ch 15代數(shù)系統(tǒng)同態(tài)與同構(gòu)15 4同余關(guān)系商代

15.3

代數(shù)系統(tǒng)的同態(tài)與同構(gòu)第三編代數(shù)結(jié)構(gòu)1同態(tài)映射的概念同態(tài)映射定義同態(tài)映射分類實(shí)例同態(tài)映射的性質(zhì)同態(tài)映射的合成仍舊是同態(tài)映射同態(tài)像是映到代數(shù)系統(tǒng)的子代數(shù)同態(tài)像中保持原有代數(shù)系統(tǒng)的運(yùn)算性質(zhì)同態(tài)映射的定義第三編代數(shù)結(jié)構(gòu)2定義

設(shè)V1

=<

A,

o1,

o2,

...,

or

>

,

V2

=<

B,

o1′,

o2′,

...,

or′

>

是同類型代數(shù)系統(tǒng)，

oi，

oi′為ki

元運(yùn)算,

i=1,2,…,r.

函數(shù)

f

:A→B,

對(duì)于所有的運(yùn)算oi與oi′，"

xi,

…,

xki

∈A,f

(oi

(xi,…,

xki

))=

oi′

(f(x1),

f(x2),

…

,

f(xki))

,則稱f

為V1到V2的一個(gè)同態(tài)映射，簡(jiǎn)稱同態(tài).稱<f(A),o1',o2',...,or'>為<A,o1

,o2

,...,or>的一個(gè)同態(tài)象.其中f(A)={x|x=f(a),a∈A}?

B二元：

f

(

x

oi

y

)=

f(x1)

oi′

f(x2),

"

x,

y

∈A一元：

f

(oi

x

)=

oi′

f(x),

"

x

∈A零元：f

(a

)=a

′,同態(tài)映射的定義（續(xù)）……x1x2f(x1)f(x2)f(xki

)xkiOi

(x1,

x2,

…

,xki)……第三編代數(shù)結(jié)構(gòu)3……Af:

A→Bf(Oi

(x1,

x2,

…

,xki))=

Oi′(f(x1),

f(x2),

…

,

f(xki))B幾點(diǎn)說明對(duì)于二元運(yùn)算、一元運(yùn)算、0元運(yùn)算采用下述表示：f(x*y)=f(x)

★f(y)f(△x)=

△’

f(x)f(a)=

a’同態(tài)映射要對(duì)所有的運(yùn)算保持等式，包括0元運(yùn)算.例如則f

不是V的自同態(tài)，因?yàn)椴槐３?元運(yùn)算0

,

A

=

a

0

|

a,

b

?

R第三編代數(shù)結(jié)構(gòu)4

0 1

0

b

0

1f

:

A

fi

a

0

)

=

a0

)

=

1 0

?

1 0

A,

f

(

0b

00

,

f

(

01

00

0 1

V

=

A,,

1同態(tài)映射的分類設(shè)V1

=<

A,

o1,

o2,

...,or>

與V2

=<

B,

o1′,o2′,

...,or′>，

f

:A→B

是V1到V2的同態(tài)映射，按映射f

的性質(zhì)分為：?jiǎn)瓮瑧B(tài)滿同態(tài)V1

V2同構(gòu)V1

V2按載體分：自同態(tài),

V1

=

V2綜合：?jiǎn)巫酝瑧B(tài)、滿自同態(tài)、自同構(gòu)第三編代數(shù)結(jié)構(gòu)5同態(tài)映射的實(shí)例第三編代數(shù)結(jié)構(gòu)6

V

=

<Z,+>,

fc:Z→Z,

fc(x)

=

cx,

c為給定整數(shù)c

=

0,

零同態(tài)

("

x∈A, f(x)=0

)c=±1，自同構(gòu);其它c(diǎn),單自同態(tài)V

=

<Z6,⊕>,

fp:Z6→Z6,

fp(x)

=

(px)

mod

6,

p

=

0,1,

…,

5,p

=0,

f0

零同態(tài);p=1,f1

恒等映射，自同構(gòu)p

=

2,

f2

=

{<0,0>,<1,2>,<2,4>,<3,0>,<4,2>,<5,4>},p

=

3,

f3

=

{<0,0>,<1,3>,<2,0>,<3,3>,<4,0>,<5,3>}p

=4,

f4

=

{<0,0>,<1,4>,<2,2>,<3,0>,<4,4>,<5,2>}p

=5,

f5

={<0,0>,<1,5>,<2,4>,<3,3>,<4,2>,<5,1>}自同構(gòu)推廣到V

=<Zn,⊕>,fp(x)=(px)mod

n,p

=0,1,…,n-1,fp(x⊕y)

