數(shù)理方程第四章-格林函數(shù)法-課件

第四章

拉普拉斯方程的格林函數(shù)法2020/12/171ppt課件4.1拉普拉斯方程邊值問題的提法2020/12/172ppt課件精品資料你怎么稱呼老師？如果老師最后沒有總結(jié)一節(jié)課的重點的難點，你是否會認(rèn)為老師的教學(xué)方法需要改進(jìn)？你所經(jīng)歷的課堂，是講座式還是討論式？教師的教鞭“不怕太陽曬，也不怕那風(fēng)雨狂，只怕先生罵我笨，沒有學(xué)問無顏見爹娘……”“太陽當(dāng)空照，花兒對我笑，小鳥說早早早……”4.1拉普拉斯方程邊值問題的提法設(shè)滿足拉普拉斯方程描述穩(wěn)恒狀態(tài)下的物理過程。通常表示成不存在初始條件.拉普拉斯方程的解稱為調(diào)和函數(shù)2020/12/175ppt課件1）第一邊值問題狄利克雷(Direchlet)問題邊界條件:2)第二邊值問題紐曼(Neumann)問題4.1拉普拉斯方程邊值問題的提法2020/12/176ppt課件4.2格林公式2020/12/177ppt課件4.2格林公式高斯公式：設(shè)是以光滑曲面為邊界的有界區(qū)域，，，在閉域上連續(xù),在內(nèi)有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則其中為的外法向量。高斯公式可簡記為2020/12/178ppt課件設(shè)滿足令則將代入高斯公式，等式右端4.2格林公式2020/12/179ppt課件4.2格林公式所以

第一格林公式交換的位置,有兩式相減,得

第二格林公式2020/12/1710ppt課件1)牛曼內(nèi)問題有解的必要條件設(shè)u是在以為邊界的區(qū)域內(nèi)的調(diào)和函數(shù),在上有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則在第二格林公式中取u為上述調(diào)和函數(shù),,則有.所以牛曼內(nèi)問題()有解的必要條件為函數(shù)f

滿足事實上,這也是牛曼內(nèi)問題有解的充分條件.4.2格林公式2020/12/1711ppt課件設(shè)是拉普拉斯方程定解問題的兩個解，則它們的差必是原問題滿足零邊界條件的解.對于狄利克雷問題，v滿足對于牛曼問題,v滿足2)拉普拉斯方程解的唯一性問題4.2格林公式2020/12/1712ppt課件在第一格林公式中取,由v是調(diào)和函數(shù)，可得在兩種邊界條件下，都有所以故在內(nèi)必有,即可得，其中C為常數(shù).4.2格林公式2020/12/1713ppt課件對于狄利克雷問題,由于,故從而.結(jié)論狄利克雷問題在內(nèi)的解是唯一確定的,牛曼問題的解在相差一個常數(shù)下也是唯一確定的.4.2格林公式2020/12/1714ppt課件3)調(diào)和函數(shù)的積分表達(dá)式所謂調(diào)和函數(shù)的積分表達(dá)式,是指用調(diào)和函數(shù)及其在區(qū)域邊界上的法向?qū)?shù)沿的積分來表達(dá)調(diào)和函數(shù)在內(nèi)任一點的值.4.2格林公式2020/12/1715ppt課件設(shè)是內(nèi)一固定點,下面求調(diào)和函數(shù)在這一點的值.為此構(gòu)造一個輔助函數(shù)可以證明函數(shù)除點外處處滿足拉普拉斯方程,它稱為三維拉普拉斯方程的基本解.4.2格林公式2020/12/1716ppt課件為了利用格林公式，我們在內(nèi)挖去的球形鄰域,是其球面.在區(qū)域內(nèi)及其邊界上，是任意可導(dǎo)的。在第二格林公式中,取u為調(diào)和函數(shù),假定它在上有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),而取,在區(qū)域上應(yīng)用公式得4.2格林公式2020/12/1717ppt課件在球面上

因此同理可得因此4.2格林公式2020/12/1718ppt課件令,則于是4.2格林公式2020/12/1719ppt課件設(shè)函數(shù)在某區(qū)域內(nèi)是調(diào)和函數(shù),是內(nèi)任一點,表示以為中心,為半徑且完全落在內(nèi)的球面,則有4.2格林公式4)平均值公式2020/12/1720ppt課件4.3格林函數(shù)2020/12/1721ppt課件4.3格林函數(shù)能不能直接提供狄利克雷問題和牛曼問題的解？調(diào)和函數(shù)的積分表達(dá)式為得到狄利克雷問題的解,必須消去,這需要引入格林函數(shù)的概念.2020/12/1722ppt課件設(shè)為內(nèi)的調(diào)和函數(shù)并且在上有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，利用第二格林公式可得與相加得4.3格林函數(shù)2020/12/1723ppt課件如果能找到調(diào)和函數(shù)v,使得,那么上式意味著令則拉普拉斯方程的格林函數(shù)4.3格林函數(shù)2020/12/1724ppt課件如果能找到格林函數(shù)中的v并且它在上有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則狄利克雷問題的解如果存在,必可以表示為類似的，泊松問題的解可以表示為4.3格林函數(shù)2020/12/1725ppt課件說明格林函數(shù)僅依賴于選取的區(qū)域,而與原定解問題中的非齊次項、邊界條件無關(guān).如果求得某個區(qū)域的格林函數(shù),就可以解決該區(qū)域的一切狄利克雷問題.求解狄利克雷問題意義何在？4.3格林函數(shù)2020/12/1726ppt課件要想確定格林函數(shù),需要找一個調(diào)和函數(shù)v,它滿足:.對于一般的區(qū)域,確定v并不容易,但對于一些特殊的區(qū)域,如半空間，球域等,格林函數(shù)可以通過初等方法得到.我們通常使用“電象法”求解。4.3格林函數(shù)2020/12/1727ppt課件注：拉普拉斯方程的基本解稱為拉普拉斯方程的基本解，其中r表示空間中兩點之間的距離。三維基本解的物理意義：在處放置一單位正電荷，則它在自由空間產(chǎn)生的靜電場的電位是4.3格林函數(shù)2020/12/1728ppt課件Green函數(shù)的物理意義將上的感應(yīng)電荷用一個等價的點電荷代替，使得這個“虛”的電荷和真實的點電荷一起，在內(nèi)給出和原來的問題同樣的解在接地的閉曲面中放上點電荷之后，在面內(nèi)側(cè)必然出現(xiàn)感應(yīng)電荷,內(nèi)任意一點的電位，就是點電荷的電位和感應(yīng)電荷的電位v的疊加，Green函數(shù)=

