湖南省邵陽市新寧縣第四中學(xué)2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)理期末試卷含解析

湖南省邵陽市新寧縣第四中學(xué)2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)理期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.在平面內(nèi)，已知雙曲線C：的焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，則|PF1|﹣|PF2|=6是點(diǎn)P在雙曲線C上的（）A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分又不必要條件參考答案：B【考點(diǎn)】必要條件、充分條件與充要條件的判斷；雙曲線的定義．【分析】雙曲線的焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，由|PF1|﹣|PF2|=6，知點(diǎn)P在雙曲線C上；由點(diǎn)P在雙曲線C上，知|PF1|﹣|PF2|=6，或|PF1|﹣|PF2|=﹣6．【解答】解：∵雙曲線的焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，∴|PF1|﹣|PF2|=6?點(diǎn)P在雙曲線C上，點(diǎn)P在雙曲線C上?|PF1|﹣|PF2|=6，或|PF1|﹣|PF2|=﹣6．所以|PF1|﹣|PF2|=6是點(diǎn)P在雙曲線C上的充分不必要條件．故選B．2.某地區(qū)為了解小學(xué)生的身高發(fā)育情況，從某小學(xué)隨機(jī)抽取100名同學(xué)，將他們的身高（單位：厘米）數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖（如圖）.若，由圖中可知，身高落在[110,130)范圍內(nèi)的學(xué)生人數(shù)是（

）A.35 B.24C.46 D.65參考答案：D【分析】根據(jù)頻率分布直方圖可以得到，再根據(jù)算出后可得所求的學(xué)生數(shù).【詳解】因?yàn)?，所以，又，由兩式解得，所以身高落在?nèi)的頻率為，所以身高落在范圍內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為（人）.故選D.【點(diǎn)睛】頻率分布直方圖中，各矩形的面積之和為1，注意頻率分布直方圖中，各矩形的高是.3.下列結(jié)論正確的是（） A．x＞1?＜1 B．x+≥2 C．x＞y?=＜ D．x＞y?x2＞y2參考答案：A【考點(diǎn)】不等式的基本性質(zhì)． 【專題】不等式的解法及應(yīng)用． 【分析】A．x＞1?＜1； B．x＜時(shí)不成立； C．取x＞0，y＜0，不成立； D．取x=﹣1，y=﹣2，不成立． 【解答】解：對(duì)于A．x＞1?＜1，正確； 對(duì)于B．x＜時(shí)不成立； 對(duì)于C．取x＞0，y＜0，則不成立； 對(duì)于D．取x=﹣1，y=﹣2，不成立． 只有A正確． 故選；A． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了不等式的基本性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題． 4.不等式表示的區(qū)域在直線的A．右上方

B．右下方

C．左上方

D．左下方參考答案：B5.已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為a，定點(diǎn)M在棱AB上(不在端點(diǎn)A，B上)，點(diǎn)P是平面ABCD內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)P到直線A1D1的距離與點(diǎn)到點(diǎn)M的距離的平方差為，則點(diǎn)P的軌跡所在的曲線為A.圓 B.橢圓 C.雙曲線 D.拋物線參考答案：D【分析】作，，連接，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用勾股定理和兩點(diǎn)間距離公式構(gòu)造，整理可得結(jié)果.【詳解】作，，垂足分別為以為原點(diǎn)建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系：設(shè)，由正方體特點(diǎn)可知，平面，，整理得：的軌跡是拋物線本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查立體幾何中點(diǎn)的軌跡問題，關(guān)鍵是能夠通過建立空間直角坐標(biāo)系，求出動(dòng)點(diǎn)滿足的方程，從而求得軌跡.6.某學(xué)校高三模擬考試中數(shù)學(xué)成績(jī)X服從正態(tài)分布，考生共有1000人，估計(jì)數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?5分到86分之間的人數(shù)約為（

