新人教版高中數(shù)學(xué)教材例題課后習(xí)題必修二72復(fù)數(shù)的四則運算

復(fù)數(shù)的四則運算復(fù)數(shù)的加?減運算及其幾何意義例1計算.解：.例2根據(jù)復(fù)數(shù)及其運算的幾何意義，求復(fù)平面內(nèi)的兩點，之間的距離.分析：由于復(fù)平面內(nèi)的點，對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為，，由復(fù)數(shù)減法的幾何意義知，復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量為，從而點，之間的距離為.解：因為復(fù)平面內(nèi)的點，對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為，，所以點，之間的距離為.練習(xí)1.計算：（1）；（2）；（3）；（4）.【答案】（1）5（2）（3）（4）0【解析】【分析】直接進(jìn)行復(fù)數(shù)的加減運算即可.【詳解】（1）原式；（2）原式；（3）原式；（4）原式.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的加減運算，屬于基礎(chǔ)題.2.如圖，向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)是z，分別作出下列運算的結(jié)果對應(yīng)的向量：（1）；（2）；（3）.【答案】（1）作圖見解析（2）作圖見解析（3）作圖見解析【解析】【分析】復(fù)數(shù)與以原點為起點的向量是一一對應(yīng)的，根據(jù)平行四邊形法則作出相應(yīng)向量即可.【詳解】（1）復(fù)數(shù)1與復(fù)平面內(nèi)點一一對應(yīng)，利用平行四邊形法則作出所求向量，如圖所示：（2）復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)點一一對應(yīng)，利用平行四邊形法則作出所求向量，如圖所示：（3）復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)點一一對應(yīng)，利用平行四邊形法則作出所求向量如圖所示：【點睛】本題考查復(fù)數(shù)加法的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.3.證明復(fù)數(shù)的加法滿足交換律、結(jié)合律.【答案】證明見解析【解析】【分析】設(shè)，根據(jù)復(fù)數(shù)的加法運算證明，即可.【詳解】證明：復(fù)數(shù)的加法滿足交換律.設(shè)，則有，，∵，，∴.即復(fù)數(shù)的加法滿足交換律.復(fù)數(shù)的加法滿足結(jié)合律.設(shè)，有，∴，即復(fù)數(shù)的加法滿是結(jié)合律.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)加法運算的交換律、結(jié)合律的證明，屬于基礎(chǔ)題.4.求復(fù)平面內(nèi)下列兩個復(fù)數(shù)對應(yīng)的兩點之間的距離：（1）；（2）.【答案】（1）（2）5【解析】【分析】即為復(fù)平面上點到的距離，求的模即可.【詳解】（1）；（2）.【點睛】本題考查復(fù)平面內(nèi)兩個復(fù)數(shù)對應(yīng)的兩點之間的距離，屬于基礎(chǔ)題.復(fù)數(shù)的乘?除運算例3計算.解：.例4計算：（1）；（2）.分析：本例可以用復(fù)數(shù)的乘法法則計算，也可以用乘法公式①計算.解：（1）；（2）.例5計算.解：.例6在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解下列方程：（1）；（2），其中a，b，，且，.分析：利用復(fù)數(shù)乘法容易得到（1）中方程的根.對于（2），當(dāng)時，一元二次方程無實數(shù)根.利用求解一元二次方程的“根本大法”——配方法，類似于（1），就能在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)求得（2）中方程的根.解：（1）因為，所以方程的根為.（2）將方程的二次項系數(shù)化為1，得.配方，得，即.由，知.類似（1），可得.所以原方程的根為.在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，實系數(shù)一元二次方程求根公式為：（1）當(dāng)時，；（2）當(dāng)時，.練習(xí)5.計算：（1）；（2）；（3）．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)復(fù)數(shù)乘法法則求解；（2）根據(jù)復(fù)數(shù)乘法法則求解；（3）根據(jù)復(fù)數(shù)乘法法則求解.