2023屆青海省西寧市數(shù)學高一第二學期期末教學質量檢測試題含解析

2022-2023學年高一下數(shù)學期末模擬試卷考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．直線是圓在處的切線，點是圓上的動點，則點到直線的距離的最小值等于（）A．1 B． C． D．22．以橢圓的兩個焦點為直徑的端點的圓與橢圓交于四個不同的點,順次連接這四個點和兩個焦點恰好組成一個正六邊形,那么這個橢圓的離心率為（）A． B． C． D．3．函數(shù)的圖象的相鄰兩支截直線所得的線段長為，則的值是（）A．0 B． C．1 D．4．甲、乙、丙三人隨意坐下，乙不坐中間的概率為（）A． B． C． D．5．已知x，y為正實數(shù)，則（）A．2lgx+lgy=2lgx+2lgy B．2lg（x+y）=2lgx?2lgyC．2lgx?lgy=2lgx+2lgy D．2lg（xy）=2lgx?2lgy6．已知的三個內角之比為，那么對應的三邊之比等于（）A． B． C． D．7．等差數(shù)列滿足，則其前10項之和為（）A．－9 B．－15 C．15 D．8．在正方體中，，分別為棱，的中點，則異面直線與所成的角為A． B． C． D．9．已知向量,滿足,和的夾角為,則()A． B． C． D．110．在中，若為等邊三角形（兩點在兩側），則當四邊形的面積最大時，（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．在四面體A-BCD中，AB＝AC＝DB＝DC＝BC，且四面體A-BCD的最大體積為，則四面體A-BCD外接球的表面積為________．12．數(shù)列滿足，則的前60項和為_____．13．在等比數(shù)列中，，，則______________.14．在中，三個角所對的邊分別為．若角成等差數(shù)列，且邊成等比數(shù)列，則的形狀為_______．15．設函數(shù)的部分圖象如圖所示，則的表達式______．16．_______________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．在相同條件下對自行車運動員甲?乙兩人進行了6次測試，測得他們的最大速度（單位:）的數(shù)據(jù)如下:甲273830373531乙332938342836試判斷選誰參加某項重大比賽更合適.18．（1）求證：（2）請利用（1）的結論證明：（3）請你把（2）的結論推到更一般的情形，使之成為推廣后的特例，并加以證明：（4）化簡：.19．求下列方程和不等式的解集（1）（2）20．如圖扇形的圓心角，半徑為2，E為弧AB的中點C?D為弧AB上的動點，且，記，四邊形ABCD的面積為.（1）求函數(shù)的表達式及定義域；（2）求的最大值及此時的值21．已知向量＝(sinx，cosx)，＝(cosx，cosx)，＝(2，1)．(1)若∥，求sinxcosx的值；(2)若0＜x≤，求函數(shù)f(x)＝·的值域．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、D【解析】

先求得切線方程，然后用點到直線距離減去半徑可得所求的最小值．【詳解】圓在點處的切線為，即，點是圓上的動點，圓心到直線的距離，∴點到直線的距離的最小值等于．故選D．【點睛】圓中的最值問題，往往轉化為圓心到幾何對象的距離的最值問題．此類問題是基礎題.2、D【解析】

四個交點中的任何一個到焦點的距離和都是，然后分析正六邊形中的長度和焦距的關系，從而建立等式求解.【詳解】設橢圓的焦點是，圓與橢圓的四個交點是,設，，，，.故選D.【點睛】本題考查了橢圓的定義和橢圓的性質，屬于基礎題型3、C【解析】

根據(jù)題意可知函數(shù)周期為，利用周期公式求出，計算即可求值.【詳解】由正切型函數(shù)的圖象及相鄰兩支截直線所得的線段長為知，，所以，，故選C.【點睛】本題主要考查了正切型函數(shù)的周期，求值，屬于中檔題.4、A【解析】甲、乙、丙三人隨意坐下有種結果，乙坐中間則有，乙不坐中間有種情況，概率為，故選A.點睛：有關古典概型的概率問題，關鍵是正確求出基本事件總數(shù)和所求事件包含的基本事件數(shù)．(1)基本事件總數(shù)較少時，用列舉法把所有基本事件一一列出時，要做到不重復、不遺漏，可借助“樹狀圖”列舉．(2)注意區(qū)分排列與組合，以及計數(shù)原理的正確使用.5、D【解析】因為as+t=as?at，lg（xy）=lgx+lgy（x，y為正實數(shù)），所以2lg（xy）=2lgx+lgy=2lgx?2lgy，滿足上述兩個公式，故選D．6、D【解析】∵已知△ABC的三個內角之比為,∴有,再由,可得，故三內角分別為.再由正弦定理可得三邊之比，故答案為點睛：本題考查正弦定理的應用，結合三角形內角和等于，很容易得出三個角的大小，利用正弦定理即出結果7、D【解析】由已知(a4＋a7)2＝9，所以a4＋a7＝±3，從而a1＋a10＝±3.所以S10＝×10＝±15.故選D.8、A【解析】

如圖做輔助線，正方體中，且，P，M為和中點，,則即為所求角，設邊長即可求得．【詳解】如圖，取的中點，連接，，.因為為棱的中點，為的中點，所以，所以，則是異面直線與所成角的平面角.設，在中，，，則，即.【點睛】本題考查異面直線所成的角，解題關鍵在于構造包含異面直線所成角的三角形．9、B【解析】

