概率論與數(shù)理統(tǒng)計(浙江大學版本)

概率與統(tǒng)計

開課系：非數(shù)學專業(yè)教師:葉梅燕e-mail:yemeiyan@概率論與數(shù)理統(tǒng)計(浙江大學版本)教材：《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》王松桂等編科學出版社2002參考書：1.《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》浙江大學盛驟等編高等教育出版社2.《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》魏振軍編中國統(tǒng)計出版社概率論與數(shù)理統(tǒng)計(浙江大學版本)序言?概率論是研究什么的？隨機現(xiàn)象：不確定性與統(tǒng)計規(guī)律性概率論——研究和揭示隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性的科學

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(浙江大學版本)目錄第一章隨機事件及其概率第二章隨機變量第三章隨機變量的數(shù)字特征第四章樣本及抽樣分布第五章參數(shù)估計第六章假設檢驗概率論與數(shù)理統(tǒng)計(浙江大學版本)第一章隨機事件及其概率隨機事件及其運算概率的定義及其運算條件概率事件的獨立性

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(浙江大學版本)1.1隨機事件及其概率

一、隨機試驗(簡稱“試驗”)隨機試驗的特點(p1)1.可在相同條件下重復進行；2.一次試驗之前無法確定具體是哪種結果出現(xiàn)，但能確定所有的可能結果。

隨機試驗常用E表示

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(浙江大學版本)E1:拋一枚硬幣，分別用“H”和“T”表示出正面和反面;E2:將一枚硬幣連拋三次，考慮正反面出現(xiàn)的情況；E3:某城市某年某月內(nèi)發(fā)生交通事故的次數(shù)；E4:擲一顆骰子，可能出現(xiàn)的點數(shù)；E5:記錄某網(wǎng)站一分鐘內(nèi)受到的點擊次數(shù)；E6:在一批燈泡中任取一只，測其壽命;E7:任選一人，記錄他的身高和體重。隨機實驗的例子隨機事件概率論與數(shù)理統(tǒng)計(浙江大學版本)二、樣本空間(p2)

1、樣本空間：試驗的所有可能結果所組成的集合稱為樣本空間，記為={e}；

2、樣本點:試驗的單個結果或樣本空間的單元素稱為樣本點,記為e.

3.由樣本點組成的單點集稱為基本事件,也記為e.

幻燈片6概率論與數(shù)理統(tǒng)計(浙江大學版本)隨機事件1.定義樣本空間的任意一個子集稱為隨機事件,簡稱“事件”.記作A、B、C等任何事件均可表示為樣本空間的某個子集.稱事件A發(fā)生當且僅當試驗的結果是子集A中的元素。

2.兩個特殊事件:必然事件S

、不可能事件.(p3)

例如

對于試驗E2

，以下A、

B、C即為三個隨機事件:A＝“至少出一個正面”＝{HHH,HHT,HTH,THH，HTT，THT，TTH}；B=“兩次出現(xiàn)同一面”={HHH,TTT}C=“恰好出現(xiàn)一次正面”={HTT，THT，TTH}再如，試驗E6中D＝“燈泡壽命超過1000小時”＝{x:1000<x<T(小時）}。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(浙江大學版本)三、事件之間的關系

既然事件是一個集合，因此有關事件間的關系、運算及運算規(guī)則也就按集合間的關系、運算及運算規(guī)則來處理。

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1.包含關系(p3)“事件A發(fā)生必有事件B發(fā)生”記為ABA＝BAB且BA.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(浙江大學版本)2.和事件：(p3)“事件A與事件B至少有一個發(fā)生”，記作AB2’n個事件A1,A2,…,An至少有一個發(fā)生，記作概率論與數(shù)理統(tǒng)計(浙江大學版本)3.積事件(p4):事件A與事件B同時發(fā)生，記作AB＝AB3’n個事件A1,A2,…,An同時發(fā)生，記作A1A2…An概率論與數(shù)理統(tǒng)計(浙江大學版本)4.差事件(p5)：A－B稱為A與B的差事件,表示事件A發(fā)生而事件B不發(fā)生思考：何時A-B=?何時A-B=A？概率論與數(shù)理統(tǒng)計(浙江大學版本)5.互斥的事件（也稱互不相容事件）(p4)

即事件與事件不可能同時發(fā)生。AB＝

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(浙江大學版本)6.互逆的事件(p5)

AB＝,且AB＝

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(浙江大學版本)五、事件的運算(p5)1、交換律：AB＝BA，AB＝BA2、結合律：(AB)C＝A(BC)，

(AB)C＝A(BC)3、分配律：(AB)C＝(AC)(BC)，

(AB)C＝(AC)(BC)4、對偶(DeMorgan)律：概率論與數(shù)理統(tǒng)計(浙江大學版本)例：甲、乙、丙三人各向目標射擊一發(fā)子彈，以A、B、C分別表示甲、乙、丙命中目標，試用A、B、C的運算關系表示下列事件：概率論與數(shù)理統(tǒng)計(浙江大學版本)

1.2概率的定義及其運算

從直觀上來看，事件A的概率是描繪事件A發(fā)生的可能性大小的量?P（A）應具有何種性質(zhì)？?*拋一枚硬幣，幣值面向上的概率為多少？*擲一顆骰子，出現(xiàn)6點的概率為多少？出現(xiàn)單數(shù)點的概率為多少？*向目標射擊，命中目標的概率有多大？概率論與數(shù)理統(tǒng)計(浙江大學版本)(p10)若某實驗E滿足：1.有限性：樣本空間S＝{e1,e2,…,en};2.等可能性：（公認）P(e1)=P(e2)=…=P(en).則稱E為古典概型也叫等可能概型。1.2.1.古典概型與概率概率論與數(shù)理統(tǒng)計(浙江大學版本)設事件A中所含樣本點個數(shù)為N(A)，以N()記樣本空間中樣本點總數(shù)，則有P(A)具有如下性質(zhì)(P7)(1)0