內(nèi)的電位.4.3格林函數(shù)2020/12/1729ppt課件4.4兩種特殊區(qū)域的格林函數(shù)

及狄氏問題的解2020/12/1730ppt課件所謂電象法，就是在放置的單位正電荷，在區(qū)域外找出關(guān)于邊界的象點，然后在象點放置適當(dāng)電量的負(fù)電荷，由它產(chǎn)生的負(fù)電位與處的單位正電荷所產(chǎn)生的正電位在曲面上互相抵消。而和處的點電荷在內(nèi)的電位就是所要求的格林函數(shù)。4.4兩種特殊區(qū)域的格林函數(shù)及狄氏問題的解2020/12/1731ppt課件故和處的電荷在內(nèi)的電位就是所要求的格林函數(shù)。

在區(qū)域內(nèi)點放置的單位正電荷；在區(qū)域外找出關(guān)于邊界的某種對稱點；在點放置適當(dāng)電量的負(fù)電荷，使得它產(chǎn)生的負(fù)電位與處正電荷產(chǎn)生的電位在上互相抵消。處電荷所形成的電場在的電位處電荷所形成的電場在的電位4.4兩種特殊區(qū)域的格林函數(shù)及狄氏問題的解2020/12/1732ppt課件?點的位置點放置的負(fù)電荷的電量在區(qū)域內(nèi)點放置的單位正電荷在區(qū)域外找出關(guān)于邊界的某種對稱點在點放置適當(dāng)單位的負(fù)電荷，使得它產(chǎn)生的負(fù)電位與處正電荷產(chǎn)生的電位在上互相抵消。關(guān)于邊界的某種對稱點4.4兩種特殊區(qū)域的格林函數(shù)及狄氏問題的解2020/12/1733ppt課件1)半空間的格林函數(shù)求解拉普拉斯方程在半空間內(nèi)的狄利克雷問題，就是求函數(shù)u(x,y,z)，它滿足4.4兩種特殊區(qū)域的格林函數(shù)及狄氏問題的解2020/12/1734ppt課件在點放置單位負(fù)電荷。.PM1xzyo.M0(x0,y0,z0）M.為解上述方程，首先找格林函數(shù)在點()放置單位正電荷，

問題：1.等效點電荷的位置

2.等效點電荷的電量要求：它與處的正電荷產(chǎn)生的電位在平面z=0上抵消電位：4.4兩種特殊區(qū)域的格林函數(shù)及狄氏問題的解2020/12/1735ppt課件在點放置單位負(fù)電荷。.M0(x0,y0,z0）.P.M1xzyoM.電位：由于在上半空間內(nèi)為調(diào)和函數(shù)，在閉域上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，得上半空間上的格林函數(shù)：4.4兩種特殊區(qū)域的格林函數(shù)及狄氏問題的解2020/12/1736ppt課件由于在上半空間內(nèi)為調(diào)和函數(shù)，在閉域上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，得上半空間上的格林函數(shù)：狄利克雷問題的解:4.4兩種特殊區(qū)域的格林函數(shù)及狄氏問題的解2020/12/1737ppt課件4.4兩種特殊區(qū)域的格林函數(shù)及狄氏問題的解2020/12/1738ppt課件4.4兩種特殊區(qū)域的格林函數(shù)及狄氏問題的解2020/12/1739ppt課件將上式代入到即得到原問題的解:思考:半空間x>0的格林函數(shù)及狄利克雷問題的解.4.4兩種特殊區(qū)域的格林函數(shù)及狄氏問題的解2020/12/1740ppt課件2)球域的格林函數(shù)設(shè)有一個球心在原點,半徑為R的球面G,在球內(nèi)任取一點M0，連接OM0并延長至點M1，使得OM0·OM1=R2,點M1稱為M0關(guān)于球面的反演點。4.4兩種特殊區(qū)域的格林函數(shù)及狄氏問題的解2020/12/1741ppt課件在點放置單位正電荷，在點放置q單位負(fù)電荷，使這兩個電荷產(chǎn)生的電位在球面上互相抵消P

o

R1.等效點電荷的位置

2.等效點電荷的電量確定球域的格林函數(shù)：的反演點4.4兩種特殊區(qū)域的格林函數(shù)及狄氏問題的解2020/12/1742ppt課件故q必須不依賴于P的選取且滿足：

由

∽，得即只要在點放置個單位負(fù)電荷,它形成電場的電位P

o

R4.4