=

(p(x⊕y))

mod

n=

(px)

mod

n

⊕

(py)

mod

n

=

fp(x)⊕fp(y)同態(tài)性質(zhì)第三編代數(shù)結(jié)構(gòu)7同態(tài)的合成仍舊是同態(tài)同態(tài)像是映到的代數(shù)系統(tǒng)的子代數(shù)滿同態(tài)映射（同態(tài)像中）保持原代數(shù)系統(tǒng)的下述性質(zhì)：交換、結(jié)合、冪等、分配、吸收單位元、零元、逆元消去律不一定保持同態(tài)的合成仍舊是同態(tài)定理

若

f:

V1→V2,

g:V2→V3為同態(tài)映射，則g

f:V1→V3也為同態(tài)映射.證：g f

是從

V1到V3的映射.任取V1,V2,V3中一組對(duì)應(yīng)的運(yùn)算o1,o2,o3,設(shè)均為k

元運(yùn)算.x1,

x2,

…

,

xk∈V1,g f

(

o1(x1,

x2,

…,

xk))

=

g

(

f(

o1(x1,

x2,

…,

xk)

)

)=

g

(o2(

f(x1),

f(x2),

…,

f(xk)

)

)=

o3(

g(f(x1)),

g(f(x2)),

…,

g(f(xk))

)=

o3(

g f(x1),

g f(x2),

…,

g f(xk)

)由運(yùn)算的任意性，命題得證.推論代數(shù)系統(tǒng)的同構(gòu)具有自反、對(duì)稱、傳遞的性質(zhì).第三編代數(shù)結(jié)構(gòu)8同態(tài)像是映到代數(shù)系統(tǒng)的子代數(shù)定理15.7

設(shè)V1

=<

A,o1

,o2

,...,or

>

與V2

=<

B,o1',o2

',...,or

'>是同類型的代數(shù)系統(tǒng)，oi與oi′是ki

元運(yùn)算,(i=1,2,…,r),f:A→B是V1到V2的同態(tài)，則f(A)關(guān)于V2的運(yùn)算構(gòu)成代數(shù)系統(tǒng)，且是V2的子代數(shù)，稱f(A)為V1在f

下的同態(tài)像.證

f(A)是B

的非空子集.證明f(A)

對(duì)V2中的所有運(yùn)算封閉.若V2有0元運(yùn)算a′,則V1存在0元運(yùn)算a,f(a)=a′.即a

'∈f(A).

任意V2中非0元運(yùn)算o′(

k元運(yùn)算),

y1,

y2,

…,

yk∈

f(A)，存在x1,

x2,…,

xk

∈

A,

令

f(xi)

=

yi,

i=1,2,…,k,則o'(y1,y2,...,yk

)=

o'(

f

(x1),

f

(x2),...,

f

(xk

))=

f

(o(x1,

x2,...,

xk

))

∈

f(A)

.第三編代數(shù)結(jié)構(gòu)9滿同態(tài)保持原代數(shù)性質(zhì)第三編代數(shù)結(jié)構(gòu)10定理15.8

設(shè)

V1

=<

A,o1,o2

,...,or

>與V2

=<B,o1',o2',...,or

'>是同類型的代數(shù)系統(tǒng)，函數(shù)f:A→B是V1到V2的滿同態(tài)，

V2中運(yùn)算保持V1中相應(yīng)運(yùn)算的下述性質(zhì)：交換、結(jié)合、冪等、分配、吸收V2中保持V1中的單位元、零元、逆元，即ei為V1中運(yùn)算oi的單位元,

f(ei)是V2中運(yùn)算oi

'

的單位元，θi為V1中運(yùn)算oi的零元,

f(θi

)是V2中運(yùn)算oi

'的零元，運(yùn)算oi

含有單位元，x-1是x

關(guān)于運(yùn)算oi

的逆元，則f(x-1)是f(x)關(guān)于運(yùn)算oi

'的逆元幾點(diǎn)說明1.滿同態(tài)條件重要.如果不是滿同態(tài)，有關(guān)性質(zhì)只能在同態(tài)像中成立.例如f不是滿同態(tài)，將單位元映到f(A)的單位元，不是A的單位元.其他見書上例題15.22,

15.23.2.