P(A)1；(2)P()＝1；P()=0(3)AB＝，則

P(AB

)＝P(A)＋P(B)古典概型中的概率(P10):概率論與數(shù)理統(tǒng)計(浙江大學版本)例:有三個子女的家庭,設每個孩子是男是女的概率相等,則至少有一個男孩的概率是多少?解:設A--至少有一個男孩,以H表示某個孩子是男孩={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT,TTT}A={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT}概率論與數(shù)理統(tǒng)計(浙江大學版本)二、古典概型的幾類基本問題乘法公式：設完成一件事需分兩步，第一步有n1種方法,第二步有n2種方法，則完成這件事共有n1n2種方法。（也可推廣到分若干步）復習：排列與組合的基本概念概率論與數(shù)理統(tǒng)計(浙江大學版本)加法公式：設完成一件事可有兩種途徑，第一種途徑有n1種方法，第二種途徑有n2種方法，則完成這件事共有n1+n2種方法。（也可推廣到若干途徑）這兩公式的思想貫穿著整個概率問題的求解。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(浙江大學版本)有重復排列：從含有n個元素的集合中隨機抽取k次，每次取一個，記錄其結果后放回，將記錄結果排成一列，nnnn共有nk種排列方式.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(浙江大學版本)無重復排列：從含有n個元素的集合中隨機抽取k次，每次取一個，取后不放回，將所取元素排成一列，共有Pnk=n(n-1)…(n-k+1)種排列方式.nn-1n-2n-k+1概率論與數(shù)理統(tǒng)計(浙江大學版本)組合：從含有n個元素的集合中隨機抽取k個，共有種取法.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(浙江大學版本)1、抽球問題例1:設合中有3個白球，2個紅球，現(xiàn)從合中任抽2個球，求取到一紅一白的概率。解:設A-----取到一紅一白答:取到一紅一白的概率為3/5概率論與數(shù)理統(tǒng)計(浙江大學版本)一般地，設盒中有N個球，其中有M個白球，現(xiàn)從中任抽n個球，則這n個球中恰有k個白球的概率是概率論與數(shù)理統(tǒng)計(浙江大學版本)在實際中，產(chǎn)品的檢驗、疾病的抽查、農(nóng)作物的選種等問題均可化為隨機抽球問題。我們選擇抽球模型的目的在于是問題的數(shù)學意義更加突出，而不必過多的交代實際背景。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(浙江大學版本)2、分球入盒問題例2：將3個球隨機的放入3個盒子中去，問：（1）每盒恰有一球的概率是多少？（2）空一盒的概率是多少？解:設A:每盒恰有一球,B:空一盒概率論與數(shù)理統(tǒng)計(浙江大學版本)一般地，把n個球隨機地分配到m個盒子中去(nm)，則每盒至多有一球的概率是：P9某班級有n個人(n365)，問至少有兩個人的生日在同一天的概率有多大？?概率論與數(shù)理統(tǒng)計(浙江大學版本)3.分組問題例3：30名學生中有3名運動員，將這30名學生平均分成3組，求：（1）每組有一名運動員的概率；（2）3名運動員集中在一個組的概率。解:設A:每組有一名運動員;B:3名運動員集中在一組概率論與數(shù)理統(tǒng)計(浙江大學版本)一般地，把n個球隨機地分成m組(n>m),要求第i

組恰有ni個球(i=1,…m)，共有分法：概率論與數(shù)理統(tǒng)計(浙江大學版本)4隨機取數(shù)問題例4從1到200這200個自然數(shù)中任取一個,(1)求取到的數(shù)能被6整除的概率(2)求取到的數(shù)能被8整除的概率(3)求取到的數(shù)既能被6整除也能被8整除的概率解:N(S)=200,N(3)=[200/24]=8N(1)=[200/6]=33,N(2)=[200/8]=25(1),(2),(3)的概率分別為:33/200,1/8,1/25概率論與數(shù)理統(tǒng)計(浙江大學版本)某人向目標射擊，以A表示事件“命中目標”，P（A）=？?定義:(p8)事件A在n次重復試驗中出現(xiàn)nA次，則比值nA/n稱為事件A在n次重復試驗中出現(xiàn)的頻率，記為fn(A).

即fn(A)＝nA/n.1.3頻率與概率概率論與數(shù)理統(tǒng)計(浙江大學版本)歷史上曾有人做過試驗,試圖證明拋擲勻質(zhì)硬幣時，出現(xiàn)正反面的機會均等。實驗者nnHfn(H)DeMorgan204810610.5181Buffon404020480.5069K.Pearson1200060190.5016K.Pearson24000120120.5005概率論與數(shù)理統(tǒng)計(浙江大學版本)頻率的性質(zhì)(1)0

fn(A)1；(2)fn(S)＝1；fn()=0(3)可加性：若AB＝

，則

fn(AB)＝fn(A)＋fn(B).實踐證明：當試驗次數(shù)n增大時，fn(A)逐漸趨向一個穩(wěn)定值?？蓪⒋朔€(wěn)定值記作P(A)，作為事件A的概率概率論與數(shù)理統(tǒng)計(浙江大學版本)1.3.2.概率的公理化定義

注意到不論是對概率的直觀理解，還是頻率定義方式，作為事件的概率，都應具有前述三條基本性質(zhì)，在數(shù)學上，我們就可以從這些性質(zhì)出發(fā)，給出概率的公理化定義概率論與數(shù)理統(tǒng)計(浙江大學版本)1.定義(p8)

若對隨機試驗E所對應的樣本空間中的每一事件A，均賦予一實數(shù)P(A)，集合函數(shù)P(A)滿足條件：(1)P(A)≥0；(2)P()＝1； (3)可列可加性：設A1，A2，…,是一列兩兩互不相容的事件，即AiAj＝，(ij),i,j＝1,2,…,有

P(A1

A2

…

)＝P(A1)＋P(A2)+….(1.1)則稱P(A)為事件A的概率。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(浙江大學版本)2.概率的性質(zhì)

P(10-13)(1)有限可加性：設A1，A2，…An,是n個兩兩互不相容的事件，即AiAj＝

，(ij),i,j＝1,2,…,n,則有

P(A1

A2

…

An)＝P(A1)＋P(A2)+…P(An);(3)事件差

A、B是兩個事件，則P(A-B)=P(A)-P(AB)(2)單調(diào)不減性：若事件AB，則P(A)≥P(B)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(浙江大學版本)(4)加法公式：對任意兩事件A、B，有P(AB)＝P(A)＋P(B)－P(AB)該公式可推廣到任意n個事件A1，A2，…，An的情形；(3)互補性：P(A)＝1－P(A);(5)可分性：對任意兩事件A、B，有P(A)＝P(AB)＋P(AB).

