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2022-2023學(xué)年高一下數(shù)學(xué)期末模擬試卷注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效;在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4.作圖可先使用鉛筆畫出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1.為了解某地區(qū)的中小學(xué)生視力情況,擬從該地區(qū)的中小學(xué)生中抽取部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查,事先已了解到該地區(qū)小學(xué)、初中、高中三個(gè)學(xué)段學(xué)生的視力情況有較大差異,而男女生視力情況差異不大,在下面的抽樣方法中,最合理的抽樣方法是()A.簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣 B.按性別分層抽樣C.按學(xué)段分層抽樣 D.系統(tǒng)抽樣2.在數(shù)列an中,an+1=an+a(n∈N*,a為常數(shù)),若平面上的三個(gè)不共線的非零向量OA、OB、OC滿足OC=a1A.1005 B.1006 C.2010 D.20123.若,且,則xy的最大值為()A. B. C. D.4.對(duì)數(shù)列,若區(qū)間滿足下列條件:①;②,則稱為區(qū)間套.下列選項(xiàng)中,可以構(gòu)成區(qū)間套的數(shù)列是()A.;B.C.D.5.已知曲線C的方程為x2+y2=2(x+|y|),直線x=my+4與曲線C有兩個(gè)交點(diǎn),則m的取值范圍是()A.m>1或m<﹣1 B.m>7或m<﹣7C.m>7或m<﹣1 D.m>1或m<﹣76.已知分別為內(nèi)角的對(duì)邊,若,b=則=()A. B. C. D.7.等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為,若,則等于()A.-3 B.5 C.33 D.-318.記等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為.若,則()A.7 B.8 C.9 D.109.與直線垂直于點(diǎn)的直線的一般方程是()A. B. C. D.10.已知數(shù)列且是首項(xiàng)為2,公差為1的等差數(shù)列,若數(shù)列是遞增數(shù)列,且滿足,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A. B.C. D.二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分。11.若存在實(shí)數(shù)使得關(guān)于的不等式恒成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍是____.12.已知三棱錐P-ABC,PA⊥平面ABC,AC⊥BC,PA=2,AC=BC=1,則三棱錐P-ABC外接球的體積為__.13.若則的最小值是__________.14.某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為__________.15.已知,,是與的等比中項(xiàng),則最小值為_________.16.關(guān)于的不等式的解集是,則______.三、解答題:本大題共5小題,共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟。17.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,且滿足(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)設(shè),令,求18.某電視臺(tái)有一檔益智答題類綜藝節(jié)日,每期節(jié)目從現(xiàn)場(chǎng)編號(hào)為01~80的80名觀眾中隨機(jī)抽取10人答題.答題選手要從“科技”和“文藝”兩類題目中選一類作答,一共回答10個(gè)問題,答對(duì)1題得1分.(1)若采用隨機(jī)數(shù)表法抽取答題選手,按照以下隨機(jī)數(shù)表,從下方帶點(diǎn)的數(shù)字2開始向右讀,每次讀取兩位數(shù),一行用完接下一行左端,求抽取的第6個(gè)觀眾的編號(hào).162277943949544354821737932378873509643842634916484421753315724550688770474476721763350258392120676(2)若采用等距系統(tǒng)抽樣法抽取答題選手,且抽取的最小編號(hào)為06,求抽取的最大編號(hào).(3)某期節(jié)目的10名答題選手中6人選科技類題目,4人選文藝類題目.其中選擇科技類的6人得分的平均數(shù)為7,方差為;選擇文藝類的4人得分的平均數(shù)為8,方差為.求這期節(jié)目的10名答題選手得分的平均數(shù)和方差.19.已知等差數(shù)列滿足,的前項(xiàng)和為.(1)求及;(2)記,求20.一個(gè)盒子中裝有4張卡片,每張卡片上寫有1個(gè)數(shù)字,數(shù)字分別是1、2、3、4,現(xiàn)從盒子中隨機(jī)抽取卡片.(Ⅰ)若一次從中隨機(jī)抽取3張卡片,求3張卡片上數(shù)字之和大于或等于7的概率;(Ⅱ)若第一次隨機(jī)抽取1張卡片,放回后再隨機(jī)抽取1張卡片,求兩次抽取的卡片中至少一次抽到數(shù)字2的概率.21.泉州與福州兩地相距約200千米,一輛貨車從泉州勻速行駛到福州,規(guī)定速度不得超過千米/時(shí),已知貨車每小時(shí)的運(yùn)輸成本(以元為單位)由可變部分和固定部分組成:可變部分與速度千米/時(shí)的平方成正比,比例系數(shù)為0.01;固定部分為64元.(1)把全程運(yùn)輸成本元表示為速度千米/時(shí)的函數(shù),并指出這個(gè)函數(shù)的定義域;(2)為了使全程運(yùn)輸成本最小,貨車應(yīng)以多大速度行駛?
