2021-2022學年湖南省長沙市楊梓中學高二數學文月考試卷含解析

2021-2022學年湖南省長沙市楊梓中學高二數學文月考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.如圖為一個幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為（

）A. B. C. D.參考答案：A【分析】由三視圖還原得四棱錐，結合四棱錐的結構特征直接求表面積即可.【詳解】如圖所示，此多面體是一個底面邊長為2的正方形且有一條長為2的側棱垂直于底面的四棱錐，2個側面是腰長為2的等腰直角三角形，另外2個側面是邊為，，直角三角形，所以表面積為.【點睛】三視圖問題是考查學生空間想象能力最常見題型，也是高考熱點.觀察三視圖并將其“翻譯”成直觀圖是解題的關鍵，不但要注意三視圖的三要素“高平齊，長對正，寬相等”，還要特別注意實線與虛線以及相同圖形的不同位置對幾何體直觀圖的影響，對簡單組合體三視圖問題，先看俯視圖確定底面的形狀，根據正視圖和側視圖，確定組合體的形狀.2.已知橢圓的右焦點為F．短軸的一個端點為M，直線交橢圓E于A，B兩點．若，點M到直線l的距離不小于，則橢圓E的離心率的取值范圍是（）A. B. C. D.參考答案：A試題分析：設是橢圓的左焦點，由于直線過原點，因此兩點關于原點對稱，從而是平行四邊形，所以，即，，設，則，所以，，即，又，所以，．故選A．考點：橢圓的幾何性質．【名師點睛】本題考查橢圓的離心率的范圍，因此要求得關系或范圍，解題的關鍵是利用對稱性得出就是，從而得，于是只有由點到直線的距離得出的范圍，就得出的取值范圍，從而得出結論．在涉及到橢圓上的點到焦點的距離時，需要聯想到橢圓的定義．3.等于（）A．1 B．e﹣1 C．e+1 D．e參考答案：D【考點】67：定積分．【分析】求出被積函數的原函數，將積分的上限代入減去將下限代入求出差．【解答】解：（ex+2x）dx=（ex+x2）|01=（e+1）﹣1=e故選D．【點評】本題考查利用微積分基本定理求定積分值．屬于基礎題．4.曲線y=在點（1，）處的切線與坐標軸圍成的三角形面積為（

）A.

B.

C.

D.

參考答案：C略5.若，則函數的值域是（

）A．

B．C．D．參考答案：B略6.如果橢圓上一點到此橢圓一個焦點的距離是2，點是的中點，是坐標原點，則線段的長度為（A）8

（B）4

（C）

（D）6參考答案：B7.設隨機變量的分布列為，則等于（

）A. B. C. D.參考答案：D【分析】根據所有隨機變量的概率之和為1，列出方程，求解出的值，要求解的值，即求解，根據概率的定義可得.【詳解】解：∵隨機變量的分布列為，，解得，.故選：D【點睛】本題考查了離散隨機變量的概率性質，解題的關鍵是熟記性質，熟練運用性質.8.過雙曲線的一個焦點作垂直于實軸的弦，是另一焦點，若∠，則雙曲線的離心率等于（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C

解析：Δ是等腰直角三角形，9.正方形的邊長為1,點在邊上,點在邊上,,動點從出發(fā)沿直線向運動,每當碰到正方形的邊時反彈,反彈時反射角等于入射角.當點第一次碰到時,與正方形的邊碰撞的次數為（）A．16

B．14

C．12

D．10參考答案：B10.已知，且，則xy的最小值為（A）100

（B）10

（C）1

（D）參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知不等式ax2+5x+b＜0的解集為{x|﹣3＜x＜2}，則不等式bx2+5x+a＞0的解集為

．參考答案：（﹣，）

【考點】一元二次不等式的解法．【分析】根據不等式ax2+5x+b＜0的解集為{x|﹣3＜x＜2}，求出a，b的值，從而解不等式bx2+5x+a＞0即可．【解答】解：因為ax2+5x+b＞0的解集為{x|﹣3＜x＜2}根據一元二次不等式求解集的方法可得ax2+5x+b=a（x+3）（x﹣2）且a＜0，解得a=5，b=﹣30．則不等式bx2+5x+a＞0變?yōu)椹?0x2+5x+5＞0，即6x2﹣x﹣1＜0，解得：﹣＜x＜，故答案為：（﹣，）．12.若點O在三角形ABC內,則有結論S·+S·

+S·=,把命題類比推廣到空間,若點O在四面體ABCD內,則有結論:

.參考答案：V·

+V+V·+V·=13.過點(1,0)作曲線y＝ex的切線，則切線方程為________．參考答案：e2x－y－e2＝0.14.若直線過圓的圓心,則的值為___________．參考答案：1略15.已知O為坐標原點，圓C的方程為，點A(2，0)，點B在圓C上運動，若動點D滿足，則點D的軌跡方程是▲

