人教B版高中數(shù)學(xué)選擇性元線性回歸模型

4.3.1

一元線性回歸模型課標(biāo)闡釋思維脈絡(luò)1.能通過收集現(xiàn)實問題中兩個有關(guān)聯(lián)的變量的數(shù)據(jù)作出散點圖,并利用散點圖直觀認(rèn)識變量間的相關(guān)關(guān)系.2.能根據(jù)給出的線性回歸方程系數(shù)公式建立線性回歸方程.3.能通過相關(guān)性檢驗,了解回歸分析的基本思想與方法.4.了解非線性回歸問題,并能找出解決問題的一般思路.激趣誘思知識點撥“瑞雪兆豐年”是一句流傳比較廣的農(nóng)諺,它的意思是適時的冬雪預(yù)示著來年是豐收之年,是來年莊稼獲得豐收的預(yù)兆.由于冬季天氣冷,雪往往不易融化,蓋在土壤上的雪是比較松軟的,里面藏了許多不流動的空氣,空氣是不傳熱的,這樣就像給莊稼蓋了一條棉被,外面天氣再冷,下面的溫度也不會降得很低.等到寒潮過去以后,天氣漸漸回暖,雪慢慢融化,這樣,不但讓莊稼不受凍害,而且雪融化成的水留在土壤里,給莊稼積蓄了很多水,對春耕播種以及莊稼的生長都很有利.但是冬天下幾場大雪,來年一定會獲得豐收嗎?激趣誘思知識點撥一、相關(guān)關(guān)系1.變量之間的常見關(guān)系分類概念函數(shù)關(guān)系兩個變量之間的關(guān)系可以用函數(shù)表示.如圓的面積與半徑之間的關(guān)系,就可以用函數(shù)S=πr2表示相關(guān)關(guān)系如果兩個變量中一個變量的取值一定時,另一個變量的取值帶有一定的隨機(jī)性,那么這兩個變量之間的關(guān)系,叫做相關(guān)關(guān)系不相關(guān)兩個變量間沒有任何關(guān)系激趣誘思知識點撥2.散點圖(1)在討論兩個變量x和y之間的關(guān)系時,常把它們寫成點(x,y)的形式,以便利用平面直角坐標(biāo)系來考慮它們之間的關(guān)系,此時x和y可以看成是描述同一個體的兩個不同的特征量.(2)將各數(shù)據(jù)在平面直角坐標(biāo)系中的對應(yīng)點畫出來,得到表示兩個變量的一組數(shù)據(jù)的圖形,這樣的圖形叫散點圖.激趣誘思知識點撥3.線性相關(guān)關(guān)系(1)線性相關(guān):如果由變量的成對數(shù)據(jù)、散點圖或直觀經(jīng)驗可知,變量x與變量y之間的關(guān)系可以近似地用一次函數(shù)來刻畫,則稱x與y線性相關(guān).(2)正相關(guān):在線性相關(guān)中,如果一個變量增大,另一個變量大體上也增大,則稱這兩個變量正相關(guān).(3)負(fù)相關(guān):在線性相關(guān)中,如果一個變量增大,另一個變量大體上減少,則稱這兩個變量負(fù)相關(guān).名師點析

兩個隨機(jī)變量x和y相關(guān)關(guān)系的判定方法(1)散點圖法:通過散點圖,觀察它們的分布是否存在一定規(guī)律,直觀地判斷.(2)表格、關(guān)系式法:結(jié)合表格或關(guān)系式進(jìn)行判斷.(3)經(jīng)驗法:借助積累的經(jīng)驗進(jìn)行分析判斷.激趣誘思知識點撥微拓展(1)散點圖具有直觀、簡潔的特點,它形象地體現(xiàn)了各對數(shù)據(jù)的密切程度,我們可以根據(jù)散點圖判斷兩個變量有沒有相關(guān)關(guān)系.(2)通過散點圖不但可以從點的位置判斷測量值的大小、高低、變動范圍與趨勢,還可以通過觀察剔除異常數(shù)值,提高估計相關(guān)程度的準(zhǔn)確性.(3)當(dāng)所畫的散點圖的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)所對應(yīng)的數(shù)據(jù)差距很大時,可在實際作圖時,將橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)取不同的單位長度,使畫出的圖像更形象、美觀.激趣誘思知識點撥微練習(xí)5個學(xué)生的數(shù)學(xué)成績和物理成績?nèi)缦卤?則數(shù)學(xué)成績與物理成績之間(