參考答案一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、C【解析】試題分析:符合分層抽樣法的定義,故選C.考點(diǎn):分層抽樣.2、A【解析】
利用等差數(shù)列的定義可知數(shù)列an為等差數(shù)列,由向量中三點(diǎn)共線的結(jié)論得出a1+【詳解】∵an+1=an∵三點(diǎn)A、B、C共線且該直線不過O點(diǎn),OC=a1因此,S2010故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列求和,涉及等差數(shù)列的定義以及向量中三點(diǎn)共線結(jié)論的應(yīng)用,考查計(jì)算能力,屬于中等題.3、D【解析】
利用基本不等式可直接求得結(jié)果.【詳解】(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào))的最大值為故選:【點(diǎn)睛】本題考查利用基本不等式求解積的最大值的問題,屬于基礎(chǔ)題.4、C【解析】由題意,得為遞增數(shù)列,為遞減數(shù)列,且當(dāng)時(shí),;而與與均為遞減數(shù)列,所以排除A,B,D,故選C.考點(diǎn):新定義題目.5、A【解析】
先畫出曲線的圖象,再求出直線與相切時(shí)的,最后結(jié)合圖象可得的取值范圍,得到答案.【詳解】如圖所示,曲線的圖象是兩個(gè)圓的一部分,由圖可知:當(dāng)直線與曲線相切時(shí),只有一個(gè)交點(diǎn),此時(shí),結(jié)合圖象可得或.故選:A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用,其中解答中熟練應(yīng)有直線與圓的位置關(guān)系,合理結(jié)合圖象求解是解答的關(guān)鍵,著重考查了數(shù)形結(jié)合思想,以及推理與運(yùn)算能力,屬于中檔試題.6、D【解析】
由已知利用正弦定理可求的值,根據(jù)余弦定理可得,解方程可得的值.【詳解】,,,由正弦定理,可得:,由余弦定理,可得:,解得:,負(fù)值舍去.故選.【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理,余弦定理在解三角形中的應(yīng)用,考查了方程思想,屬于基礎(chǔ)題.7、C【解析】
由等比數(shù)列的求和公式結(jié)合條件求出公比,再利用等比數(shù)列求和公式可求出.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為(公比顯然不為1),則,得,因此,,故選C.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列基本量計(jì)算,利用等比數(shù)列求和公式求出其公比,是解本題的關(guān)鍵,一般在求解等比數(shù)列問題時(shí),有如下兩種方法:(1)基本量法:利用首項(xiàng)和公比列方程組解出這兩個(gè)基本量,然后利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式或求和公式來(lái)進(jìn)行計(jì)算;(2)性質(zhì)法:利用等比數(shù)列下標(biāo)有關(guān)的性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化,能起到簡(jiǎn)化計(jì)算的作用.8、D【解析】
由可得值,可得可得答案.【詳解】解:由,可得,所以,從而,故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考察等差數(shù)列的性質(zhì)及等差數(shù)列前n項(xiàng)的和,由得出的值是解題的關(guān)鍵.9、A【解析】由已知可得這就是所求直線方程,故選A.10、D【解析】