）人．參考數(shù)據(jù)：，）A.261 B.341 C.477 D.683參考答案：B分析：正態(tài)總體的取值關(guān)于對(duì)稱，位于之間的概率是0.6826，根據(jù)概率求出位于這個(gè)范圍中的個(gè)數(shù)，根據(jù)對(duì)稱性除以2得到要求的結(jié)果．詳解：正態(tài)總體的取值關(guān)于對(duì)稱，位于之間的概率是，則估計(jì)數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?5分到86分之間的人數(shù)約為人.故選B.點(diǎn)睛：題考查正態(tài)曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義，是一個(gè)基礎(chǔ)題，解題的關(guān)鍵是考試的成績(jī)關(guān)對(duì)稱，利用對(duì)稱寫出要用的一段分?jǐn)?shù)的頻數(shù)，題目得解．7.直三棱柱中，若，，則異面直線與所成的角等于（

）A．30°

B．45°

C．60°

D．90°參考答案：C8.下列命題中正確的是（

）A．的最小值為2B．的最小值為C．的最小值為D．的最大值是參考答案：B9.函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間為

（

）A.

B.C.

D.參考答案：C略7.若是兩條不同的直線，是三個(gè)不同的平面，給出下列命題：①若；

②若；③若；

④若，則其中正確命題的個(gè)數(shù)為

A．1

B．2

C．3

D．4參考答案：B略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知x、y滿足約束條件，則z=x+3y的最小值為

．參考答案：2【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單線性規(guī)劃．【分析】作出題中不等式組表示的平面區(qū)域，得到如圖的△ABC及其內(nèi)部，再將目標(biāo)函數(shù)z=x+3y對(duì)應(yīng)的直線進(jìn)行平移，觀察直線在y軸上的截距變化，可得當(dāng)x=y=時(shí)z取得最小值2．【解答】解：作出不等式組表示的平面區(qū)域，得到如圖的△ABC及其內(nèi)部，其中A（0，1），B（2，2），C（，）．設(shè)z=F（x，y）=x+3y，將直線l：z=x+3y進(jìn)行平移，觀察直線在y軸上的截距變化，可得當(dāng)l經(jīng)過點(diǎn)C時(shí)，目標(biāo)函數(shù)z達(dá)到最小值．∴z最小值=F（，）=2．故答案為：212.給出下列四個(gè)命題：①命題“?x∈R，cosx＞0”的否定“?x∈R，cosx≤0”②a，b，c是空間中的三條直線，a∥b的充要條件是a⊥c且b⊥c③命題“在△ABC中，若A＞B，則sinA＞sinB”；④若“p∧q”是假命題，則p，q都是假命題；其中的真命題是．（寫出所有真命題的編號(hào)）參考答案：①③【考點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用．【分析】①含有量詞的命題的否定，先換量詞，再否定結(jié)論；②空間，同時(shí)垂直同一直線的兩直線不一定平行；③在△ABC中，若A＞B，則a＞b，則2RsinA＞2RsinB，則sinA＞sinB；④“p∧q”是假命題，則p，q有假命題；【解答】解：對(duì)于①含有量詞的命題的否定，先換量詞，再否定結(jié)論，故①是真命題；對(duì)于②，空間，同時(shí)垂直同一直線的兩直線不一定平行，故②是假命題；對(duì)于③，在△ABC中，若A＞B，則a＞b，則2RsinA＞2RsinB，則sinA＞sinB，故③是真命題；④“p∧q”是假命題，則p，q有假命題，故④是假命題；故答案為：①③13.根據(jù)如圖所示的偽代碼，可知輸出的S的值為

▲

．參考答案：21略14.若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 ．參考答案：15.橢圓7x2+3y2=21上一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為．參考答案：2【考點(diǎn)】橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】將橢圓方程轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)方程，則焦點(diǎn)在y軸上，a2=7，b2=3，由橢圓的定義可知：橢圓上一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和2a=2．【解答】解：由題意可知：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：，焦點(diǎn)在y軸上，a2=7，b2=3，∴由橢圓的定義可知：橢圓上一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和2a=2，故答案為：2．16.已知a∈(，)，sinα=，則tan2α=

