線性代數(shù)與空間解析幾何課件

《線性代數(shù)與空間解析幾何》第二十講哈工大數(shù)學(xué)系代數(shù)與幾何教研室王寶玲5.1

齊次線性方程組第五章線性方程組1齊次方程組非齊次方程組線性方程組在幾何中的應(yīng)用本章主要內(nèi)容2陣5.1.1齊次線性方程組的表示形式3即4只有零解的充要條件；無窮多解的充要條件；

解的性質(zhì)及解集合的結(jié)構(gòu)；求解方法.齊次方程組的內(nèi)容5證

AX=0

有非零解x11+x22+…+xnn=0有非零解

A的列向量組1,2,…,n線性相關(guān)r(A)=r(1,2,…,n)<n.設(shè)階矩陣,則齊次性方程組

AX=0

有非零解r(A)<n;

AX=0

只有零解

r(A)=n.定理5.15.1.2齊次線性方程組有解的條件AX=0只有零解x11+x22+…+xnn=0只有零解

A的列向量組1,2,…,n線性無關(guān)r(A)=r(1,2,…,n)=n.6若有非零解,這些解具有哪些性質(zhì)?解集合的整體結(jié)構(gòu)如何?問題也是AX=0

的解.由是AX=0的解,即性質(zhì)1也是AX=0

的解.性質(zhì)2由是AX=0的解,即k,5.1.3

齊次方程組解的性質(zhì)及結(jié)構(gòu)7AX=0

的解集合構(gòu)成向量空間,記為N(A),

稱其為AX=0的解空間.定理5.2若AX=0

有非零解,

則這些解的任意線性組合仍是解,所以必有無窮多個解.由性質(zhì)1,2可知解集合對線性運(yùn)算是封閉的.所以得到如下結(jié)果:只要找到N(A)的一個基(基礎(chǔ)解系),就能表示所有解.其中P為可逆矩陣.注AX=

0與

PAX=

0

是同解方程組.8則稱為AX=0的基礎(chǔ)解系.定義r(A)=r<n,若AX=0的一組解為

(1)

線性無關(guān);(2)AX=0

的任一解都可由這組解線性表示.稱的通解為AX=0（其中k1,k2,…,kn-r為任意常數(shù)).齊次線性方程組的關(guān)鍵問題就是求通解而求通解的關(guān)鍵問題是求基礎(chǔ)解系.,且滿足：9定理5.3設(shè)

任一基礎(chǔ)解系中均含有n–r解向量,為N(A)的一個基,即(1)若則AX=0沒有基礎(chǔ)解系;(2)若則AX=0有基礎(chǔ)解系,且dim(N(A))=證N(A)={0}(2)(1)則AX=0沒有基礎(chǔ)解系.(求基礎(chǔ)解系的方法)101.不妨設(shè)

A

的前r

個列向量線性無關(guān)C為行階梯形矩陣(行最簡).

11得同解方程組CX=0,即2.

前r個變量為基本未知量,其余的n-r個

變量為自由未知量.(為個)令123.代入同解的方程組CX=0中得從而得到AX=0的n-r個解為13且線性無關(guān).設(shè)是AX=0的任一解,14下證線性相關(guān).令,則所以線性相關(guān),于是可由線性表示.所以是N(A)的一個基,dim(N(A))=即15為方程組AX=0的基礎(chǔ)解系.這樣求出的其中為任意常數(shù).AX=0的通解為故16(1)是解;(2)線性無關(guān);(3)n-r(A)

個.2.求通解的三步:（行階梯形或行最簡形）;

寫出同解方程組CX=0.(3)寫出通解(2)求出CX=0的基礎(chǔ)解系;(1)1.基礎(chǔ)解系的三要素:總結(jié)其中為任意常數(shù).17求下列方程組的基礎(chǔ)解系及通解:解

例118得同解方程組令得基礎(chǔ)解系19方程組的通解是:其中k1,k2是任意常數(shù).20求下列方程組的基礎(chǔ)解系:解用初等行變換化系數(shù)矩陣為階梯形:例221得同解方程組為:22令代入上述方程組解得基礎(chǔ)解系為:23

設(shè)A,B

都是n

階矩陣B0且B

的每一列都是方程組

AX=0的解，則A=

.0例324例4已知是的基礎(chǔ)解系,若,討論t滿足什么條件時,也是的基礎(chǔ)解系.解是的解,且也是4個.只須證線性無關(guān).25線性無關(guān)即所以當(dāng)t1時,也是的基礎(chǔ)解系.26例5已知n階矩陣A的各行元素之和均為零,且r(A)=n-1,求線性方程組AX=0的通解.解由r(A)=n-1知AX=0的基礎(chǔ)解系有一個非零解向量.又即為所求通解.k為任意常數(shù)275.2

非齊次線性方程組285.2.1非齊次線性方程組的表示形式稱為的導(dǎo)出組(2)陣增廣矩陣：(A

b)2930

何時方程組有解?

有唯一解、無窮多解.解的性質(zhì)及解集合的結(jié)構(gòu)；求解方法.非齊次線性方程組的內(nèi)容31AX=b

有解

x11+x22+…+xnn=b

有解

b可由A的列向量1,2,…,n線性表示

1,2,…,n與1,2,…,n,b等價r(1,2,…,n)=r(1,2,…,n,b)

定理5.45.2.2非齊次線性方程組有解的條件方程組AX=b有解r(A)=r(A

b)注當(dāng)r(A)<r(A

b)方程組AX=b無解.r(A)=r(A

b)得出定理32若解不唯一,這些解具有哪些性質(zhì)?

解集合的整體結(jié)構(gòu)如何?問題性質(zhì)1

若1,2是AX=b的解,A1=b,A2=bA(1-2)=A1-A2=b-b=0

1-2是AX=0的解.性質(zhì)2若是AX=0的解,是AX=b的解

A(+)=A

+A=0+b=b

+

是AX=b的解.5.2.3非齊次方程組解的性質(zhì)及結(jié)構(gòu)注

非齊次方程組有解的條件下,有兩種情況33(2)

AX=b

有無窮多解r(A)=r(A

b)<n,證

(1)AX=b有解,所以r(A)=r(A

b)(1)

AX=b有唯一解r(A)=r(A

b)=n.又因為(1)的解唯一,由性質(zhì)2知(2)有唯一零解,所以r(A)=n,即r(A)=r(A

b)=n.定理5.5兩個以上不同的解,則由性質(zhì)1知(2)有非零因為

r(A)=r(A

b)

所以(1)有解,若有解,這與r(A)=n矛盾.故(1)只有唯一解.34(2)AX=b有解,所以r(A)=r(A

b)又因為(1)有無窮多解,由性質(zhì)2知(2)有非零解,所以r(A)<n,即r(A)=r(A

b)<

n.因為r(A)=r(A

b)所以(1)有解,又因為r(A)<n,所以(2)有無窮多解,由性質(zhì)2知(1)有無窮多解.

注當(dāng)A為方陣時AX=b有唯一解351.

AX=b與

PAX=Pb

是同解方程組.其