稱為直線與平面的夾角．^^四、直線與平面的夾角第92頁，講稿共104頁，2023年5月2日，星期三直線與平面的夾角公式直線與平面的位置關(guān)系：//第93頁，講稿共104頁，2023年5月2日，星期三第94頁，講稿共104頁，2023年5月2日，星期三二次曲面的定義：三元二次方程所表示的曲面稱為二次曲面．相應(yīng)地平面被稱為一次曲面．討論二次曲面性狀的截痕法：

用坐標(biāo)面和平行于坐標(biāo)面的平面與曲面相截，考察其交線（即截痕）的形狀，然后加以綜合，從而了解曲面的全貌．