根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義可確定是以為首項(xiàng),為公比的等比數(shù)列,根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式,進(jìn)而求得;由數(shù)列的單調(diào)性可知;分別在和兩種情況下討論可得的取值范圍.【詳解】由題意得:,,是以為首項(xiàng),為公比的等比數(shù)列為遞增數(shù)列,即①當(dāng)時(shí),,,即只需即可滿足②當(dāng)時(shí),,,即只需即可滿足綜上所述:實(shí)數(shù)的取值范圍為故選:【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性求解參數(shù)范圍的問題,涉及到等差和等比數(shù)列定義的應(yīng)用、等比數(shù)列通項(xiàng)公式的求解、對(duì)數(shù)運(yùn)算法則的應(yīng)用等知識(shí);解題關(guān)鍵是能夠根據(jù)單調(diào)性得到關(guān)于變量和的關(guān)系式,進(jìn)而通過分離變量的方式將問題轉(zhuǎn)化為變量與關(guān)于的式子的最值的大小關(guān)系問題.二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分。11、【解析】
先求得的取值范圍,將題目所給不等式轉(zhuǎn)化為含的絕對(duì)值不等式,對(duì)分成三種情況,結(jié)合絕對(duì)值不等式的解法和不等式恒成立的思想,求得的取值范圍.【詳解】由于,故可化簡(jiǎn)得恒成立.當(dāng)時(shí),顯然成立.當(dāng)時(shí),可得,,可得且,可得,即,解得.當(dāng)時(shí),可得,可得且,可得,即,解得.綜上所述,的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本小題主要考查三角函數(shù)的值域,考查含有絕對(duì)值不等式恒成立問題,考查存在性問題的求解策略,考查函數(shù)的單調(diào)性,考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法,屬于難題.12、6【解析】
如圖所示,取PB的中點(diǎn)O,∵PA⊥平面ABC,∴PA⊥AB,PA⊥BC,又BC⊥AC,PA∩AC=A,∴BC⊥平面PAC,∴BC⊥PC.∴OA=12PB,OC=12PB,∴OA=OB=OC=OP,故O為外接球的球心.又PA=2,AC=BC=1,∴AB=2,PB=6,∴外接球的半徑R=∴V球=43πR3=4π3×(62)3=6點(diǎn)睛:空間幾何體與球接、切問題的求解方法:(1)求解球與棱柱、棱錐的接、切問題時(shí),一般過球心及接、切點(diǎn)作截面,把空間問題轉(zhuǎn)化為平面圖形與圓的接、切問題,再利用平面幾何知識(shí)尋找?guī)缀沃性亻g的關(guān)系求解.(2)若球面上四點(diǎn)P,A,B,C構(gòu)成的三條線段PA,PB,PC兩兩互相垂直,且PA=a,PB=b,PC=c,一般把有關(guān)元素“補(bǔ)形”成為一個(gè)球內(nèi)接長(zhǎng)方體,利用4R2=a2+b2+c2求解.13、【解析】
根據(jù)對(duì)數(shù)相等得到,利用基本不等式求解的最小值得到所求結(jié)果.【詳解】則,即由題意知,則,則當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取等號(hào)本題正確結(jié)果:【點(diǎn)睛】本題考查基本不等式求解和的最小值問題,關(guān)鍵是能夠利用對(duì)數(shù)相等得到的關(guān)系,從而構(gòu)造出符合基本不等式的形式.14、【解析】由三視圖知該幾何體是一個(gè)半圓錐挖掉一個(gè)三棱錐后剩余的部分,如圖所示,所以其體積為.點(diǎn)睛:求多面體的外接球的面積和體積問題常用方法有(1)三條棱兩兩互相垂直時(shí),可恢復(fù)為長(zhǎng)方體,利用長(zhǎng)方體的體對(duì)角線為外接球的直徑,求出球的半徑;(2)直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行,借助球的對(duì)稱性,球心為上下底面外接圓的圓心連線的中點(diǎn),再根據(jù)勾股定理求球的半徑;(3)如果設(shè)計(jì)幾何體有兩個(gè)面相交,可過兩個(gè)面的外心分別作兩個(gè)面的垂線,垂線的交點(diǎn)為幾何體的球心,本題就是第三種方法.15、1【解析】
根據(jù)等比中項(xiàng)定義得出的關(guān)系,然后用“1”的代換轉(zhuǎn)化為可用基本不等式求最小值.【詳解】由題意,所以,所以,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)等號(hào)成立.所以最小值為1.故答案為:1.【點(diǎn)睛】本題考查等比中項(xiàng)的定義,考查用基本不等式求最值.解題關(guān)鍵是用“1”的代換找到定值,從而可用基本不等式求最值.16、【解析】