消去律不一定保持.書上例題15.24,

<Z,

>,

<Z6, >,

f(x)

=

(x)mod6

1

0第三編代數(shù)結(jié)構(gòu)11

,

f

(

)

=

?

0

0

1

0

0

0

a

0

a

0

1

0

1

0

10

1

f

(

)

=

0

b

0f

:A

fi

A,

|

a,

b

?

Rb

a

0

,

A

=

1

0V

=

A,?,

0課堂練習(xí)第三編代數(shù)結(jié)構(gòu)12V1

=

<R,+>,

V2

=

<R+,

●>,

f:

R→R+,

f(x)

=

a

x,

a

>0,證明：f

為V1到V2的同態(tài)映射.證明："x,y∈R,f

(x+y)=ax+y

=ax

●ay

,故，f

為V1到V2的同態(tài)映射.第三編代數(shù)結(jié)構(gòu)13第三編代數(shù)結(jié)構(gòu)1415.4

同余關(guān)系與商代數(shù)第三編代數(shù)結(jié)構(gòu)15同余關(guān)系同余關(guān)系與同余類同余關(guān)系的實(shí)例商代數(shù)商代數(shù)定義商代數(shù)性質(zhì)同態(tài)映射、同余關(guān)系與商代數(shù)之間的聯(lián)系同余關(guān)系與同余類定義

設(shè)

V=<A,o1,o2,…,or>是代數(shù)系統(tǒng)，其中

oi為

ki元運(yùn)算，關(guān)系 為A上的等價(jià)關(guān)系，任取A上2ki

個(gè)元素

a1,a2,

…,

aki

,

b1,

b2,

…,

bki,

如果對(duì)于所有的

j=1,2,…,ki,aj

bj

就有oi

(a1,a2,

…

,aki) oi

(b1,b2,

…

,bki)則稱等價(jià)關(guān)系 對(duì)于運(yùn)算

oi

具有置換性質(zhì).如果等價(jià)關(guān)系 對(duì)于V中的所有運(yùn)算都具有置換性質(zhì)，則稱

是V上的同余關(guān)系，稱A中相關(guān)的等價(jià)類為同余類.第三編代數(shù)結(jié)構(gòu)16第三編 代數(shù)結(jié)構(gòu)17同余關(guān)系與同余類（續(xù)）oi

(a1,…,

aki

)b1a1oi

(b1,

b2,…,

bki)Ab2a2bkiaki18實(shí)例例V=<Z4,⊕>,有15個(gè)等價(jià)關(guān)系，用對(duì)應(yīng)的劃分表示.3⊕3

不成{{0},{1,2,3}}

不是同余關(guān)系，1

3,3

3，但

1⊕3立.同理可以驗(yàn)證以下11個(gè)劃分對(duì)應(yīng)的也不是同余關(guān)系{{1},{0,2,3}}{{0,1},{2,3}}{{2},{1,3,0}}{{0,3},{1,2}}{{3},{1,2,0}}{{0},{1},{2,3}}{{0},{2},{1,3}}{{0},{3},{1,2}}{{1},{2},{0,3}}{{1},{3},{0,2}}{{2},{3},{0,1}}只有以下3個(gè)劃分對(duì)應(yīng)于同余關(guān)系：{{0},{1},{2},{3}}，

{{0,1,2,3}}，{

{0,2},{1,3}}恒等關(guān)系與全域關(guān)系都是同余關(guān)系.任何代數(shù)系統(tǒng)都存在同余關(guān)系.第三編 代數(shù)結(jié)構(gòu)第三編 代數(shù)結(jié)構(gòu)19定義設(shè)代數(shù)系統(tǒng)V=<A,o1,o2,…,or>，其中oi為ki元運(yùn)算，i

=1,

2,…,r.關(guān)系R

為V上的同余關(guān)系，V

關(guān)于

R的商代數(shù)記作V/R

=<

A/R,

ō1,

ō2,...,

ōr

>其中A/R是A關(guān)于同余關(guān)系R的商集.定義運(yùn)算ōi

(i

=1,2,…,r)為ōi

([a1],[a2

],...,[aki

])=

[oi(a1,

a2

,

...,aki

)].商代數(shù)定義A/R[a1]={a1,b1,

…}[a2]={a

,b

,

…}2

2[aki]={aki,bki,

…}ōi

([a1],[a2

],...,[aki

])=

[oi

(a1,a2

,...,aki)]例V=<Z,

·>,

·

是普通乘法，R為Z上模3同余關(guān)系，

x,y∈A,

xRy x≡y(mod3),

R為同余關(guān)系。V關(guān)于R的商代數(shù)V/R

=<Z/R,

⊙> Z/R={[0],[1],[2]}[x],

[y]∈Z/R, [x]

