第十二章動(dòng)能定理例題課件

11動(dòng)力學(xué)[例12]

均質(zhì)細(xì)長(zhǎng)桿AB，質(zhì)量為m，長(zhǎng)為2l。其B端用繩子吊起，使桿與水平面成，其A端放在光滑水平面上。現(xiàn)將繩子剪斷。求：剪斷瞬時(shí)水平面對(duì)桿的約束反力。解：1、取桿為研究對(duì)象，2受力分析如圖示。3、根據(jù)平面運(yùn)動(dòng)微分方程：剪斷后桿在水平方向不受力，且開(kāi)始靜止，質(zhì)心的x坐標(biāo)守恒。建直角坐標(biāo)系Oxy如圖。(1)(2)(3)xyO22動(dòng)力學(xué)解得：xyO3、由運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系：切斷瞬時(shí)：代入：(2)(3)3動(dòng)力學(xué)法2、用平面運(yùn)動(dòng)加速度分析求與的關(guān)系：切斷繩子的瞬時(shí)：向y軸投影：xyO以C為基點(diǎn)分析A點(diǎn)：44動(dòng)力學(xué)動(dòng)量矩定理小結(jié)一．基本概念1．動(dòng)量矩：物體某瞬時(shí)機(jī)械運(yùn)動(dòng)強(qiáng)弱的一種度量。2．質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩：3．質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩：（1）．平動(dòng)剛體（2）．定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的動(dòng)量矩4．剛體動(dòng)量矩計(jì)算（3）．平面運(yùn)動(dòng)剛體55二．質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理及守恒

1．質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理2．質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩守恒若，則常矢量。若，則常量。動(dòng)力學(xué)4．轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：物體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)慣性的度量。對(duì)于均勻直桿，細(xì)圓環(huán)，薄圓盤(pán)（圓柱）對(duì)過(guò)質(zhì)心垂直于質(zhì)量對(duì)稱(chēng)平面的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量要熟記。66三．質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩定理及守恒動(dòng)力學(xué)2．質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩守恒四．質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩定理當(dāng)時(shí)，常矢量。當(dāng)時(shí)，常量。1．質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩定理77五．剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程和剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程2．剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程動(dòng)力學(xué)或或1．剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程88六．動(dòng)量矩定理的應(yīng)用應(yīng)用動(dòng)量矩定理，一般可以處理下列一些問(wèn)題：（對(duì)單軸傳動(dòng)系統(tǒng)尤為方便）動(dòng)力學(xué)1．已知質(zhì)點(diǎn)系的轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)，求系統(tǒng)所受的外力或外力矩。2．已知質(zhì)點(diǎn)系所受的外力矩是常力矩或時(shí)間的函數(shù)，求剛體的角加速度或角速度的改變。3．已知質(zhì)點(diǎn)所受到的外力主矩或外力矩在某軸上的投影代數(shù)和等于零，應(yīng)用動(dòng)量矩守恒定理求角速度或角位移。99動(dòng)力學(xué)第十一章結(jié)束10第十二章動(dòng)能定理11解：[例12-1]已知：求：重力和彈性力的功之總和12[例12-2].圖示橢圓規(guī)尺AB的質(zhì)量為2m1,曲柄OC的質(zhì)量為m1,而滑塊A和B的質(zhì)量均為m2.已知OC=AC=CB=l,曲柄和尺的質(zhì)心分別在其中點(diǎn)上,曲柄繞O軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為常量.求圖示瞬時(shí)系統(tǒng)的動(dòng)能.OBCAt13解:系統(tǒng)由四個(gè)物體組成.橢圓規(guī)尺AB作平面運(yùn)動(dòng).瞬心為I.OBCAtIIC=OC=lvCvAvBT=TOC+TAB+TA+TB14動(dòng)力學(xué)[例3]提升機(jī)構(gòu)，設(shè)啟動(dòng)時(shí)電動(dòng)機(jī)的轉(zhuǎn)矩M視為常量，大齒輪及卷筒對(duì)于軸AB的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為，小齒輪、連軸節(jié)及電動(dòng)機(jī)的轉(zhuǎn)子對(duì)于軸CD的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為，被提升的物體重為，卷筒、大齒輪及小齒輪的半徑分別為R、、。略去摩擦及鋼絲繩質(zhì)量，求重物從靜止開(kāi)始上升距離s時(shí)的速度及加速度。s15動(dòng)力學(xué)動(dòng)力學(xué)5由運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系：解：受力如圖1研究：系統(tǒng)，初瞬時(shí)，系統(tǒng)的動(dòng)能：重物上升后任意瞬時(shí)，系統(tǒng)的動(dòng)能：2系統(tǒng)的外力功：3系統(tǒng)的動(dòng)能：4由質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理：s16動(dòng)力學(xué)動(dòng)力學(xué)重物上升s后任意瞬時(shí)，重物的速度：代入（1）式：重物上升s后任意瞬時(shí)，重物的加速度：對(duì)（2）式求導(dǎo)：s17[例4]

圖示系統(tǒng)中,均質(zhì)圓盤(pán)A、B各重P，半徑均為R,兩盤(pán)中心線(xiàn)為水平線(xiàn),盤(pán)A上作用矩為M(常量)的一力偶；重物D重Q。問(wèn)下落距離h時(shí)重物的速度與加速度。(繩重不計(jì)，繩不可伸長(zhǎng)，盤(pán)B作純滾動(dòng)，初始時(shí)系統(tǒng)靜止)動(dòng)力學(xué)18解：取系統(tǒng)為研究對(duì)象上式求導(dǎo)得：動(dòng)力學(xué)19