參考答案：略17.已知都是正實(shí)數(shù),函數(shù)的圖象過點(diǎn),則的最小值是___.參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知?jiǎng)狱c(diǎn)P到定點(diǎn)的距離與點(diǎn)P到定直線l：的距離之比為．（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；（2）設(shè)M、N是直線l上的兩個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)E與點(diǎn)F關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，若，求|MN|的最小值．參考答案：【考點(diǎn)】KH：直線與圓錐曲線的綜合問題；9R：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算；J3：軌跡方程；K4：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】（1）先設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)，再根據(jù)定點(diǎn)的距離與點(diǎn)P到定直線l：的距離之比為求得方程．（2））先由點(diǎn)E與點(diǎn)F關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，求得E的坐標(biāo)，再根據(jù)直線l的方程設(shè)M、N坐標(biāo)，然后由，即6+y1y2=0．構(gòu)建，再利用基本不等式求得最小值．【解答】解：（1）設(shè)點(diǎn)P（x，y），依題意，有．整理，得．所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程為．（2）∵點(diǎn)E與點(diǎn)F關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為．∵M(jìn)、N是直線l上的兩個(gè)點(diǎn)，∴可設(shè)，（不妨設(shè)y1＞y2）．∵，∴．即6+y1y2=0．即．由于y1＞y2，則y1＞0，y2＜0．∴．當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，等號(hào)成立．故|MN|的最小值為．19.某商場(chǎng)為了促銷，采用購物打折的優(yōu)惠辦法：每位顧客一次購物：①在1000元以上者按九五折優(yōu)惠；②在2000元以上者按九折優(yōu)惠；③在5000元以上者按八折優(yōu)惠。(1）寫出實(shí)際付款y（元）與購物原價(jià)款x（元）的函數(shù)關(guān)系式；(2）寫出表示優(yōu)惠付款的算法；參考答案：（1）設(shè)購物原價(jià)款數(shù)為元，實(shí)際付款為元，則實(shí)際付款方式可用分段函數(shù)表示為：(2）用條件語句表示表示為：20.某糧庫擬建一個(gè)儲(chǔ)糧倉如圖所示，其下部是高為2的圓柱，上部是母線長(zhǎng)為2的圓錐，現(xiàn)要設(shè)計(jì)其底面半徑和上部圓錐的高，若設(shè)圓錐的高AO1為x，儲(chǔ)糧倉的體積為y.（1）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；（圓周率用π表示）（2）求AO1為何值時(shí)，儲(chǔ)糧倉的體積最大.參考答案：（Ⅰ）∵圓錐和圓柱的底面半徑，∴.∴，即，.（Ⅱ），令，解得，.又，∴（舍去）.當(dāng)變化時(shí)，的變化情況如下表：

x＋0－y增函數(shù)極大值減函數(shù)故當(dāng)時(shí)，儲(chǔ)糧倉的體積最大.21.設(shè)全集是實(shí)數(shù)集R，A={x|2x2﹣7x+3≤0}，B={x|x2+a＜0}．（1）當(dāng)a=﹣4時(shí)，求A∩B和A∪B；（2）若（?RA）∩B=B，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算；集合關(guān)系中的參數(shù)取值問題．【分析】（1）A={x|≤x≤3}，當(dāng)a=﹣4時(shí)，B={x|﹣2＜x＜2}，由此能求出A∩B和A∪B．（2）?RA={x|x＜或x＞3}，當(dāng)（?RA）∩B=B時(shí)，B??RA，由此進(jìn)行分類討論能夠求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．【解答】解：（1）∵A={x|≤x≤3}，當(dāng)a=﹣4時(shí)，B={x|﹣2＜x＜2}，∴A∩B={x|≤x＜2}，A∪B={x|﹣2＜x≤3}．…（2）?RA={x|x＜或x＞3}，當(dāng)（?RA）∩B=B時(shí)，B??RA，①當(dāng)B=?，即a≥0時(shí)，滿足B??RA；②當(dāng)B≠?，即a＜0時(shí)，B={x|﹣＜x＜}，要使B??RA，需≤，解得﹣≤a＜0．綜上可得，實(shí)數(shù)a的取值范圍是a≥﹣．…22.如圖，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為a，若E為棱AB的中點(diǎn)，①求四棱錐B1﹣BCDE的體積;②求證：面B1DC⊥面B1DE．參考答案：證明：①由正方形的性質(zhì)可得B1B平面BEDC，∴四棱錐B1﹣BCDE的體積V=?S梯形BCDE?B1B=?（a+a）?a?a=；②取B1D的中點(diǎn)O，設(shè)BC