第十五章機(jī)械振動(dòng)課件

第15章機(jī)械振動(dòng)11940年華盛頓的塔科曼大橋建成同年7月的一場(chǎng)大風(fēng)引起橋的共振,橋被摧毀。2第15章機(jī)械振動(dòng)

§15-1簡(jiǎn)諧振動(dòng)

§15-5同方向的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成3機(jī)械振動(dòng)：物體位置在某一值附近來(lái)回往復(fù)的變化等等§15-1簡(jiǎn)諧振動(dòng)廣義振動(dòng)：一個(gè)物理量在某一定值附近往復(fù)變化該物理量的運(yùn)動(dòng)形式稱(chēng)振動(dòng)

物理量：4共振(簡(jiǎn)諧振動(dòng)）振動(dòng)受迫振動(dòng)自由振動(dòng)阻尼自由振動(dòng)無(wú)阻尼自由振動(dòng)無(wú)阻尼自由非諧振動(dòng)無(wú)阻尼自由諧振動(dòng)振動(dòng)的形式:5重要的振動(dòng)形式是簡(jiǎn)諧振動(dòng)(SHV)simpleharmonicvibration物理上：一般運(yùn)動(dòng)是多個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成數(shù)學(xué)上：付氏級(jí)數(shù)付氏積分也可以說(shuō)，

SHV是振動(dòng)的基本模型或說(shuō)，振動(dòng)的理論建立在SHV的基礎(chǔ)上注意：以機(jī)械振動(dòng)為例說(shuō)明振動(dòng)的一般性質(zhì)6一.簡(jiǎn)諧振動(dòng)的判據(jù)表征了系統(tǒng)的能量位移振幅最大位移由初始條件決定1.運(yùn)動(dòng)學(xué)表達(dá)式廣義：振動(dòng)的物理量彈簧諧振子特征量：7位相周相系統(tǒng)的周期性固有的性質(zhì)稱(chēng)固有頻率…圓頻率相位初相位角頻率

取決于時(shí)間零點(diǎn)的選擇

初位相頻率周期8相位和初相相位：決定簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的物理量。初相位：t

=0時(shí)的相位。相位概念可用于比較兩個(gè)諧振動(dòng)之間在振動(dòng)步調(diào)上的差異。設(shè)有兩個(gè)同頻率的諧振動(dòng)，表達(dá)式分別為：二者的相位差為：)cos(1011fw+=tAx)cos(2022fw+=tAx10201020)()(fffwfwf-=+-+=Dtt9(b)當(dāng)時(shí),稱(chēng)兩個(gè)振動(dòng)為反相；(d)當(dāng)時(shí),稱(chēng)第二個(gè)振動(dòng)落后第一個(gè)振動(dòng)。(c)當(dāng)時(shí),稱(chēng)第二個(gè)振動(dòng)超前第一個(gè)振動(dòng)；討論:

(a)當(dāng)時(shí),稱(chēng)兩個(gè)振動(dòng)為同相；10201020)()(fffwfwf-=+-+=DttfD102.動(dòng)力學(xué)方程以彈簧諧振子為例設(shè)彈簧原長(zhǎng)為坐標(biāo)原點(diǎn)由牛頓第二定律令簡(jiǎn)諧振動(dòng)整理得11二.簡(jiǎn)諧振動(dòng)的描述1.解析描述12常量和的確定在到

之間，通常存在兩個(gè)值，可根據(jù)進(jìn)行取舍。根據(jù)初始條件：

時(shí)，,，得0000sin,cosfwfAvAx-==2020)(wvxA+=???è?-=000arctgxvwf00sinfwAv-=13均是作諧振動(dòng)的物理量頻率相同振幅的關(guān)系相位差超前落后142.曲線描述153.簡(jiǎn)諧振動(dòng)的矢量圖示法采用旋轉(zhuǎn)矢量法，可直觀地領(lǐng)會(huì)簡(jiǎn)諧振動(dòng)表達(dá)式中各個(gè)物理量的意義。旋轉(zhuǎn)矢量:一長(zhǎng)度等于振幅A的矢量在紙平面內(nèi)繞O點(diǎn)沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，其角速度與諧振動(dòng)的角頻率相等，這個(gè)矢量稱(chēng)為旋轉(zhuǎn)矢量。1617振動(dòng)相位逆時(shí)針?lè)较颚?/p>

M

點(diǎn)在

x

軸上投影(P點(diǎn))的運(yùn)動(dòng)規(guī)律：

的長(zhǎng)度旋轉(zhuǎn)的角速度旋轉(zhuǎn)的方向與參考方向x的夾角XOMPx振幅A振動(dòng)圓頻率)cos(0fw+=tAx181）直觀地表達(dá)振動(dòng)狀態(tài)優(yōu)點(diǎn)當(dāng)振動(dòng)系統(tǒng)確定了振幅以后，表述振動(dòng)的關(guān)鍵就是相位，即表達(dá)式中的余弦函數(shù)的綜量而旋轉(zhuǎn)矢量圖可直觀地顯示該綜量分析解析式可知用圖代替了文學(xué)的敘述19在正的端點(diǎn)旋矢與軸夾角為零質(zhì)點(diǎn)經(jīng)二分之一振幅處向負(fù)方向運(yùn)動(dòng)意味意味<向負(fù)方向運(yùn)動(dòng)20質(zhì)點(diǎn)過(guò)平衡位置向負(fù)方向運(yùn)動(dòng)同樣<0向負(fù)方向運(yùn)動(dòng)<0注意到：<021向正方向運(yùn)動(dòng)或>0>0或>0>向正向運(yùn)動(dòng)22由圖看出：速度超前位移加速度超前速度稱(chēng)兩振動(dòng)同相2）方便地比較振動(dòng)步調(diào)位移與加速度稱(chēng)兩振動(dòng)反相若233）方便計(jì)算用熟悉的圓周運(yùn)動(dòng)代替三角函數(shù)的運(yùn)算例：質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)和勁度系數(shù)為k的彈簧組成的彈簧諧振子。