[例5]圖示的均質(zhì)桿OA的質(zhì)量為30kg，桿在鉛垂位置時(shí)彈簧處于自然狀態(tài)。設(shè)彈簧常數(shù)k=3kN/m，為使桿能由鉛直位置OA轉(zhuǎn)到水平位置OA'，在鉛直位置時(shí)的角速度至少應(yīng)為多大？動(dòng)力學(xué)20解：研究OA桿由動(dòng)力學(xué)鉛直位置OA水平位置OA'21[例6]行星齒輪傳動(dòng)機(jī)構(gòu),放在水平面內(nèi)。動(dòng)齒輪半徑r,重P,視為均質(zhì)圓盤(pán)；曲柄重Q,長(zhǎng)l,作用一力偶,矩為M(常量),曲柄由靜止開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng)；求曲柄的角速度(以轉(zhuǎn)角的函數(shù)表示)和角加速度。動(dòng)力學(xué)解：取整個(gè)系統(tǒng)為研究對(duì)象根據(jù)動(dòng)能定理，得將式對(duì)t求導(dǎo)數(shù)，得22[例7]兩根均質(zhì)直桿組成的機(jī)構(gòu)及尺寸如圖示；OA桿質(zhì)量是AB桿質(zhì)量的兩倍，各處摩擦不計(jì)，OA=0.9m，AB=1.5m，如機(jī)構(gòu)在圖示位置從靜止釋放，求當(dāng)OA桿轉(zhuǎn)到鉛垂位置時(shí)，AB桿B端的速度。動(dòng)力學(xué)解：取整個(gè)系統(tǒng)為研究對(duì)象1動(dòng)能：2功初瞬時(shí)：末瞬時(shí)：OA桿轉(zhuǎn)到鉛垂位置速度分析：AB桿作瞬時(shí)平動(dòng)23

舉例說(shuō)明動(dòng)力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用：

[例1]

兩根均質(zhì)桿AC和BC各重為P，長(zhǎng)為l，在C處光滑鉸接，置于光滑水平面上；設(shè)兩桿軸線(xiàn)始終在鉛垂面內(nèi)，初始靜止，C點(diǎn)高度為h，求鉸C到達(dá)地面時(shí)的速度。動(dòng)力學(xué)24討論：動(dòng)量守恒定理＋動(dòng)能定理求解。動(dòng)力學(xué)解：由于不求系統(tǒng)的內(nèi)力，研究對(duì)象：整體。代入動(dòng)能定理：分析受力：且初始靜止，所以水平方向質(zhì)心位置守恒。功：25動(dòng)力學(xué)例2：重為P的均質(zhì)三角板，從時(shí)靜止釋放，各桿重不計(jì)，求該瞬時(shí)板質(zhì)心的加速度和各桿拉力。ABCD45cm30cmGACGxy解：研究三角板受力如圖坐標(biāo)系如圖由剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程解得：26

[例3]

均質(zhì)圓盤(pán)A：m，r；滑塊B：m；桿AB：質(zhì)量不計(jì)，平行于斜面。斜面傾角，摩擦系數(shù)f，圓盤(pán)作純滾動(dòng)，系統(tǒng)初始靜止。求：滑塊的加速度及連桿AB的內(nèi)力。動(dòng)力學(xué)解：選系統(tǒng)為研究對(duì)象運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系：由動(dòng)能定理：對(duì)ｔ求導(dǎo)，得27二、研究滑塊B：受力如圖動(dòng)力學(xué)方向如圖28解：取桿為研究對(duì)象由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理：動(dòng)力學(xué)[例4]

均質(zhì)桿OA，重P，長(zhǎng)l，繩子突然剪斷。求該瞬時(shí)，角加速度及O處反力。由動(dòng)量矩定理：29動(dòng)力學(xué)[例5]

長(zhǎng)為l，質(zhì)量為m的均質(zhì)直桿，初瞬時(shí)直立于光滑的桌面上。當(dāng)桿無(wú)初速度地傾倒后，求質(zhì)心的速度（用桿的傾角和質(zhì)心的位置表達(dá)）。解：由于水平方向不受外力，水平方向動(dòng)量守恒，且初始靜止，故質(zhì)心C鉛垂下降。由于約束反力不作功,主動(dòng)力為有勢(shì)力，可用機(jī)械能守恒定律求解。初瞬時(shí)：任一瞬時(shí)：由機(jī)械能守恒定律：將代入上式，化簡(jiǎn)后得30[例6]已知：圖示系統(tǒng)，均質(zhì)圓輪A和定滑輪C質(zhì)量均為m，半徑均為r，圓輪A可沿傾角α=30的斜面純滾動(dòng)，輪心A與質(zhì)量為2m的物塊B用不可伸長(zhǎng)的繩子連接，如圖示。求：1、輪心

A的加速度；

2、輪A與斜面間的滑動(dòng)摩擦力

。動(dòng)力學(xué)31解：

1、系統(tǒng)整體受力與運(yùn)動(dòng)分析，如圖（a）所示。設(shè)物塊B下降了h，則動(dòng)能將代入上式，得32功：由動(dòng)能定理微分形式，得332、研究物塊B，分析如圖（b）所示由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理，得解得3、研究圓輪C，分析如圖（c）所示由定軸剛體轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程，得將

代入上式，得34由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理，得解得4、研究圓輪A，分析如圖（d）所示由平面運(yùn)動(dòng)微分方程，得將解得代入上式，得方法二35[例7]

質(zhì)量為m的桿置于兩個(gè)半徑為r

，質(zhì)量為的實(shí)心圓柱上，圓柱放在水平面上，求當(dāng)桿上加水平力時(shí)，桿的加速度。設(shè)接觸處都有摩