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(浙江大學版本)某市有甲,乙,丙三種報紙,訂每種報紙的人數(shù)分別占全體市民人數(shù)的30%,其中有10%的人同時定甲,乙兩種報紙.沒有人同時訂甲乙或乙丙報紙.求從該市任選一人,他至少訂有一種報紙的概率.EX解:設A,B,C分別表示選到的人訂了甲,乙,丙報概率論與數(shù)理統(tǒng)計(浙江大學版本)例1.3.2.在110這10個自然數(shù)中任取一數(shù)，求（1）取到的數(shù)能被2或3整除的概率，（2）取到的數(shù)即不能被2也不能被3整除的概率，（3）取到的數(shù)能被2整除而不能被3整除的概率。解:設A—取到的數(shù)能被2整除;B--取到的數(shù)能被3整除故概率論與數(shù)理統(tǒng)計(浙江大學版本)

袋中有十只球，其中九只白球，一只紅球，十人依次從袋中各取一球(不放回)，問第一個人取得紅球的概率是多少？第二個人取得紅球的概率是多少？?1.4條件概率概率論與數(shù)理統(tǒng)計(浙江大學版本)若已知第一個人取到的是白球，則第二個人取到紅球的概率是多少？已知事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率稱為A條件下B的條件概率，記作P(B|A)若已知第一個人取到的是紅球，則第二個人取到紅球的概率又是多少？概率論與數(shù)理統(tǒng)計(浙江大學版本)一、條件概率例1設袋中有3個白球，2個紅球，現(xiàn)從袋中任意抽取兩次，每次取一個，取后不放回，（1）已知第一次取到紅球，求第二次也取到紅球的概率;（2）求第二次取到紅球的概率（3）求兩次均取到紅球的概率設A——第一次取到紅球,B——第二次取到紅球概率論與數(shù)理統(tǒng)計(浙江大學版本)S=ABA——第一次取到紅球,B——第二次取到紅球概率論與數(shù)理統(tǒng)計(浙江大學版本)顯然，若事件A、B是古典概型的樣本空間S中的兩個事件，其中A含有nA個樣本點,AB含有nAB個樣本點，則稱為事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的條件概率(p14)

一般地，設A、B是S中的兩個事件，則概率論與數(shù)理統(tǒng)計(浙江大學版本)?“條件概率”是“概率”嗎？概率定義

若對隨機試驗E所對應的樣本空間S中的每一事件A，均賦予一實數(shù)P(A)，集合函數(shù)P(A)滿足條件：P(A)≥0；(2)P(S)＝1;(3)可列可加性：設A1，A2，…,是一列兩兩互不相容的事件，即AiAj＝，(ij),i,j＝1,2,…,有

P(A1

A2

…

)＝P(A1)＋P(A2)+….

則稱P(A)為事件A的概率。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(浙江大學版本)例2.(p14)一盒中混有100只新,舊乒乓球，各有紅、白兩色，分類如下表。從盒中隨機取出一球，若取得的是一只紅球，試求該紅球是新球的概率。紅白新4030舊2010設A--從盒中隨機取到一只紅球.B--從盒中隨機取到一只新球.AB概率論與數(shù)理統(tǒng)計(浙江大學版本)二、乘法公式(p15)設A、B，P（A）>0,則P(AB)＝P(A)P(B|A).(1.4.2)式(1.4.2)就稱為事件A、B的概率乘法公式。

式(1.4.2)還可推廣到三個事件的情形：P(ABC)＝P(A)P(B|A)P(C|AB).(1.4.3)一般地，有下列公式：P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2|A1)...P(An|A1…An－1).(1.4.4)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(浙江大學版本)例3

合中有3個紅球，2個白球，，每次從袋中任取一只，觀察其顏色后放回，并再放入一只與所取之球顏色相同的球，若從合中連續(xù)取球4次,試求第1、2次取得白球、第3、4次取得紅球的概率。解：設Ai為第i次取球時取到白球，則概率論與數(shù)理統(tǒng)計(浙江大學版本)三、全概率公式與貝葉斯公式例4.(p16)市場上有甲、乙、丙三家工廠生產(chǎn)的同一品牌產(chǎn)品，已知三家工廠的市場占有率分別為1/4、1/4、1/2，且三家工廠的次品率分別為2％、1％、3％，試求市場上該品牌產(chǎn)品的次品率。B概率論與數(shù)理統(tǒng)計(浙江大學版本)定義(p17)事件組A1，A2，…，An(n可為)，稱為樣本空間的一個劃分，若滿足：A1A2……………AnB概率論與數(shù)理統(tǒng)計(浙江大學版本)定理1、(p17)設A1，…,An是的一個劃分，且P(Ai)>0，(i＝1，…，n)，則對任何事件B有式(1.4.5)就稱為全概率公式。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(浙江大學版本)例5(P17)有甲乙兩個袋子，甲袋中有兩個白球，1個紅球，乙袋中有兩個紅球，一個白球．這六個球手感上不可區(qū)別．今從甲袋中任取一球放入乙袋，攪勻后再從乙袋中任取一球，問此球是紅球的概率？解：設A1——從甲袋放入乙袋的是白球；A2——從甲袋放入乙袋的是紅球；B——從乙袋中任取一球是紅球；甲乙概率論與數(shù)理統(tǒng)計(浙江大學版本)定理2(p18)設A1，…,An是S的一個劃分，且P(Ai)>0，(i＝1，…，n)，則對任何事件BS，有

式(1.4.6)就稱為貝葉斯公式。思考：上例中，若已知取到一個紅球，則從甲袋放入乙袋的是白球的概率是多少？答:概率論與數(shù)理統(tǒng)計(浙江大學版本)(P22,22.)商店論箱出售玻璃杯，每箱20只，其中每箱含0，1，2只次品的概率分別為0.8,0.1,0.1，某顧客選中一箱，從中任選4只檢查，結果都是好的，便買下了這一箱.問這一箱含有一個次品的概率是多少？解:設A:從一箱中任取4只檢查,結果都是好的.B0,B1,B2分別表示事件每箱含0，1，2只次品已知:P(B0)=0.8,P(B1)=0.1,P(B2)=0.1由Bayes公式:概率論與數(shù)理統(tǒng)計(浙江大學版本)例6

(p18)數(shù)字通訊過程中，信源發(fā)射0、1兩種狀態(tài)信號，其中發(fā)0的概率為0.55，發(fā)1的概率為0.45。由于信道中存在干擾，在發(fā)0的時候，接收端分別以概率0.9、0.05和0.05接收為0、1和“不清”。在發(fā)1的時候，接收端分別以概率0.85、0.05和0.1接收為1、0和“不清”。現(xiàn)接收端接收到一個“1”的信號。問發(fā)端發(fā)的是0的概率是多少?)BA(P＝)A(P)AB(P)A(P)AB(P)A(P)AB(P+＝＝0.067解：設A---發(fā)射端發(fā)射0，

B---接收端接收到一個“1”的信號．0(0.55)01不清(0.9)(0.05)(0.05)1(0.45)10不清(0.85)(0.05)(0.1)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(浙江大學版本)條件概率條件概率小結縮減樣本空間定義式乘法公式全概率公式貝葉斯公式概率論與數(shù)理統(tǒng)計(浙江大學版本)1.5事件的獨立性

一、兩事件獨立(P19)定義1設A、B是兩事件，P(A)≠0,若P(B)＝P(B|A)(1.5.1)則稱事件A與B相互獨立。式(1.5.1)等價于：P(AB)＝P(A)P(B)(1.5.2)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(浙江大學版本)從一付52張的撲克牌中任意抽取一張，以A表示抽出一張A，以B表示抽出一張黑桃，問A與B是否獨立？定理、以下四件事等價：(1)事件A、B相互獨立；(2)事件A、B相互獨立；(3)事件A、B相互獨立；(4)事件A、B相互獨立。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(浙江大學版本)二、多個事件的獨立定義2、(p20)