利用二次不等式解集與二次方程根的關(guān)系,由二次不等式的解集得到二次方程的根,再利用根與系數(shù)的關(guān)系,得到和的值,得到答案.【詳解】因?yàn)殛P(guān)于的不等式的解集是,所以關(guān)于的方程的解是,由根與系數(shù)的關(guān)系得,解得,所以.【點(diǎn)睛】本題考查二次不等式解集和二次方程根之間的關(guān)系,屬于簡(jiǎn)單題.三、解答題:本大題共5小題,共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)【解析】
試題分析:(1)利用得到相鄰兩項(xiàng)的關(guān)系,把問題轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列問題;(2)利用裂項(xiàng)相消法求和.試題解析:(1)由,得得∴是等比數(shù)列,且公比為(2)由(1)及得,18、(1)42;(2)78;(3)平均數(shù)為7.4,方差為2.24【解析】
(1)根據(jù)隨機(jī)數(shù)表依次讀取數(shù)據(jù)即可,取01~80之間的數(shù)據(jù);(2)根據(jù)系統(tǒng)抽樣,確定組矩,計(jì)算可得;(3)根據(jù)平均數(shù)和方差得出數(shù)據(jù)的整體關(guān)系,整體代入求解10名選手的平均數(shù)和方差.【詳解】(1)根據(jù)題意讀取的編號(hào)依次是:20,96(超界),43,84(超界),26,34,91(超界),64,84(超界),42,17,所以抽取的第6個(gè)觀眾的編號(hào)為42;(2)若采用系統(tǒng)抽樣,組矩為8,最小編號(hào)為06,則最大編號(hào)為6+9×8=78;(3)記選擇科技類的6人成績(jī)分別為:,選擇文藝類的4人成績(jī)分別為:,由題:,,,,所以這10名選手的平均數(shù)為方差為【點(diǎn)睛】此題考查統(tǒng)計(jì)相關(guān)知識(shí),涉及隨機(jī)數(shù)表讀數(shù),系統(tǒng)抽樣和平均數(shù)與方差的計(jì)算,對(duì)計(jì)算公式的變形處理要求較高.19、(1),(2)【解析】
(1)利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,結(jié)合,可以得到兩個(gè)關(guān)于首項(xiàng)和公差的二元一次方程,解這個(gè)方程組即可求出首項(xiàng)和公差,最后利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式求出及;(2)利用裂項(xiàng)相消法可以求出.【詳解】解:(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為d,(2)由(1)知:【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式,考查了裂項(xiàng)相消法求數(shù)列前項(xiàng)和,考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.20、(1)(2)【解析】
古典概型要求能夠列舉出所有事件和發(fā)生事件的個(gè)數(shù),本題可以列舉出所有事件,概率問題同其他的知識(shí)點(diǎn)結(jié)合在一起,實(shí)際上是以概率問題為載體,主要考查的是另一個(gè)知識(shí)點(diǎn)(1)由題意知本題是一個(gè)古典概型,試驗(yàn)包含的所有事件是任取三張卡片,三張卡片上的數(shù)字全部可能的結(jié)果,可以列舉出,而滿足條件的事件數(shù)字之和大于7的,可以從列舉出的結(jié)果中看出.(2)列舉出每次抽1張,連續(xù)抽取兩張全部可能的基本結(jié)果,而滿足條件的事件是兩次抽取中至少一次抽到數(shù)字3,從前面列舉出的結(jié)果中找出來(lái).解:(Ⅰ)設(shè)A表示事件“抽取3張卡片上的數(shù)字之和大于或等于7”,任取三張卡片,三張卡片上的數(shù)字全部可能的結(jié)果是(1、2、3),(1、2、4),(
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