新教材人教A版2.2基本不等式課件（40張）

2.2基本不等式第二章2021內(nèi)容索引0102課前篇自主預(yù)習課堂篇探究學習課標闡釋思維脈絡(luò)1.理解基本不等式

a>0,b>0).(數(shù)學抽象)2.能用基本不等式解決簡單的求最大值或最小值的問題.(數(shù)學運算)3.能運用基本不等式證明不等式和比較代數(shù)式的大小.(邏輯推理、數(shù)學運算)課前篇自主預(yù)習[激趣誘思]某金店有一座天平,由于左右兩臂長略有不等,所以直接稱重不準確.有一個顧客要買一串金項鏈,店主分別把項鏈放于左右兩盤各稱一次,得到兩個不同的質(zhì)量a和b,然后就把兩次稱得的質(zhì)量的算術(shù)平均數(shù)

作為項鏈的質(zhì)量來計算.顧客對這個質(zhì)量的真實性提出了質(zhì)疑,那么這樣計算的質(zhì)量相對于原來的真實質(zhì)量到底是大了還是小了呢?[知識點撥]知識點一:基本不等式我們稱不等式

為基本不等式,其中a>0,b>0,當且僅當a=b時,等號成立.名師點析

1.基本不等式與不等式a2+b2≥2ab的異同不等式a2+b2≥2ab適用范圍a,b∈Ra>0,b>0文字敘述兩數(shù)的平方和不小于它們積的2倍兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)“=”成立的條件a=ba=b2.基本不等式的變形第一個變形體現(xiàn)了兩正數(shù)的積與兩正數(shù)和的平方之間的關(guān)系.當不等式的一端為定值時,另一端就可以取最值.基本不等式有多種變形,應(yīng)用時具有很大的靈活性,既可直接應(yīng)用又可變形應(yīng)用.一般地,遇到和與積,平方和與積,平方和與和的平方等不等式問題時,常利用基本不等式處理.微思考(1)在上節(jié)課中,我們學習了一個重要不等式:若a,b∈R,則a2+b2≥2ab(當且僅當a=b時,等號成立).如果a>0,b>0,我們用

分別代替不等式中的a,b,可得到什么形式?提示

得到a+b≥2.(2)我們稱

為a,b的幾何平均數(shù),稱

為a,b的算術(shù)平均數(shù).如何用這兩個概念描述基本不等式?提示

基本不等式可敘述為:兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).(3)當a>0,b>0時,由a2+b2≥2ab你能得到哪些變形式?知識點二:利用基本不等式求最值基本不等式與最值已知x,y都是正數(shù).名師點析

利用基本不等式求最值的注意事項在應(yīng)用基本不等式求最值時,要把握不等式成立的三個條件:一正、二定、三相等,這三個條件缺一不可.二定:積或和為定值.積為定值和有最小值;和為定值積有最大值.為了利用基本不等式,有時對給定的代數(shù)式要進行適當變形.例如:另外,在連續(xù)使用公式求最值時,取等號的條件很嚴格,要求同時滿足任何一次等號成立的字母取值存在且一致.微思考填寫下面的表格:x+y101010101010101010x(x>0)123456789y(y>0)987654321xy

xy111111111x(x>0)

12345y(y>0)

x+y

根據(jù)以上表格,并結(jié)合基本不等式分析:(1)當x+y是定值時,xy有最大值還是最小值?最值等于什么?(2)當xy是定值時,x+y有最大值還是最小值?最值等于什么?微練習已知x>0,y>0.(1)若xy=4,則x+y的最小值是

;

(2)若x+y=4,則xy的最大值是

.

答案

(1)4

(2)4課堂篇探究學習探究一對基本不等式的理解例1(多選題)設(shè)a>0,b>0,下列不等式恒成立的是(

)答案

ABC要點筆記

應(yīng)用基本不等式時要注意以下三點(1)各項或各因式均為正;(2)和或積為定值;(3)各項或各因式能取得相等的值.即“一正、二定、三相等”.變式訓練1下列結(jié)論正確的是(

)答案

B探究二利用基本不等式證明不等式反思感悟

利用基本不等式證明不等式的注意事項(1)利用基本不等式證明不等式,關(guān)鍵是所證不等式中必須有“和”式或“積”式,通過將“和”式轉(zhuǎn)化為“積”式或?qū)ⅰ胺e”式轉(zhuǎn)化為“和”式,從而達到放縮的目的.(2)注意多次運用基本不等式時等號能否取到.(3)解題時要注意技巧,當不能直接利用基本不等式時,可將原不等式進行組合、構(gòu)造,以滿足能使用基本不等式的形式.(4)在證明不等式的過程中,注意充分利用“1的代換”,即把常數(shù)“1”替換為已知的式子,然后經(jīng)過整理后再利用基本不等式進行證明.變式訓練2已知a,b均為正實數(shù).若ab=2,求證:(1)(a+b)(a3+b3)≥16;(2)(1+2a)(1+b)≥9.探究三利用基本不等式求最值例3(1)已知x>0,則

+x的最小值為(

)(2)已知a>0,b>0,且ab=1,則a+4b的最小值為

.

答案

(1)A

(2)4延伸探究

本例第(2)問,改為“已知a>0,b>0,且a+4b=4”,求ab的最大值.

素養(yǎng)形成基本不等式在求解恒成立與存在性(有解)問題中的應(yīng)用由于利用基本不等式與重要不等式可以求某些特定式子的最值,因此基本不等式與重要不等式可以求解一類含參數(shù)的恒成立問題與存在性問題,求解的一般思路是:若能夠?qū)?shù)進行分離,則分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為最值問題求解,若不能分離參數(shù),則直接將參數(shù)看作已知量求解.典例

(1)(2021北京海淀高一期末)對任意的正實數(shù)x,y,不等式x+4y≥恒成立,則實數(shù)m的取值范圍是(

)A.{m|0<m≤4} B.{m|0<m≤2}C.{m|m≤4} D.{m|m≤2}(2)若存在實數(shù)x>0,使不等式x2-ax+1≤0成立,則實數(shù)a的取值范圍是(

)A.{a|a≤2} B.{a|a≥2}C.{a|a>2} D.{a|a<2}(3)若對實數(shù)x≠0,不等式ax2+-2≥0恒成立,則正實數(shù)a的取值范圍是

.

當且僅當x=4y時,等號成立,∴m≤4.故選C.(2)存在實數(shù)x>0使不等式x2-ax+1≤0成立即存在實數(shù)x>0使不等式ax≥x2+1成立.答案

(1)C

(2)B

(3){a|a≥1}

當堂檢測1.下列說法中正確的個數(shù)是(

)①a2+b2≥2ab成立的條件是a≥0,b≥0

②a2+b2≥2ab成立的條件是a,b∈R

③a+b≥2成立的條件是a>0,b>0

④a+b≥2成立的條件是ab>0A.1 B.2 C.3 D.0答案

B解析

根據(jù)不等式成立的條件可知只有②③正確,故選B.2.(2021安徽皖北縣中聯(lián)盟高一聯(lián)考)已知y=x+-1(x<0),則y有(