若三個事件A、B、C滿足：(1)P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C),則稱事件A、B、C兩兩相互獨立；若在此基礎上還滿足：(2)P(ABC)＝P(A)P(B)P(C),(1.5.3)則稱事件A、B、C相互獨立。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(浙江大學版本)一般地，設A1，A2，…，An是n個事件，如果對任意k(1kn),任意的1i1i2…

ik

n，具有等式P(Ai1Ai2…Aik)＝P(Ai1)P(Ai2)…P(Aik)

(1.5.4)則稱n個事件A1，A2，…，An相互獨立。思考：1.設事件A、B、C、D相互獨立，則2.一顆骰子擲4次至少得一個六點與兩顆骰子擲24次至少得一個雙六，這兩件事，哪一個有更多的機會遇到？答:0.518,0.496概率論與數(shù)理統(tǒng)計(浙江大學版本)三、事件獨立性的應用1、加法公式的簡化：若事件A1，A2，…，An相互獨立,則(1.5.5)2、在可靠性理論上的應用P23,24．如圖，1、2、3、4、5表示繼電器觸點,假設每個觸點閉合的概率為p,且各繼電器接點閉合與否相互獨立，求L至R是通路的概率。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(浙江大學版本)設A---L至R為通路,Ai---第i個繼電器通,i=1,2,…5由全概率公式概率論與數(shù)理統(tǒng)計(浙江大學版本)EX1:一個學生欲到三家圖書館借一本參考書．每家圖書館購進這種書的概率是1/2，購進這種書的圖書館中該書被借完了的概率也是1/2．各家圖書館是否購進該書相互獨立．問該學生能夠借到書的概率是多少？第一章小結本章由六個概念（隨機試驗、事件、概率、條件概率、獨立性），四個公式（加法公式、乘法公式、全概率公式、貝葉斯公式）和一個概型（古典概型）組成概率論與數(shù)理統(tǒng)計(浙江大學版本)第二章隨機變量

離散型隨機變量隨機變量的分布函數(shù)連續(xù)型隨機變量一維隨機變量函數(shù)的分布二維隨機變量的聯(lián)合分布多維隨機變量的邊緣分布與獨立性條件分布多維隨機變量函數(shù)的分布概率論與數(shù)理統(tǒng)計(浙江大學版本)

關于隨機變量(及向量)的研究，是概率論的中心內(nèi)容．這是因為，對于一個隨機試驗，我們所關心的往往是與所研究的特定問題有關的某個或某些量，而這些量就是隨機變量．也可以說：隨機事件是從靜態(tài)的觀點來研究隨機現(xiàn)象，而隨機變量則是一種動態(tài)的觀點，一如數(shù)學分析中的常量與變量的區(qū)分那樣．變量概念是高等數(shù)學有別于初等數(shù)學的基礎概念．同樣，概率論能從計算一些孤立事件的概念發(fā)展為一個更高的理論體系，其基礎概念是隨機變量概率論與數(shù)理統(tǒng)計(浙江大學版本)2.1隨機變量的概念(p24)定義.

設S={e}是試驗的樣本空間，如果量X是定義在S上的一個單值實值函數(shù)即對于每一個eS，有一實數(shù)X=X(e)與之對應，則稱X為隨機變量。隨機變量常用X、Y、Z或、、等表示。隨機變量的特點:

1X的全部可能取值是互斥且完備的2X的部分可能取值描述隨機事件概率論與數(shù)理統(tǒng)計(浙江大學版本)?請舉幾個實際中隨機變量的例子EX．引入適當?shù)碾S機變量描述下列事件：①將3個球隨機地放入三個格子中，事件A={有1個空格}，B={有2個空格}，C={全有球}。②進行5次試驗，事件D={試驗成功一次}，F(xiàn)={試驗至少成功一次}，G={至多成功3次}概率論與數(shù)理統(tǒng)計(浙江大學版本)隨機變量的分類：隨機變量概率論與數(shù)理統(tǒng)計(浙江大學版本)2.2離散型隨機變量(P25)定義若隨機變量X取值x1,x2,…,xn,…且取這些值的概率依次為p1,p2,…,pn,…,則稱X為離散型隨機變量，而稱P{X=xk}=pk,(k=1,2,…)

為X的分布律或概率分布?？杀頌?/p>

X～P{X=xk}=pk,(k=1,2,…)，或…X

x1 x2

…

xK …

Pk p1 p2 … pk …概率論與數(shù)理統(tǒng)計(浙江大學版本)(1)pk0,k＝1,2,…;(2)

例1設袋中有5只球，其中有2只白3只黑?，F(xiàn)從中任取3只球(不放回)，求抽得的白球數(shù)X為k的概率。解k可取值0，1，22.分布律的性質(zhì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(浙江大學版本)例2.某射手對目標獨立射擊5次，每次命中目標的概率為p，以X表示命中目標的次數(shù)，求X的分布律。解：設Ai第i次射擊時命中目標，i=1,2,3,4,5則A1,A2,…A5,相互獨立且P(Ai)=p,i=1,2,…5.SX={0,1,2,3,4,5},(1-p)5

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(浙江大學版本)·幾個常用的離散型分布

（一）貝努里(Bernoulli)概型與二項分布1.(0-1)分布(p26)

若以X表示進行一次試驗事件A發(fā)生的次數(shù)，則稱X服從(0－1)分布(兩點分布)X～P{X＝k}＝pk(1－p)1－k,(0<p<1)k＝0，1或概率論與數(shù)理統(tǒng)計(浙江大學版本)(P27)若以X表示n重貝努里試驗事件A發(fā)生的次數(shù)，則稱X服從參數(shù)為n,p的二項分布。

記作X~B（n,p)

,其分布律為：2.(p27)定義設將試驗獨立重復進行n次，每次試驗中，事件A發(fā)生的概率均為p，則稱這n次試驗為n重貝努里試驗.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(浙江大學版本)例3.從某大學到火車站途中有6個交通崗,假設在各個交通崗是否遇到紅燈相互獨立,并且遇到紅燈的概率都是1/3.(1)設X為汽車行駛途中遇到的紅燈數(shù),求X的分布律.(2)求汽車行駛途中至少遇到5次紅燈的概率.解:(1)由題意,X~B(6,1/3),于是,X的分布律為:概率論與數(shù)理統(tǒng)計(浙江大學版本)例4.