)A.是函數(shù)關(guān)系B.是相關(guān)關(guān)系,但相關(guān)性很弱C.具有較好的相關(guān)關(guān)系,且是正相關(guān)D.具有較好的相關(guān)關(guān)系,且是負(fù)相關(guān)解析:作出散點圖(圖略),從圖上可以看出數(shù)學(xué)成績和物理成績具有較好的相關(guān)關(guān)系,且是正相關(guān).答案:C

ABCDE數(shù)學(xué)8075706560物理7066686462激趣誘思知識點撥二、回歸直線方程

激趣誘思知識點撥激趣誘思知識點撥名師點析

求回歸直線方程的步驟第一步:列表;第四步:寫出回歸直線方程.激趣誘思知識點撥微練習(xí)1已知x,y的取值如下表所示:x234y645答案:A激趣誘思知識點撥微練習(xí)2設(shè)有一個線性回歸方程為y=2-1.5x,則變量x每增加一個單位時(

)A.y平均增加1.5個單位B.y平均增加2個單位C.y平均減少1.5個單位D.y平均減少2個單位解析:由線性回歸方程知,x每增加1個單位,y平均減少1.5個單位.答案:C激趣誘思知識點撥三、相關(guān)系數(shù)1.相關(guān)系數(shù)r的計算公式假設(shè)兩個隨機(jī)變量的數(shù)據(jù)分別為(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),則變量間相關(guān)系數(shù)r的計算公式如下:激趣誘思知識點撥2.相關(guān)系數(shù)r的性質(zhì)(1)|r|≤1,且y與x正相關(guān)的充要條件是r>0,y與x負(fù)相關(guān)的充要條件是r<0.(2)|r|越小,說明兩個變量之間的線性相關(guān)性越弱,也就是得出的回歸直線方程越?jīng)]有價值,即方程越不能反映真實的情況;|r|越大,說明兩個變量之間的線性相關(guān)性越強(qiáng),也就是得出的回歸直線方程越有價值.(3)|r|=1的充要條件是成對數(shù)據(jù)構(gòu)成的點都在回歸直線上.激趣誘思知識點撥名師點析

(1)相關(guān)系數(shù)r只能描述兩個變量之間的變化方向的密切程度,不能揭示二者之間的本質(zhì)聯(lián)系.(2)判斷變量之間的線性相關(guān)關(guān)系,一般用散點圖,但在作圖時,由于存在誤差,有時很難判斷這些點是否分布在一條直線的附近,從而很難判斷兩個變量之間是否具有線性相關(guān)關(guān)系,此時一般利用線性相關(guān)系數(shù)來判斷.(3)相關(guān)系數(shù)r可以定量地反映出變量間的相關(guān)程度,明確有無必要建立兩變量間的線性回歸方程.激趣誘思知識點撥微練習(xí)對于線性相關(guān)系數(shù)r,下面敘述正確的是(

)A.|r|∈(0,+∞),|r|越大,相關(guān)程度越高,反之,相關(guān)程度越低B.r∈(-∞,+∞),r越大,相關(guān)程度越高,反之,相關(guān)程度越低C.|r|≤1,|r|越接近于1,相關(guān)程度越高;|r|越接近于0,相關(guān)程度越低D.以上說法都不對解析:由相關(guān)系數(shù)性質(zhì)知,r∈[-1,1],排除A,B;又|r|越接近于1,相關(guān)程度越高,|r|越接近于0,相關(guān)程度越低,故選C.答案:C激趣誘思知識點撥四、非線性回歸常見的非線性回歸模型轉(zhuǎn)化為線性回歸模型激趣誘思知識點撥激趣誘思知識點撥微拓展解決非線性回歸問題的方法及步驟(1)確定變量:確定變量x,變量y.(2)畫散點圖:通過觀察散點圖并與學(xué)過的函數(shù)(冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、二次函數(shù))作比較,選取擬合效果好的函數(shù)模型.(3)變量置換:通過變量置換把非線性問題轉(zhuǎn)化為線性回歸問題.(4)分析擬合效果:通過計算相關(guān)系數(shù)等來判斷擬合效果.(5)寫出非線性回歸方程.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測相關(guān)關(guān)系的判斷例1(1)下列兩個變量之間的關(guān)系,哪個不是函數(shù)關(guān)系(

