第二節(jié)一階線性微分方程

第二節(jié)一階線性微分方程第1頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月一、可分離變量的微分方程形如(1)的方程稱為可分離變量的微分方程，其中f(x)和g(y)都是連續(xù)函數(shù)．例:第2頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月這叫做分離變量。就是原方程的通解．

上式兩邊積分，得到

微分方程的解可以用隱函數(shù)的形式表示第3頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月

若存在y0，使g(y0)=0，一般而言，這種解會在分離變量時丟失，且可能不含于通解中。應注意補上這些可能丟失的解．

這時常數(shù)函數(shù)y=y0也是方程(1)的解．第4頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月例1解當y≠0時，方程可改寫為

兩邊積分，所以原方程的通解為

（c為任意常數(shù)）

此外，y=0也是該方程的解．

注：解y=0沒有包含在通解中。得到第5頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月例2解當y≠0時，方程可改寫為

兩邊積分，或得到第6頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月此外y=0也是方程的解．其中c為任意常數(shù).(2)若允許c=0

，則此解也含于上式中．所以方程的通解為

第7頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月例3解兩邊積分由初值條件得所以方程滿足所給初值條件的特解為:得方程的通解為第8頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月例４解得方程的通解為得所以方程的通解為:求解Logistic方程兩邊積分第9頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月二、齊次微分方程

形如(3)的微分方程稱為齊次微分方程．例如:第10頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月代入

分離變量兩邊積分，得求解方法：便得通解。第11頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月例5解原方程可以改寫成原方程變?yōu)楫攗≠0時分離變量得第12頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月得即兩邊積分當u＝0時，y=0也是方程的解。第13頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月(4)兩邊積分，得代回原變量得原方程的通解為此外u=0時，y=0(x≠0)也原方程的解.例5解第14頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月三、一階線性微分方程

形如的方程稱為一階線性微分方程，稱它為一階齊次線性微分方程，否則，稱它為一階非齊次線性微分方程．

(5)的求解法：常數(shù)變易法(5)(6)稱它為非齊次微分方程(5)對應的齊次線性微分方程．第15頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月例2已求得方程(6)的通解為(7)顯然，如果（7）中的c恒保持為常數(shù)，則它一定不是（6）的解。(8)的通解，它的導數(shù)為為此，我們將c換成x的未知函數(shù)c(x)，設想方程（5）有形如第16頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月(9)將(8),(9)代入方程（5）得(8)得第17頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月兩邊積分，得將它代回到(8)式(10)得即得方程(5)的通解為

上述這種將對應的齊次線性微分方程通解中的任意常數(shù)c換成未知函數(shù)c(x)求非齊次線性微分方程通解的方法，稱為常數(shù)變易法．第18頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月例6解兩邊積分對應的齊次線性微分方程為分離變量得齊次線性微分方程的通解為設非齊次線性微分方程的通解為第19頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月例6設非齊次線性微分方程的通解為代入原非齊次線性微分方程第20頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月例6設非齊次線性微分方程的通解為于是非齊次線性微分方程的通解為第21頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月例6也可以直接利用通解公式（10）求解根據(jù)公式(10)第22頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月所以原方程的通解為第23頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月例7解根