⊙

[y]

=

[

xy(mod3)

],V/R

與<Z3,×3>同構(gòu)Z3={0,

1,

2},

×3為模3乘法。第三編代數(shù)結(jié)構(gòu)20商代數(shù)的良定義性運(yùn)算的良定義運(yùn)算結(jié)果與參與運(yùn)算元素的表示無關(guān)bj,

j=1,

2,

…,

ki

,第三編代數(shù)結(jié)構(gòu)21對(duì)于任意運(yùn)算oi

,設(shè)為ki

元運(yùn)算，aj則[aj]=[bj],j=1,

2,…,ki

,ōi

([a1],[a2

],...,[aki

])=

[oi

(a1,

a2,

...,

aki)]=

[oi

(b1,

b2,

...,

bki)]=

ōi

([b1],[b2

],...,[bki

])//同余關(guān)系對(duì)運(yùn)算oi

的置換性質(zhì)商代數(shù)V/R保持V

若干性質(zhì)第三編代數(shù)結(jié)構(gòu)22定理15.9

設(shè)V=<A,

o1,o2

,…,or

>,R

是V上的同余關(guān)系，V

關(guān)于R

的商代數(shù)V/R=

<A/R,

o1’,o2’,…,or’>,若oi

具有交換(結(jié)合、冪等)，oi’在V/R

中保持該性質(zhì).若oi

對(duì)oj可分配，則oi’對(duì)oj’在V/R

中可分配.若oi

和oj

滿足吸收律，則oi’和oj’在V/R滿足吸收律.V

關(guān)于oi

存在單位元e

,

零元θ,

則

商代數(shù)V/R關(guān)于oi’的單位元

[e],

零元[θ]

.若oi

是V中含有單位元的運(yùn)算,且x∈A關(guān)于oi的逆元為x-1,則V/R中[x]關(guān)于oi’的逆元為[x]-1

=[x

-1].Th

15.9

注x≡y(mod4).注 消去律不一定保持.例

<Z,×>有消去律，定義

x

Ry商代數(shù)為

V/R=<{[0],[1],[2],[3]},

>.沒有消去律.

因?yàn)閇2]

[0]=[2] [2],

但是[0]≠[2].第三編代數(shù)結(jié)構(gòu)23同態(tài)、同余關(guān)系與商代數(shù)的聯(lián)系第三編代數(shù)結(jié)構(gòu)24同態(tài)映射導(dǎo)出同余關(guān)系商代數(shù)是原代數(shù)的同態(tài)像通過自然映射同態(tài)基本定理代數(shù)系統(tǒng)的同態(tài)像同構(gòu)于它的商代數(shù)同態(tài)映射導(dǎo)出同余關(guān)系第三編代數(shù)結(jié)構(gòu)25定理15.10

設(shè)V1

=<A,o1,o2,...,or

>與V2

=<B,o1′,o2′,...,or′>是同類型的代數(shù)系統(tǒng)，對(duì)于i

=1,2,…,r，oi,

oi′為

ki

元運(yùn)算,函數(shù)f:A→B為V1到V2的同態(tài)映射，則由f導(dǎo)出的A上的等價(jià)關(guān)系為V1上的同余關(guān)系.證

思路：1.定義等價(jià)關(guān)系～.

2.

～對(duì)于任意運(yùn)算有置換性.等價(jià)關(guān)系的定義

?a,

b∈A,

a～b

?

f(a)=f(b)//oi

(a1,...,

aki

)～oi

(b1,...,bki

)?f

(oi

(a1

,...,aki

))=f(oi

(b1,...,bki

))任取V1上的運(yùn)算oi,(ki

≥1)，對(duì)于任意的aj

～bj

,j

=1,

2,…,ki

,f(oi(a1,a2

,...,aki

))=oi′(f(a1),f(a2),...,f(aki

)) //f

同態(tài)=oi’(f(b1),f(b2),...,f(bki

))=f(oi(b1,b2

,...,bki))

//f(aj)=f(bj),

f

同態(tài)故,oi

(a1

,a2

,...,aki

)～oi

(b1

,b2

,...,bki)～關(guān)于oi運(yùn)算具有置換性質(zhì)，根據(jù)oi

的任意性，定理得證.實(shí)例第三編代數(shù)結(jié)構(gòu)26例

V=<Z4,⊕>,

fi

:

Z4→Z4,

fi(x)

=

(ix)

mod

4，i

=

0,1,2,3注意：本例中，每個(gè)同態(tài)映射都可以導(dǎo)出一個(gè)同余關(guān)系；多個(gè)同態(tài)，若同態(tài)像一樣，則導(dǎo)出相同的同余關(guān)系.函數(shù)導(dǎo)出的同余關(guān)系f0(x)=0,

x=0,1,2,3全域關(guān)系f1(x)=x,

x=0,1,2,3恒等關(guān)系If2(0)=f2(2)=0,

f2(1)=f2(3)=2{<0,2>,<2,0>,<1,3>,<3,1>}∪If3(0)=0，f3(1)=3,

f(1)=2，f3(3)=1，恒等關(guān)系I商代數(shù)是原代數(shù)的同態(tài)像定理15.11

設(shè)代數(shù)系統(tǒng)V=<A,o1,o2,…,or>，其中oi為ki元運(yùn)算，i=1,2,…,r,

R是V上的同余關(guān)系，

則自然映射a∈A,第三編代數(shù)結(jié)構(gòu)27g:

A→A/R,

g(a)=[a],是從V

到V/R

的同態(tài)映射.證 設(shè)

V/R

=<

A/

R,

ō1,

ō2,...,

ōr

>任意ki

元運(yùn)算oi，任取a1,a2,…,aki∈A，g(oi

(a1,a2

,...,aki))=[oi(a1,

a2,...,aki

)]=

ōi

([a1],[a2],...,[aki])

=

ōi

(g(a1),

g(a2),

...,g(aki))由于oi

的任意性，定理得證.同態(tài)基本定理定理15.12

設(shè)V1

=<

A,o1

,o2

,...,or

>

與V2

=<

B,o1’,o2’,...,or’>是同類型的代數(shù)系統(tǒng)，對(duì)于i=1,2,…,r，oi

與oi’都是ki元運(yùn)算，f:A→B

是V1

到V2

的同態(tài)，關(guān)系R

是f導(dǎo)出的V1

上的同余關(guān)系，則V1

關(guān)于同余關(guān)系R

的商代數(shù)同構(gòu)于V1

在f下的同態(tài)像，即V1

/R

<

f

(A),o1',o2',...or

'>證明思路：定義h：V1/R→f(A),h([a])=f(a)驗(yàn)證h

是雙射的驗(yàn)證h

是同態(tài)映射第三編代數(shù)結(jié)構(gòu)28Th5.12

(3)同態(tài)的驗(yàn)證第三編代數(shù)結(jié)構(gòu)29證明:任意運(yùn)算ōi

，設(shè)為ki

元，ki

>0,

i=1,2,…,r，h(ōi

([a1],[a2],...,[aki]))=

h([oi(a1,a2,...,aki

)])=

f(oi(a1,a2

,...,aki

))//商代數(shù)定義//h函數(shù)定義=oi’(f(a1),f(a2),...,f(aki))

//同態(tài)定義//h函數(shù)定義=

oi’(h([a1]),h([a2]),...,h([aki]))如果是0

元運(yùn)算[a]∈V1/R,則h([a])=f(a)=a’且a’是f(A)中對(duì)應(yīng)的0

元運(yùn)算.同態(tài)、同余關(guān)系與商代數(shù)的聯(lián)系定理任何商代數(shù)都是同態(tài)像定理任何同態(tài)像在同構(gòu)意義下是商代數(shù)同余關(guān)系、商代數(shù)、同態(tài)、同態(tài)像的對(duì)應(yīng)第三編代數(shù)結(jié)構(gòu)30實(shí)例說明G1

={e,a,b,c},Klein四元群.G2

=

{e,

x}f1:G1→G2f1={<e,e>,<a,e>,<b,x>,<c,x>}f2:G1→G2f2={<e,e>,<b,e>,<a,x>,<c,x>}f1(G1)=f2(G1)=G2

//同態(tài)象相同*e

ab

cee

ab

caa

ec

bbb

ce

acc

ba

ea,b c,G1/R1={[e],[b]}

//商代數(shù)不同b,

a c,

G2/R2={[e],[a]}f1導(dǎo)出的同余關(guān)系R1：ef2導(dǎo)出的同余關(guān)系R2：eG1/R1

G2/R2,第三編代數(shù)結(jié)構(gòu)31例題第三編代數(shù)結(jié)構(gòu)32例V=<Z6,⊕>,求