某人射擊的命中率為0.02，他獨立射擊400次，試求其命中次數(shù)不少于2的概率。泊松定理(p28)

設隨機變量Xn~B(n,p),(n＝0,1,2,…),且n很大，p很小，記=np，則

解

設X表示400次獨立射擊中命中的次數(shù)，則X～B(400,0.02)，故P{X2}＝1－P{X＝0}－P{X＝1}＝1－0.98400－(400)(0.02)(0.98399)=…概率論與數(shù)理統(tǒng)計(浙江大學版本)上題用泊松定理取

=np＝(400)(0.02)＝8,故近似地有

P{X2}＝1－P{X＝0}－P{X＝1}＝1－(1＋8)e－8＝0.996981.（二.）泊松(Poisson)分布P()(p28)X～P{X＝k}＝,k＝0,1,2,…(0)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(浙江大學版本)泊松定理表明，泊松分布是二項分布的極限分布，當n很大，p很小時，二項分布就可近似地看成是參數(shù)=np的泊松分布概率論與數(shù)理統(tǒng)計(浙江大學版本)例5.設某國每對夫婦的子女數(shù)X服從參數(shù)為的泊松分布,且知一對夫婦有不超過1個孩子的概率為3e-2.求任選一對夫婦,至少有3個孩子的概率。

解:由題意,概率論與數(shù)理統(tǒng)計(浙江大學版本)例6.進行獨立重復試驗，每次成功的概率為p，令X表示直到出現(xiàn)第m次成功為止所進行的試驗次數(shù)，求X的分布律。解:m=1時,m>1時,X的全部取值為:m,m+1,m+2,…P{X=m+1}=P{第m+1次試驗時成功并且

在前m次試驗中成功了m-1次}概率論與數(shù)理統(tǒng)計(浙江大學版本)想一想：離散型隨機變量的統(tǒng)計特征可以用分布律描述，非離散型的該如何描述？如：熊貓彩電的壽命X是一個隨機變量，對消費者來說，你是否在意{X>5年}還是{X>5年零1分鐘}概率論與數(shù)理統(tǒng)計(浙江大學版本)2.3隨機變量的分布函數(shù)

一、分布函數(shù)的概念.

定義(P29)

設X是隨機變量，對任意實數(shù)x，事件{Xx}的概率P{Xx}稱為隨機變量X的分布函數(shù)。記為F(x)，即F(x)＝P{Xx}.

易知，對任意實數(shù)a,b(a<b),P{a<Xb}＝P{Xb}－P{Xa}＝F(b)－F(a).概率論與數(shù)理統(tǒng)計(浙江大學版本)二、分布函數(shù)的性質(zhì)(P29)

1、單調(diào)不減性：若x1<x2,則F(x1)F(x2);2、歸一性：對任意實數(shù)x，0F(x)1，且

3、右連續(xù)性：對任意實數(shù)x，反之，具有上述三個性質(zhì)的實函數(shù)，必是某個隨機變量的分布函數(shù)。故該三個性質(zhì)是分布函數(shù)的充分必要性質(zhì)。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(浙江大學版本)一般地，對離散型隨機變量

X～P{X=xk}＝pk,k＝1,2,…其分布函數(shù)為

例1

設隨機變量X具分布律如右表解

X012P0.10.60.3試求出X的分布函數(shù)。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(浙江大學版本)例2

向[0,1]區(qū)間隨機拋一質(zhì)點，以X表示質(zhì)點坐標.假定質(zhì)點落在[0,1]區(qū)間內(nèi)任一子區(qū)間內(nèi)的概率與區(qū)間長成正比，求X的分布函數(shù)解：

F(x)=P{X≤x}

當x<0時,F(x)=0;當x>1時,F(x)=1當0≤x≤1時,特別,F(1)=P{0≤x≤1}=k=1概率論與數(shù)理統(tǒng)計(浙江大學版本)用分布函數(shù)描述隨機變量不如分布律直觀，對非離散型隨機變量，是否有更直觀的描述方法？?ab概率論與數(shù)理統(tǒng)計(浙江大學版本)2.4

連續(xù)型隨機變量

一、概率密度

1.定義(p33)

對于隨機變量X，若存在非負函數(shù)f(x)，(-<x<+)，使對任意實數(shù)x，都有則稱X為連續(xù)型隨機變量，f(x)為X的概率密度函數(shù)，簡稱概率密度或密度函數(shù).常記為X～f(x),(-<x<+)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(浙江大學版本)密度函數(shù)的幾何意義為概率論與數(shù)理統(tǒng)計(浙江大學版本)2.密度函數(shù)的性質(zhì)(p34)(1)非負性

f(x)0，(-<x<)；

(2)歸一性性質(zhì)(1)、(2)是密度函數(shù)的充要性質(zhì)；

EX設隨機變量X的概率密度為求常數(shù)a.答:概率論與數(shù)理統(tǒng)計(浙江大學版本)(3)若x是f(x)的連續(xù)點，則EX設隨機變量X的分布函數(shù)為求f(x)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(浙江大學版本)（4）對任意實數(shù)b，若X～f(x)，(-<x<)，則P{X=b}＝0。于是概率論與數(shù)理統(tǒng)計(浙江大學版本)P(35)例2.3.2.已知隨機變量X的概率密度為1)求X的分布函數(shù)F(x),2)求P{X(0.5,1.5)}概率論與數(shù)理統(tǒng)計(浙江大學版本)二、幾個常用的連續(xù)型分布1.均勻分布(p36)

若X～f(x)＝則稱X在(a,b)內(nèi)服從均勻分布。記作X~U(a,b)對任意實數(shù)c,d(a<c<d<b)，都有概率論與數(shù)理統(tǒng)計(浙江大學版本)例.長途汽車起點站于每時的10分、25分、55分發(fā)車，設乘客不知發(fā)車時間，于每小時的任意時刻隨機地到達車站，求乘客候車時間超過10分鐘的概率1545解：設A—乘客候車時間超過10分鐘X—乘客于某時X分鐘到達，則XU(0,60)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(浙江大學版本)2.指數(shù)分布(p36)

若X～則稱X服從參數(shù)為>0的指數(shù)分布。其分布函數(shù)為概率論與數(shù)理統(tǒng)計(浙江大學版本)例.電子元件的壽命X(年）服從參數(shù)為3的指數(shù)分布(1)求該電子元件壽命超過2年的概率。(2)已知該電子元件已使用了1.5年，求它還能使用兩年的概率為多少？解概率論與數(shù)理統(tǒng)計(浙江大學版本)例.某公路橋每天第一輛汽車過橋時刻為T，設[0，t]時段內(nèi)過橋的汽車數(shù)Xt服從參數(shù)為t的泊松分布，求T的概率密度。解當t≤0時，當t>0時，=1-{在t時刻之前無汽車過橋}于是概率論與數(shù)理統(tǒng)計(浙江大學版本)正態(tài)分布是實踐中應用最為廣泛，在理論上研究最多的分布之一，故它在概率統(tǒng)計中占有特別重要的地位。3.正態(tài)分布ABA，B間真實距離為，測量值為X。X的概率密度應該是什么形態(tài)？概率論與數(shù)理統(tǒng)計(浙江大學版本)其中為實數(shù)，