【詳解】解：（1）原式；（2）原式；（3）原式．【點睛】本題考查復(fù)數(shù)乘法法則，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.6.計算：（1）；（2）；（3）．【答案】（1）-5（2）-2i（3）5【解析】【分析】（1）根據(jù)復(fù)數(shù)乘法法則求解；（2）根據(jù)復(fù)數(shù)乘法法則求解;（3）根據(jù)復(fù)數(shù)乘法法則求解.【詳解】解：（1）原式；（2）原式；（3）原式．【點睛】本題考查復(fù)數(shù)乘法法則，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.7.計算：（1）；（2）；（3）；（4）.【答案】（1）（2）（3）（4）【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運算律直接計算.【小問1詳解】解：；【小問2詳解】解：；【小問3詳解】解：；【小問4詳解】解：.8.在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解下列方程：（1）；（2）．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用配方法得到方程的根；（2）利用公式法得到方程的根.【詳解】解：（1）因為，所以方程的根為．（2）因為，所以方程的根為，即．【點睛】本題考查復(fù)數(shù)范圍內(nèi)一元二次方程的根，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.習(xí)題復(fù)習(xí)鞏固9.計算：（1）；（2）；（3）（4）【答案】（1）；（2）；（3）；（4）.【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)加減法的運算法則直接運算即可.【詳解】（1）；（2）；（3）；（4）.【點睛】本題考查了復(fù)數(shù)加減混合運算，考查了數(shù)學(xué)運算能力.10.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量分別是，其中O是原點，求向量對應(yīng)的復(fù)數(shù).【答案】，【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)寫出它在復(fù)平面對應(yīng)點的坐標(biāo)，從而知道向量的坐標(biāo)表示，利用平面向量減法的幾何意義求出平面的坐標(biāo)表示，最后求出對應(yīng)的復(fù)數(shù).【詳解】解：由題意得，所以，故對應(yīng)的復(fù)數(shù)為.因為，所以向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)為.【點睛】本題考查了復(fù)數(shù)與平面向量之間的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.11.計算：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）.【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）【解析】【分析】運用復(fù)數(shù)乘法運算法則、加減法的運算法則直接運算即可.【詳解】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）.【點睛】本題考查了復(fù)數(shù)乘法的運算、加減法的運算法則，考查了數(shù)學(xué)運算能力.12.1.計算：（1）；（2）；（3）；（4）.【答案】（1）（2）（3）（4）【解析】【分析】（1）分子分母同乘；（2）分子分母同乘；（3）先化簡，再分子分母同乘；（4）先化簡與，再分子分母同乘【小問1詳解】【小問2詳解】【小問3詳解】【小問4詳解】綜合運用13.已知ABCD是復(fù)平面內(nèi)的平行四邊形，且A，B，C三點對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是1＋3i，－i,2＋i，求點D對應(yīng)的復(fù)數(shù)．【答案】3＋5i【解析】【詳解】試題分析：法一：設(shè)的坐標(biāo)為，則對應(yīng)的復(fù)數(shù)為，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，對角線互相平分，即可求解的值，即可得到點對應(yīng)的復(fù)數(shù)．法二：設(shè)的坐標(biāo)為，由于，可得，求出的值，即可得到點對應(yīng)的復(fù)數(shù)；試題解析：方法一設(shè)D點對應(yīng)的復(fù)數(shù)為x＋yi(x，y∈R)，則D(x，y)，又由已知A(1,3)，B(0，－1)，C(2,1)．