)A.正方體的棱長和體積B.圓半徑和圓的面積C.正n邊形的邊數(shù)和內(nèi)角度數(shù)之和D.人的年齡和身高探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(2)對變量x,y有觀測數(shù)據(jù)(xi,yi)(i=1,2,…,10),得散點圖①;對變量u,v有觀測數(shù)據(jù)(ui,vi)(i=1,2,…,10),得散點圖②.由這兩個散點圖可以判斷(

)A.變量x與y正相關(guān),u與v正相關(guān)B.變量x與y正相關(guān),u與v負(fù)相關(guān)C.變量x與y負(fù)相關(guān),u與v正相關(guān)D.變量x與y負(fù)相關(guān),u與v負(fù)相關(guān)探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測解析:(1)A,B,C都是函數(shù)關(guān)系,對于A,V=a3;對于B,S=πr2;對于C,g(n)=(n-2)π.而對于年齡確定的不同的人可以有不同的身高,故選D.(2)由圖像知,變量x與y呈負(fù)相關(guān)關(guān)系;u與v呈正相關(guān)關(guān)系.答案:(1)D

(2)C反思感悟

相關(guān)關(guān)系的判斷方法判斷兩個變量x和y間是否具有線性相關(guān)關(guān)系,常用的簡便方法就是繪制散點圖,如果發(fā)現(xiàn)點的分布從整體上看大致在一條直線附近,那么這兩個變量就是線性相關(guān)的,注意不要受個別點的位置的影響.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測變式訓(xùn)練1某公司2014—2019年的年利潤x(單位:百萬元)與年廣告支出y(單位:百萬元)的統(tǒng)計資料如下表所示:根據(jù)統(tǒng)計資料,則(

)A.利潤中位數(shù)是16,x與y有正線性相關(guān)關(guān)系B.利潤中位數(shù)是18,x與y有負(fù)線性相關(guān)關(guān)系C.利潤中位數(shù)是17,x與y有正線性相關(guān)關(guān)系D.利潤中位數(shù)是17,x與y有負(fù)線性相關(guān)關(guān)系解析:由表知,利潤中位數(shù)是

×(16+18)=17,且y隨x的增大而增大,故選C.答案:C年份201420152016201720182019利潤x12.214.6161820.422.3支出y0.620.740.810.8911.11探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測求回歸直線方程例2一個車間為了規(guī)定工時定額,需要確定加工零件所花費的時間,為此進(jìn)行了10次試驗,收集數(shù)據(jù)如下:(1)y與x是否具有線性相關(guān)關(guān)系?(2)如果y與x具有線性相關(guān)關(guān)系,求y關(guān)于x的回歸直線方程.分析畫散點圖→確定相關(guān)關(guān)系→求回歸直線系數(shù)→寫回歸直線方程零件數(shù)x/個102030405060708090100加工時間y/分626875818995102108115122探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測解:(1)畫散點圖如下:由上圖可知y與x具有線性相關(guān)關(guān)系.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(2)列表、計算

探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測反思感悟

1.求回歸直線方程的一般步驟(1)收集樣本數(shù)據(jù),設(shè)為(xi,yi)(i=1,2,…,n)(數(shù)據(jù)一般由題目給出).(2)作出散點圖,確定x,y具有線性相關(guān)關(guān)系.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測利用回歸方程對總體進(jìn)行估計例3下表提供了某廠節(jié)能降耗技術(shù)改進(jìn)后生產(chǎn)甲產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量x(單位:噸)與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗y(單位:噸標(biāo)準(zhǔn)煤)的幾組對照數(shù)據(jù):(1)請畫出上表數(shù)據(jù)的散點圖;(2)請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù),用最小二乘法求出回歸直線方程(3)已知該廠技改前100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗為90噸標(biāo)準(zhǔn)煤,試根據(jù)(2)求出的線性回歸方程,預(yù)測生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技改前降低多少噸標(biāo)準(zhǔn)煤?x3456y2.5344.5探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測反思感悟