>0，則稱X服從參數(shù)為,2的正態(tài)分布,記為N(,2)，可表為X～N(,2).若隨機變量概率論與數(shù)理統(tǒng)計(浙江大學版本)

(1)單峰對稱

密度曲線關于直線x=對稱；(p38) f()＝maxf(x)＝.正態(tài)分布有兩個特性：概率論與數(shù)理統(tǒng)計(浙江大學版本)(2)的大小直接影響概率的分布越大，曲線越平坦，越小，曲線越陡峻，。正態(tài)分布也稱為高斯(Gauss)分布概率論與數(shù)理統(tǒng)計(浙江大學版本)4.標準正態(tài)分布(p38)

參數(shù)＝0，2＝1的正態(tài)分布稱為標準正態(tài)分布，記作X~N(0,1)。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(浙江大學版本)分布函數(shù)表示為其密度函數(shù)表示為概率論與數(shù)理統(tǒng)計(浙江大學版本)一般的概率統(tǒng)計教科書均附有標準正態(tài)分布表供讀者查閱(x)的值。(P226附表1)如，若Z~N（0，1）,（0.5)=0.6915,P{1.32<Z<2.43}=(2.43)-(1.32)=0.9925-0.9066注：(1)(x)＝1－(－x)；

(2)若X～N(,2)，則正態(tài)分布表概率論與數(shù)理統(tǒng)計(浙江大學版本)EX設隨機變量X~N(-1,22),P{-2.45<X<2.45}=?P(39)例2.3.5.設XN(,2),求P{-3<X<+3}本題結果稱為3

原則.在工程應用中，通常認為P{|X|≤3}≈1，忽略{|X|>3}的值.

如在質(zhì)量控制中，常用標準指標值±3作兩條線，當生產(chǎn)過程的指標觀察值落在兩線之外時發(fā)出警報.表明生產(chǎn)出現(xiàn)異常.正態(tài)分布表概率論與數(shù)理統(tǒng)計(浙江大學版本)(p67)14一種電子元件的使用壽命Ｘ（小時）服從正態(tài)分布Ｎ(100,152),某儀器上裝有3個這種元件，三個元件損壞與否是相互獨立的.求：使用的最初90小時內(nèi)無一元件損壞的概率.解:設Y為使用的最初90小時內(nèi)損壞的元件數(shù),故則Y~B(3,p)其中正態(tài)分布表概率論與數(shù)理統(tǒng)計(浙江大學版本)一、離散型隨機變量函數(shù)的分布律

2.5一維隨機變量函數(shù)的分布

(p55)設X一個隨機變量，分布律為X～P{X＝xk}＝pk,k＝1,2,…若y＝g(x)是一元單值實函數(shù)，則Y＝g(X)也是一個隨機變量。求Y的分布律.例:已知XPk-101求：Y=X2的分布律YPk10概率論與數(shù)理統(tǒng)計(浙江大學版本)或Y＝g(X)～P{Y＝g(xk)}＝pk

，k＝1,2,…（其中g(xk)有相同的，其對應概率合并。）一般地XPkY=g(X)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(浙江大學版本)二、連續(xù)型隨機變量函數(shù)的密度函數(shù)

1、一般方法(p56)

若X~f(x),-<x<+,Y=g(X)為隨機變量X的函數(shù)，則可先求Y的分布函數(shù)

FY(y)

＝P{Yy}＝P{g(X)y}＝

然后再求Y的密度函數(shù)此法也叫“分布函數(shù)法”概率論與數(shù)理統(tǒng)計(浙江大學版本)例1.設XU(-1,1),求Y=X2的分布函數(shù)與概率密度。當y<0時當0≤y<1時當y≥1時概率論與數(shù)理統(tǒng)計(浙江大學版本)例2.設X的概率密度為fX(x),y=g(x)關于x處處可導且是x的嚴格單減函數(shù)，求Y=g(X)的概率密度。解：Y的分布函數(shù)為

FY(y)=P{Yy}=P{g(X)y}=P{X≥g-1(y)}=1-FX(g-1(y))Y的概率密度為

fY(y)=F(g-1(y))=－fX(g-1(y))g-1(y)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(浙江大學版本)2、公式法：一般地若X～fX(x),y=g(x)是單調(diào)可導函數(shù)，則

注：1只有當g(x)是x的單調(diào)可導函數(shù)時，才可用以上公式推求Y的密度函數(shù)。2注意定義域的選擇其中h(y)為y＝g(x)的反函數(shù).概率論與數(shù)理統(tǒng)計(浙江大學版本)例3.已知XN(,2),求

解：的概率密度關于x嚴單,反函數(shù)為故概率論與數(shù)理統(tǒng)計(浙江大學版本)例4設X~U(0,1),求Y=ax+b的概率密度.(a≠0)解:Y=ax+b關于x嚴單,反函數(shù)為故而故概率論與數(shù)理統(tǒng)計(浙江大學版本)小結.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(浙江大學版本)習題課一、填空：1.設隨機變量X服從參數(shù)為（2,p）的二項分布，隨機變量Y服從參數(shù)（3,p）的二項分布，若，則P{Y≥1}=

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(浙江大學版本)2.設隨機變量X服從（0，2）上的均勻分布，則隨機變量Y=X2在（0，4）內(nèi)的密度函數(shù)為fY(y)=

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(浙江大學版本)3.設隨機變量X~N（2，σ2），且P（2<X<4）=0.3，則P(X<0)=概率論與數(shù)理統(tǒng)計(浙江大學版本)二.從某大學到火車站途中有6個交通崗,假設在各個交通崗是否遇到紅燈相互獨立,并且遇到紅燈的概率都是1/3.以Y表示汽車在第一次停止之前所通過的交通崗數(shù),求Y的分布律.(假定汽車只在遇到紅燈或到達火車站時停止)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(浙江大學版本)三、某射手對靶射擊，單發(fā)命中概率都為0.6，現(xiàn)他扔一個均勻的骰子，扔出幾點就對靶獨立射擊幾發(fā)，求他恰好命中兩發(fā)的概率。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(浙江大學版本)四.已知隨機變量X的概率密度為求：Y=1-X2的概率密度概率論與數(shù)理統(tǒng)計(浙江大學版本)2.6二維隨機變量的聯(lián)合分布