由平面向量的數(shù)量積公式，即可得到本題答案.【詳解】由題意可得.故選：B.【點睛】本題主要考查平面向量的數(shù)量積公式，屬基礎題.10、A【解析】

求出三角形的面積，求出四邊形的面積，運用三角函數(shù)的恒等變換和正弦函數(shù)的值域，求出滿足條件的角的值即可．【詳解】設，，，是正三角形，，由余弦定理得：，，時，四邊形的面積最大，此時．故選A．【點睛】本題考查余弦定理和三角形的面積公式，考查兩角的和差公式和正弦函數(shù)的值域，考查化簡運算能力，屬于中檔題．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

當面ABC面與BCD垂直時，四面體A-BCD的體積最大，根據(jù)最大體積為求出四面體的邊長，又△ABC和△BCD是等腰直角三角形，所以四面體A-BCD外接球的球心位于的中點，從而得到半徑，即可求解.【詳解】如圖所示：當面ABC面與BCD垂直時，四面體A-BCD的體積最大為，又AB＝AC＝DB＝DC＝BC，所以△ABC和△BCD是等腰直角三角形，所以四面體A-BCD外接球的球心為的中點，又，解得，，，所以四面體A-BCD外接球的半徑故四面體A-BCD外接球的表面積為.【點睛】本題考查多面體的外接圓及相關計算，多面體外接圓問題關鍵在圓心和半徑.12、1830【解析】

由題意可得，，，，，，…，，變形可得，，，，，，，，…，利用數(shù)列的結構特征，求出的前60項和．【詳解】解：，∴，，，，，，…，，∴，，，，，，，，…，從第一項開始，依次取2個相鄰奇數(shù)項的和都等于2，從第二項開始，依次取2個相鄰偶數(shù)項的和構成以8為首項，以16為公差的等差數(shù)列，的前60項和為，故答案為：．【點睛】本題主要考查遞推公式的應用，考查利用構造等差數(shù)列求數(shù)列的前項和，屬于中檔題．13、1【解析】

根據(jù)已知兩項求出數(shù)列的公比，然后根據(jù)等比數(shù)列的通項公式進行求解即可．【詳解】∵a1＝1，a5＝4∴公比∴∴該等比數(shù)列的通項公式a3＝11＝1故答案為：1．【點睛】本題主要考查了等比數(shù)列的通項公式，一般利用基本量的思想，屬于基礎題．14、等邊三角形【解析】

分析：角成等差數(shù)列解得，邊成等比數(shù)列，則，再根據(jù)余弦定理得出的關系式．詳解：角成等差數(shù)列，則解得，邊成等比數(shù)列，則，余弦定理可知故為等邊三角形．點睛：判斷三角形形狀，是根據(jù)題意推導邊角關系的恒等式．15、【解析】

根據(jù)圖象的最高點得到，由圖象得到，故得，然后通過代入最高點的坐標或運用“五點法”得到，進而可得函數(shù)的解析式．【詳解】由圖象可得，∴，∴，∴．又點在函數(shù)的圖象上，∴，∴，∴．又，∴．∴．故答案為．【點睛】已知圖象確定函數(shù)解析式的方法（1）由圖象直接得到，即最高點的縱坐標．（2）由圖象得到函數(shù)的周期，進而得到的值．（3）的確定方法有兩種．①運用代點法求解，通過把圖象的最高點或最低點的坐標代入函數(shù)的解析式求出的值；②運用“五點法”求解，即由函數(shù)最開始與軸的交點(最靠近原點)的橫坐標為(即令，)確定．16、2【解析】

利用裂項求和法將化簡為，再求極限即可.【詳解】令...故答案為：【點睛】本題主要考查數(shù)列求和中的列項求和，同時考查了極限的求法，屬于中檔題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、乙，理由見解析.【解析】

分別求解兩人的測試數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差，然后進行判定.【詳解】甲的平均數(shù)為：，方差為：;乙的平均數(shù)為：，方差為：;因為，，所以選擇乙參加比賽較為合適.【點睛】本題主要考查統(tǒng)計量的求解及決策問題，平均數(shù)表示平均水平的高低，方差表示穩(wěn)定性，側重考查數(shù)據(jù)分析的核心素養(yǎng).18、（1）證明見解析，（2）證明見解析，（3），證明見解析（4）【解析】

（1）右邊余切化正切后，利用二倍角的正切公式變形可證；（2）將（1）的結果變形為，然后將所證等式的右邊的正切化為余切即可得證；（3）根據(jù)（1）（2）的規(guī)律可得結果；（4）由（3）的結果可得.【詳解】（1）證明：因為，所以（2）因為，所以，所以（3）一般地：，證明：因為所以，以此類推得（4）.【點睛】本題考查了歸納推理，考查了同角公式，考查了二倍角的正切公式，屬于中檔題.19、（1）或；（2）.【解析】

（1）先將方程變形得到，根據(jù)，得到，進而可求出結果；（2）由題意得到，求解即可得出結果.【詳解】（1）由得，因為，所以，因此或；即原方程的解集為：或；（2）由得，即，解得：.故，原不等式的解集為：.【點睛】本題主要考查解含三角函數(shù)的方程，以及反三角函數(shù)不等式，熟記三角函數(shù)性質，根據(jù)函數(shù)單調性即可求解，屬于常考題型.20、（1）（2）當時，取最大值.【解析】

（1）取OE與DC?AB的交點分別為M?N，在中，分別求出，，再利用梯形的面積公式求解即可；（2）令，則，，再求最值即可.【詳解】解：（1），OE與DC?AB的交點分別為M?N，由已知可知，在中，.，，梯形ABCD的高，則.（2）設，則，，則，，則.，當時，，此時，即，，，，故.故的最大值為，此時.【點睛】本題考查了三角函數(shù)的應用，重點考查了運算能力，屬中檔題21、（1）；（2）【解析】

(1)由向量共線得tanx＝2，再由同角三角函數(shù)基本關系得sinxcosx＝，