∴AC中點為，BD中點為.∵平行四邊形對角線互相平分，∴，∴.即點D對應(yīng)的復(fù)數(shù)為3＋5i.方法二設(shè)D點對應(yīng)的復(fù)數(shù)為x＋yi(x，y∈R)．則對應(yīng)的復(fù)數(shù)為(x＋yi)－(1＋3i)＝(x－1)＋(y－3)i，又對應(yīng)的復(fù)數(shù)為(2＋i)－(－i)＝2＋2i，由于＝.∴(x－1)＋(y－3)i＝2＋2i.∴，∴.即點D對應(yīng)的復(fù)數(shù)為3＋5i.點睛：本題主要考查了復(fù)數(shù)的幾何意義及復(fù)數(shù)的表示，解答中根據(jù)復(fù)數(shù)的表示和平行四邊形的性質(zhì)，利用平行四邊形的對角線互相平分和復(fù)數(shù)相等的坐標(biāo)間的關(guān)系，得到方程，求解的值，其中熟練掌握復(fù)數(shù)的運算和復(fù)數(shù)相等的條件是解答的關(guān)鍵．14.在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解下列方程：（1）；（2）.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先判斷一元二次方程根的判別式，再利用求根公式求解即可；（2）先判斷一元二次方程根的判別式，再利用求根公式求解即可.【詳解】解：（1）,∴方程的根為，即.（2），∴方程的根為，即.【點睛】本題考查了在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)求一元二次方程根的問題，考查了數(shù)學(xué)運算能力.15.已知－3＋2i是關(guān)于x的方程2x2＋px＋q＝0的一個根，求實數(shù)p、q的值．【答案】【解析】【詳解】∵－3＋2i方程2x2＋px＋q＝0的一個根，∴2(－3＋2i)2＋p(－3＋2i)＋q＝0即(10－3p＋q)＋(2p－24)i＝0.∴解得拓廣探索16.利用公式，把下列各式分解成一次因式的積；（1）；（2）.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）運用平方差公式進(jìn)行因式分解即可；（2）運用平方差公式進(jìn)行因式分解即可.【詳解】（1）；（2）.【點睛】本題考查了在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)因式分解，考查了平方差公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.17.若，則復(fù)平面內(nèi)滿足的點2的集合是什么圖形？【答案】以為圓心，以3為半徑的圓.【解析】【分析】解法1：根據(jù)復(fù)數(shù)模的幾何意義進(jìn)行判斷即可；解法2：根據(jù)復(fù)數(shù)的減法的運算法則和復(fù)數(shù)模的公式進(jìn)行求解判斷即可.【詳解】解法1：由復(fù)數(shù)模的幾何意義可知，復(fù)平面內(nèi)滿足的點Z的集合是以為圓心，以3為半徑的圓.解法2：.即，故復(fù)平面內(nèi)滿足的點2的集合是以為圓心，以3為半徑的圓.【點睛】本題考查了復(fù)數(shù)模的幾何意義，考查了數(shù)學(xué)運算能力，屬于基礎(chǔ)題.10.使用信息技術(shù)手段進(jìn)行試驗：嘗試在復(fù)數(shù)集中對實系數(shù)多項式進(jìn)行因式分解，觀察并記錄所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律.變式練習(xí)題18.計算：(1－2i)＋(－2＋3i)＋(3－4i)＋(－4＋5i)＋…＋(－2020＋2021i)＋(2021－2022i)．【答案】1011－1012i【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的加減法運算法則化簡計算即可.【詳解】原式＝(1－2＋3－4＋…－2020＋2021)＋(－2＋3－4＋5＋…＋2021－2022)i＝(2021－1010)＋(1010－2022)i＝1011－1012i.19.計算：（1）(1－2i)(1＋2i)；（2）[(5－4i)＋(1＋3i)](5＋2i)．【答案】（1）5（2）32＋7i【解析】【分析】（1）根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法法則或平方差公式即可求得答案；（2）根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法法則即可求得答案.【小問1詳解】方法一：原式＝1＋2i－2i－4i2＝5；方法二：原式＝1－(2i)2＝1－4i2＝5.【小問2詳解】原式＝(6－i)(5＋2i)＝30＋12i－5i－2i2＝32＋7i.20.