一、

多維隨機變量1.定義(p41)將n個隨機變量X1，X2，...,Xn構成一個n維向量(X1,X2,...,Xn)稱為n維隨機變量。一維隨機變量X——R1上的隨機點坐標二維隨機變量(X,Y)——R2上的隨機點坐標n維隨機變量(X1,X2,…,Xn)———Rn上的隨機點坐標多維隨機變量的研究方法也與一維類似，用分布函數(shù)、概率密度、或分布律來描述其統(tǒng)計規(guī)律概率論與數(shù)理統(tǒng)計(浙江大學版本)

(p41)設(X,Y)是二維隨機變量，(x,y)R2,則稱F(x,y)=P{Xx,Yy}為(X,Y)的分布函數(shù)，或X與Y的聯(lián)合分布函數(shù)。二.聯(lián)合分布函數(shù)幾何意義：分布函數(shù)F()表示隨機點(X,Y)落在區(qū)域中的概率。如圖陰影部分：概率論與數(shù)理統(tǒng)計(浙江大學版本)對于(x1,y1),(x2,y2)R2,(x1<

x2，y1<y2),則P{x1<X

x2，y1<yy2}

＝F(x2,y2)－F(x1,y2)－F(x2,y1)＋F(x1,y1).(x1,y1)(x2,y2)(x2,y1)(x1,y2)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(浙江大學版本)分布函數(shù)F(x,y)具有如下性質(zhì)：(p41-42)且(1)歸一性

對任意(x,y)R2,0F(x,y)1,概率論與數(shù)理統(tǒng)計(浙江大學版本)

(2)單調(diào)不減

對任意yR,當x1<x2時，F(xiàn)(x1,y)F(x2,y)；

對任意xR,當y1<y2時，F(xiàn)(x,y1)F(x,y2).(3)右連續(xù)

對任意xR,yR,

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(浙江大學版本)(4)矩形不等式

對于任意(x1,y1),(x2,y2)R2,(x1<

x2，y1<y2),F(x2,y2)－F(x1,y2)－F(x2,y1)＋F(x1,y1)0.反之，任一滿足上述四個性質(zhì)的二元函數(shù)F(x,y)都可以作為某個二維隨機變量(X,Y)的分布函數(shù)。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(浙江大學版本)例2.已知二維隨機變量(X,Y)的分布函數(shù)為1)求常數(shù)A，B，C。2)求P{0<X<2,0<Y<3}解:概率論與數(shù)理統(tǒng)計(浙江大學版本)三.聯(lián)合分布律

(P42)若二維隨機變量(X,Y)只能取至多可列個值

(xi,yj),(i,j＝1,2,…)，則稱(X,Y)為

二維離散型隨機變量。若二維離散型隨機變量(X,Y)取(xi,yj)的概率為pij,則稱P{X＝xi,Y＝y(tǒng)j,}＝pij，

(i,j＝1,2,…)，為二維離散型隨機變量(X,Y)的分布律，或隨機變量X與Y的聯(lián)合分布律.

可記為

(X,Y)～P{X＝xi,Y＝y(tǒng)j,}＝pij，(i,j＝1,2,…)，概率論與數(shù)理統(tǒng)計(浙江大學版本)XYy1y2…yj…

p11

p12...

P1j...

p21

p22...

P2j...

pi1

pi2...

Pij...........................聯(lián)合分布律的性質(zhì)(1)pij

0,i,j＝1,2,…

；

(2)x1x2xi二維離散型隨機變量的分布律也可列表表示如下:P43概率論與數(shù)理統(tǒng)計(浙江大學版本)例3.(P43)袋中有兩只紅球，三只白球，現(xiàn)不放回摸球二次，令,求(X,Y)的分布律。XY1010概率論與數(shù)理統(tǒng)計(浙江大學版本)四.二維連續(xù)型隨機變量及其密度函數(shù)1、定義

p44

對于二維隨機變量(X,Y)，若存在一個非負可積函數(shù)f(x,y)，使對(x,y)R2，其分布函數(shù)則稱(X,Y)為二維連續(xù)型隨機變量，f(x,y)為(X,Y)的密度函數(shù)(概率密度)，或X與Y的聯(lián)合密度函數(shù)，可記為

(X,Y)～f(x,y)，(x,y)R2概率論與數(shù)理統(tǒng)計(浙江大學版本)2、聯(lián)合密度f(x,y)的性質(zhì)(p44)(1)非負性：f(x,y)0,(x,y)R2;(2)歸一性：反之，具有以上兩個性質(zhì)的二元函數(shù)f(x,y)，必是某個二維連續(xù)型隨機變量的密度函數(shù)。此外，f(x,y)還有下述性質(zhì)(3)若f(x,y)在(x,y)R2處連續(xù)，則有概率論與數(shù)理統(tǒng)計(浙江大學版本)(4)對于任意平面區(qū)域GR2,EX設求:P{X>Y}G概率論與數(shù)理統(tǒng)計(浙江大學版本)求：(1)常數(shù)A；(2)F(1,1)；(3)(X,Y)落在三角形區(qū)域D：x0,y0,2X+3y6內(nèi)的概率。

例4.

設解(1)由歸一性概率論與數(shù)理統(tǒng)計(浙江大學版本)(3)(X,Y)落在三角形區(qū)域D：x0,y0,2X+3y6內(nèi)的概率。解概率論與數(shù)理統(tǒng)計(浙江大學版本)

3.兩個常用的二維連續(xù)型分布

(1)二維均勻分布(p45)

若二維隨機變量(X,Y)的密度函數(shù)為則稱(X,Y)在區(qū)域D上(內(nèi))服從均勻分布。易見，若（X，Y）在區(qū)域D上(內(nèi))服從均勻分布，對D內(nèi)任意區(qū)域G，有概率論與數(shù)理統(tǒng)計(浙江大學版本)例5.設(X,Y)服從如圖區(qū)域D上的均勻分布，(1)求(X,Y)的概率密度；(2)求P{Y<2X}；(3)求F(0.5,0.5)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(浙江大學版本)其中，1、2為實數(shù)，1>0、2>0、||<1，則稱(X,Y)服從參數(shù)為1,2,1,2,的二維正態(tài)分布，可記為

(2)二維正態(tài)分布N(1,2,1,2,)

若二維隨機變量(X,Y)的密度函數(shù)為(P101)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(浙江大學版本)分布函數(shù)的概念可推廣到n維隨機變量的情形。事實上，對n維隨機變量(X1,X2,…,Xn)，

F(x1,x2,…,xn)＝P(X1x1,X2x2,…,Xnxn)稱為的n維隨機變量(X1,X2,…,Xn)的分布函數(shù)，或隨機變量X1,X2,…,Xn的聯(lián)合分布函數(shù)。定義2.4.6.n維隨機變量(X1,X2,...Xn)，如果存在非負的n元函數(shù)f(x1,x2,...xn)使對任意的n元立方體概率論與數(shù)理統(tǒng)計(浙江大學版本)定義2.4.7.若(X1,X2,...Xn)的全部可能取值為Rn上的有限或可列無窮多個點，稱(X1,X2,...Xn)為n維離散型的，稱P{X1=x1,X2=x2,...Xn=xn}，(x1,x2,...xn)為n維隨機變量(X1,X2,...Xn)的聯(lián)合分布律。則稱(X1,X2,...Xn)為n維連續(xù)型隨機變量，稱f(x1,x2,...xn)為(X1,X2,...Xn)的概率密度。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(浙江大學版本)求：（1）P{X0},(2)P{X1},(3)P{Yy0} EX:隨機變量（X，Y）的概率密度為xyD答:P{X0}=0概率論與數(shù)理統(tǒng)計(浙江大學版本)FY(y)＝F(+,y)＝＝P{Yy}稱為二維隨機變量(X,Y)關于Y的邊緣分布函數(shù).