回歸分析的三個步驟(1)判斷兩個變量是否線性相關(guān):可以利用經(jīng)驗,也可以畫散點圖;(2)求線性回歸直線方程,注意運算的正確性;(3)根據(jù)回歸直線進(jìn)行預(yù)測估計:估計值不是實際值,兩者會有一定的誤差.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測變式訓(xùn)練2某種產(chǎn)品的廣告費支出y(單位:百萬元)與銷售額x(單位:百萬元)之間的關(guān)系如下表所示.(1)假定y與x之間存在線性相關(guān)關(guān)系,求其回歸直線方程;(2)若廣告費支出不少于60百萬元,則實際銷售額應(yīng)不少于多少?(結(jié)果用整數(shù)作答)x8121416y58911探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測非線性回歸分析例4下表為收集到的一組數(shù)據(jù):(1)作出x與y的散點圖,并猜測x與y之間的關(guān)系;(2)求y關(guān)于x的回歸方程;(3)利用所得模型,預(yù)測x=40時y的值.分析畫出散點圖→確定是否線性相關(guān)→確定函數(shù)模型→轉(zhuǎn)化為線性模型→求回歸方程→進(jìn)行擬合→進(jìn)行預(yù)測x21232527293235y711212466115325探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測

探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(2)對兩邊取對數(shù)把指數(shù)關(guān)系變?yōu)榫€性關(guān)系,令z=ln

y,則變換后的樣本點應(yīng)分布在直線z=bx+a(a=ln

c1,b=c2)的周圍,這樣就可以利用線性回歸模型來建立y與x之間的非線性回歸方程了,數(shù)據(jù)可以轉(zhuǎn)化為:x21232527293235z1.9462.3983.0453.1784.1904.7455.784探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測反思感悟

非線性回歸問題的處理方法1.指數(shù)函數(shù)型y=ebx+a(1)函數(shù)y=ebx+a的圖像:(2)處理方法:兩邊取對數(shù)得ln

y=ln

ebx+a,即ln

y=bx+a.令z=ln

y,把原始數(shù)據(jù)(x,y)轉(zhuǎn)化為(x,z),再根據(jù)線性回歸模型的方法求出a,b.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測2.對數(shù)函數(shù)型y=bln

x+a(1)函數(shù)y=bln

x+a的圖像:(2)處理方法:設(shè)x'=ln

x,原方程可化為y=bx'+a,再根據(jù)線性回歸模型的方法求出a,b.3.y=bx2+a型處理方法:設(shè)x'=x2,原方程可化為y=bx'+a,再根據(jù)線性回歸模型的方法求出a,b.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測變式訓(xùn)練3某地區(qū)六年來輕工業(yè)產(chǎn)品利潤總額y與年次x的試驗數(shù)據(jù)如下表所示:由經(jīng)驗知,年次x與利潤總額y(單位:億元)近似有如下關(guān)系:y=abxe0.其中a,b均為正數(shù),求y關(guān)于x的回歸方程.x123456y11.3511.8512.4413.0713.5914.41探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測解:對y=abxe0兩邊取自然對數(shù),得ln

y=ln

ae0+xln

b,令z=ln

y,則z與x的數(shù)據(jù)如下表:由z=ln

ae0+xln

b及最小二乘法公式,得ln

b≈0.047

7,ln

ae0=2.378,x123456z2.432.472.522.572.612.67探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測規(guī)范答題典例

已知某地平均每單位面積菜地年使用氮肥量x(單位:kg)與平均每單位面積蔬菜年產(chǎn)量y(單位:t)之間的關(guān)系如下表:(1)求y與x之間的相關(guān)系數(shù),并判斷它們是否線性相關(guān);(2)若線性相關(guān),求平均每單位面積蔬菜年產(chǎn)量y(t)與平均每單位面積菜地年使用氮肥量x(kg)之間的線性回歸方程,并估計平均每單位面積菜地年施氮肥150kg時,平均每單位面積蔬菜的年產(chǎn)量.年份20022003200420052006200720082009x/kg7074807885929095y/t5.16.06.87.89.010.210.012.0年份2010201120122013201420152016

x/kg92108115123130138145

y/t11.511.011.812.212.512.813.0

探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測解:(1)根據(jù)題中數(shù)據(jù),并用科學(xué)計算器進(jìn)行有關(guān)計算,列表如下:探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測方法點睛

回歸分析問題的答題模板第一步