在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)分解因式：（1）x2＋4（2）x4－4【答案】（1）(x＋2i)(x－2i)（2）(x＋i)(x－i)(x＋)(x－)．【解析】【分析】（1）利用復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的因式分解即可求解.（2）利用復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的因式分解即可求解.【小問1詳解】x2＋4＝(x＋2i)(x－2i)．【小問2詳解】x4－4＝(x2＋2)(x2－2)＝(x＋i)(x－i)(x＋)(x－)．21.已知求復(fù)數(shù)z.【答案】或.【解析】【分析】設(shè)，根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運算法則及復(fù)數(shù)相等的充要條件得到方程組解得即可；【詳解】解：設(shè)，則，所以，即，則解得或，故或.22.計算i＋2i2＋3i3＋…＋2020i2020＋2021i2021.【答案】1010＋1011i【解析】【分析】根據(jù)的概念和運算規(guī)則化簡計算即可得出答案.【詳解】原式＝(i－2－3i＋4)＋(5i－6－7i＋8)＋(9i－10－11i＋12)＋…＋(2017i－2018－2019i＋2020)＋2021i＝505·(2－2i)＋2021i＝1010＋1011i.23.設(shè)，求證：（1）（2）（3）【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析（3）證明見解析【解析】【分析】（1）由，求得，即可證得；（2）由，求得，進(jìn)而求得；（3）由，分別求得和，即可證得.【小問1詳解】解：由，可得，所以.【小問2詳解】解：由，可得，則【小問3詳解】解：由，可得，，則，所以.24.1.計算：【答案】－2i【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法法則和乘方運算即可得到答案.【詳解】.25.計算：i2019＋(＋i)8－50＋.【答案】256－i【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運算規(guī)則化簡計算即可.【詳解】原式＝i4×504＋3＋[2(1＋i)2]4－＋＝i3＋(4i)4－＋i＝－i＋256＋＋i＝256＋＝256－i.26.在復(fù)平面內(nèi)分別用點表示復(fù)數(shù)2－3i，5i，－3，－5＋3i及它們的共軛復(fù)數(shù)．【答案】答案見解析【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義和共軛復(fù)數(shù)的概念可得答案.【詳解】復(fù)數(shù)2－3i，5i，－3，－5＋3i表示的點分別為A，B，C，D，其對應(yīng)的共軛復(fù)數(shù)表示的點分別為A′，B′，，D′.作圖如下：27.已知z＝(x＋1)＋(y－1)i在復(fù)平面所對應(yīng)的點在第二象限，求x與y的取值范圍．【答案】【解析】【分析】解不等式組即得解.【詳解】解：由題意得所以28.已知復(fù)數(shù)z＝(x－1)＋(2x－1)i的模小于，則實數(shù)x的取值范圍是__________.【答案】【解析】【分析】由復(fù)數(shù)模的定義列不等式求解即可.【詳解】由題意得，∴5x2－6x－8＜0，∴(5x＋4)(x－2)＜0，∴.【點睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)模的計算，屬于基礎(chǔ)題.29.已知復(fù)數(shù)z1＝a＋bi，z2＝1＋ai(a，b∈R)，若|z1|<z2，則b的取值范圍是________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)|z1|<z2，得到z2為實數(shù)，故a＝0，再計算不等式得到答案。【詳解】因為|z1|<z2，所以z2為實數(shù)，故a＝0，，即，即－1<b<1.故b的取值范圍是(－1，1).故答案為：.30.已知復(fù)數(shù)z滿足條件z＝x＋yi，其中x<0，y>0，且x2＋y2<9，求此復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)表示的圖形．【答案】答案見解析【解析】【分析】由復(fù)數(shù)的幾何意義及點與圓的位置關(guān)系即可求解.【詳解】解：如圖，所求圖形是以原點O為圓心、半徑為3的扇形OAB的內(nèi)部，不包括圓弧AB和半徑OA，OB31.設(shè)全集U＝C，A＝{z|||z|－1|＝1－|z|，z∈C}，B＝{z||z|<1，z∈C}，若z∈A∩(?UB)，求復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點