2.7.邊緣分布與獨立性

一、邊緣分布函數(shù)(p46)FX(x)＝F(x,+)＝＝P{Xx}稱為二維隨機變量(X,Y)關于X的邊緣分布函數(shù)；邊緣分布實際上是高維隨機變量的某個(某些)低維分量的分布。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(浙江大學版本)例1.已知(X,Y)的分布函數(shù)為求FX(x)與FY(y)。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(浙江大學版本)二、邊緣分布律若隨機變量X與Y的聯(lián)合分布律為(p47)(X,Y)～P{X＝xi,Y＝y(tǒng)j,}＝pij，i,j＝1,2,…則稱

P{X＝xi}＝pi.＝，i＝1,2,…為(X,Y)關于X的邊緣分布律；P{Y＝y(tǒng)j}＝p.j＝，j＝1,2,…為(X,Y)關于Y的邊緣分布律。邊緣分布律自然也滿足分布律的性質(zhì)。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(浙江大學版本)例2.已知(X,Y)的分布律為x\y 1 0 1 1/10 3/10 03/103/10求X、Y的邊緣分布律。 解： x\y 1 0 pi. 1 1/10 3/10 0 3/10 3/10 p.j

故關于X和Y的分布律分別為：

X 1 0 Y 1 0 P2/5 3/5 P 2/5 3/52/53/52/53/5概率論與數(shù)理統(tǒng)計(浙江大學版本)三、邊緣密度函數(shù)為(X,Y)關于Y的邊緣密度函數(shù)。設(X,Y)～f(x,y),(x,y)R2,則稱(p48)

為(X,Y)關于X的邊緣密度函數(shù)；同理，稱易知N(1,2,12,22,)的邊緣密度函數(shù)fX(x)是N(1,12)的密度函數(shù)，而fX(x)是N(2,22)的密度函數(shù)，故二維正態(tài)分布的邊緣分布也是正態(tài)分布。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(浙江大學版本)例3.設(X,Y)的概率密度為（1）求常數(shù)c;(2)求關于X的邊緣概率密度解:(1)由歸一性概率論與數(shù)理統(tǒng)計(浙江大學版本)設(X,Y)服從如圖區(qū)域D上的均勻分布，求關于X的和關于Y的邊緣概率密度

x=yx=-yEX概率論與數(shù)理統(tǒng)計(浙江大學版本)四、隨機變量的相互獨立性定義2.4.1稱隨機變量X與Y獨立，如果對任意實數(shù)a<b,c<d，有(p49)p{a<Xb,c<Yd}=p{a<Xb}p{c<Yd} 即事件{a<Xb}與事件{c<Yd}獨立，則稱隨機變量X與Y獨立。定理2.4.2：隨機變量X與Y獨立的充分必要條件是(p49) F(x,y)=FX(x)FY(y)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(浙江大學版本)定理2.4.3.(p50)設(X,Y)是二維連續(xù)型隨機變量，X與Y獨立的充分必要條件是f(x,y)=fX(x)fY(y)定理2.4.4.(p50)設(X,Y)是二維離散型隨機變量，其分布律為Pi,j=P{X=xi,Y=yj},i,j=1,2,...，則X與Y獨立的充分必要條件是對任意i,j，Pi,j=Pi.Pj。由上述定理可知，要判斷兩個隨機變量X與Y的獨立性，只需求出它們各自的邊緣分布，再看是否對(X,Y)的每一對可能取值點,邊緣分布的乘積都等于聯(lián)合分布即可概率論與數(shù)理統(tǒng)計(浙江大學版本)EX：判斷例1、例2、例3中的X與Y是否相互獨立例(p50).已知隨機變量(X,Y)的分布律為且知X與Y獨立，求a、b的值。例4.(p51)甲乙約定8:009:00在某地會面。設兩人都隨機地在這期間的任一時刻到達，先到者最多等待15分鐘過時不候。求兩人能見面的概率。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(浙江大學版本)定義.設n維隨機變量(X1,X2,...Xn)的分布函數(shù)為F(x1,x2,...xn),(X1,X2,...Xn)的k（1k<n)維邊緣分布函數(shù)就隨之確定，如關于(X1,X2）的邊緣分布函數(shù)是FX1,X2（x1,x2,)=F(x1,x2,,...)若Xk的邊緣分布函數(shù)為FXk(xk),k=1,2,…,n,五．n維隨機變量的邊緣分布與獨立性(p51)則稱X1,X2,...Xn

相互獨立，或稱(X1,X2,...Xn)是獨立的。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(浙江大學版本)對于離散型隨機變量的情形，若對任意整數(shù)i1,i2,…,in及實數(shù)有則稱離散型隨機變量X1,X2,…,Xn相互獨立。

設X1，X2，…，Xn為n個連續(xù)型隨機變量，若對任意的(x1,x2,…,xn)Rn，

f(x1,x2,…,xn)＝fX1(x1)fX2(x2)…fXn(xn)幾乎處處成立，則稱X1，X2，…，Xn相互獨立。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(浙江大學版本)定義2.4.6.設n維隨機變量(X1,X2,...Xn)的分布函數(shù)為FX(x1,x2,...xn)；m維隨機變量(Y1,Y2,…Ym)的分布函數(shù)為FY(y1,y2,…ym),X1,X2,...Xn,Y1,Y2,…Ym組成的n+m維隨機變量（X1,X2,...Xn,Y1,Y2,…Ym)的分布函數(shù)為F（x1,x2,...xn,y1,y2,…ym).如果F（x1,x2,...xn,y1,y2,…ym).=FX(x1,x2,...xn)FY(y1,y2,…ym)則稱n維隨機變量(X1,X2,...Xn)與m維隨機變量(Y1,Y2,…Ym)獨立。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(浙江大學版本)定理2.4.7設(X1,,X2,…,Xn)與(Y1,Y2,…，Ym)相互獨立，則Xi(i=1,2,…,n))與Yi(i=1,2,…,m)相互獨立；又若h,g是連續(xù)函數(shù)，則h(X1