；的取值范圍是▲．參考答案：略16.過拋物線y2＝2px(p＞0)焦點F的直線與拋物線交于A、B兩點，M、N為準線l上兩點，AM⊥l，BN⊥l，M、N為垂足，C為線段AB中點，D為線段MN中點，CD交拋物線于點E，下列結論中正確的是

.（把你認為正確的序號都填上）①＋為定值②以AB為直徑的圓與l相切③以MN為直徑的圓與AB所在直線相切④以AF為直徑的圓與y軸相切⑤E為線段CD中點參考答案：①②③④⑤略17.甲、乙、丙、丁四人分別去買體育彩票各一張，恰有一人中獎．他們的對話如下，甲說：“我沒中獎”；乙說：“我也沒中獎，丙中獎了”；丙說：“我和丁都沒中獎”；丁說：“乙說的是事實”．已知四人中有兩人說的是真話，另外兩人說的是假話，由此可判斷中獎的是

．參考答案：乙三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知m∈R，命題p：對任意x∈，不等式2x﹣2≥m2﹣3m恒成立；命題q：存在x∈，使得m≤ax成立．（1）若p為真命題，求m的取值范圍；（2）當a=1時，若p且q為假，p或q為真，求m的取值范圍．參考答案：【考點】2E：復合命題的真假．【分析】（1）對任意x∈，不等式2x﹣2≥m2﹣3m恒成立，可得﹣2≥m2﹣3m，解得m范圍．（2）a=1時，存在x∈，使得m≤ax成立．可得m≤1．由p且q為假，p或q為真，可得p與q必然一真一假，即可得出．【解答】解：（1）對任意x∈，不等式2x﹣2≥m2﹣3m恒成立，∴﹣2≥m2﹣3m，解得1≤m≤2．（2）a=1時，存在x∈，使得m≤ax成立．∴m≤1．∵p且q為假，p或q為真，∴p與q必然一真一假，∴或，解得1＜m≤2或m＜1．∴m的取值范圍是（﹣∞，1）∪（1，2]．19.(10分)如圖，PA⊥矩形ABCD所在的平面，M、N分別是AB、PC的中點.

（1）求證：MN//平面PAD

（2）求證：MN⊥CD

（3）若∠PDA=45°，求證：MN⊥平面PCD.

參考答案：證明：（1）如圖，取PD的中點E，連結AE、EN則有EN//CD//AB//AM，且EN=CD=AB=MA.

∴四邊形AMNE是平行四邊形.∴MN//AE.∵AE平面PAD，MN平面PAD，∴MN//平面PAD.…………3分

（2）∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AB.又AD⊥AB，∴AB⊥平面PAD.∴AB⊥AE，即AB⊥MN.又CD//AB，∴MN⊥CD.…………6分

（3）∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AD.又∠PAD=45°，E是PD中點，∴AE⊥PD，即MN⊥PD.又MN⊥CD，∴MN⊥平面PCD.…………10分略20.（12分）某調查公司在某服務區(qū)調查七座以下小型汽車在某段高速公路的車速（km/t），辦法是按汽車進服務區(qū)的先后每間隔50輛抽取一輛的抽樣方法抽取40名駕駛員進行詢問，將調查結果按[60，65）[65，70）[70，75）[75，80），[80，85）[85，90）分成六段，并得到如圖所示的頻率分布直方圖．（1）試估計這40輛小型車輛車速的眾數和中位數．（2）若從車速在[60，70）的車輛中任抽取2輛，求抽出的2輛車中至少有一輛的車速在[65，70）的概率．參考答案：（Ⅰ）眾數的估計值為最高矩形的中點，∴眾數的估計值為：=77.5．設圖中虛所對應的車速為中位數的估計值x，則0.01×5+0.02×50.004×5+0.06×（x﹣75）=0.5，解得x=77.5，∴中位數的估計值為77.5．（Ⅱ）從頻率分布直方圖中知，車速在[60，65）的車輛數為0.01×5×40=2輛，車速在[65，70）的車輛數為0.02×5×40=4輛，∴從車速在[60，70）的車輛中任抽取2輛，抽出的2輛車中至少有一輛的車速在[65，70）的概率：p=1﹣=．21.已知橢圓：（）的焦距為，且過點（，），右焦點為．設，是上的兩個動點，線段的中點的橫坐標為，線段的中垂線交橢圓于，兩點．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）求的取值范圍．參考答案：解：（Ⅰ）因為焦距為，所以．因為橢圓過點（，），所以．故，所以橢圓的方程為（Ⅱ）由題意，當直線AB垂直于軸時，直線AB方程為，此時、，得．當直線不垂直于軸時，設直線的斜率為()，()，，由得，則，故．此時，直線斜率為，的直線方程為．即．聯立消去，整理得．設，所以，．于是．由于在