t=0時(shí)，質(zhì)點(diǎn)過(guò)平衡位置且向正方向運(yùn)動(dòng)。求：物體運(yùn)動(dòng)到負(fù)的二分之一振幅處時(shí)所用的最短時(shí)間。24解：設(shè)t時(shí)刻到達(dá)末態(tài)由已知畫(huà)出t=

0時(shí)刻的旋矢圖再畫(huà)出末態(tài)的旋矢圖由題意選藍(lán)實(shí)線所示的位矢設(shè)始末態(tài)位矢夾角為因?yàn)榈梅睆?fù)的三角函數(shù)的運(yùn)算用勻速圓周運(yùn)動(dòng)的一個(gè)運(yùn)動(dòng)關(guān)系求得25

例15-1一物體沿X軸作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，振幅A=0.12m,周期T=2s。當(dāng)t=0時(shí),物體的位移x=0.06m,且向X軸正向運(yùn)動(dòng)。求:(1)簡(jiǎn)諧振動(dòng)表達(dá)式;(2)t=T/4時(shí)物體的位置、速度和加速度;(3)物體從x=-0.06m向

X軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，第一次回到平衡位置所需時(shí)間。解:(1)取平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn),諧振動(dòng)方程寫(xiě)為：其中A=0.12m,T=2s,初始條件：t=0,x0=0.06m,可得據(jù)初始條件得)cos(0fw+=tAx(m))3cos(12.0pp-=tx26(2)由(1)求得的簡(jiǎn)諧振動(dòng)表達(dá)式得:在t=T/4=0.5s時(shí)，從前面所列的表達(dá)式可得)s(m)3sin(12.0dd1-×--==pppttxv)s(m)3cos(12.0dd22-×--==pppttvam104.0m)35.0cos(12.0=-′=ppx11sm18.0sm)35.0sin(12.0--×-=×-′′-=pppv222sm03.1sm)35.0cos(12.0--×-=×-′′-=pppa27(3)當(dāng)x=-0.06m時(shí)，該時(shí)刻設(shè)為t1,得因該時(shí)刻速度為負(fù)，應(yīng)舍去，設(shè)物體在t2時(shí)刻第一次回到平衡位置，相位是因此另解：從t1時(shí)刻到t2時(shí)刻從x=-0.06m處第一次回到平衡位置的時(shí)間：所對(duì)應(yīng)的相差為：21)3cos(1-=-ppt34,3231pppp=-t2332ppp=-ts11=t34ps83.12=t。s83.012=-=Dttt653223pppf=-=Ds83.0=D=Dwft23p284.幾種常見(jiàn)的簡(jiǎn)諧振動(dòng)(1)單擺重物所受合外力矩：據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定律，得到很小時(shí)(小于)，可取令,有qsinmglM-=...!5!3sin53-+-=qqqqqq?sinqmglM-=qqqlgmlmglJMt-=-==222dd。lgTpwp22==grmTrqOl29轉(zhuǎn)角的表達(dá)式可寫(xiě)為：角振幅

和初相

由初始條件求得。單擺周期與角振幅

的關(guān)系為為很小時(shí)單擺的周期。根據(jù)上述周期的級(jí)數(shù)公式，可以將周期計(jì)算到所要求的任何精度。)cos(0fwqq+=tm30(2)復(fù)擺一個(gè)可繞固定軸擺動(dòng)的剛體稱(chēng)為復(fù)擺。剛體的質(zhì)心為C,對(duì)過(guò)O

點(diǎn)的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J,O、C

兩點(diǎn)間距離的距離為h。令據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定律，得若角度較小時(shí)qqsindd22mghtJ-=qqmghtJ-=22ddJmgh=2w0dd222=+qwqtmghJTpwp22==grm31

例15-2一質(zhì)量為m

的平底船，其平均水平截面積為S，吃水深度為h，如不計(jì)水的阻力，求此船在豎直方向的振動(dòng)周期。解:船靜止時(shí)浮力與重力平衡，船在任一位置時(shí)，以水面為坐標(biāo)原點(diǎn),豎直向下的坐標(biāo)軸為y軸，船的位移用y表示。32船的位移為y時(shí)船所受合力為：船在豎直方向作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其角頻率和周期為:因得:335簡(jiǎn)諧振動(dòng)的能量如，彈簧諧振子系統(tǒng)機(jī)械能守恒以彈簧原長(zhǎng)為勢(shì)能零點(diǎn)34討論1)

普適2)

時(shí)間平均值能量平均值20022241d)(sin211kAttAmTETK=+=òfww2002241d)(cos211kAttkATETP=+=òfw2EEEPK==35§15-5簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成一.振動(dòng)方向相同振動(dòng)頻率相同的兩個(gè)SHV的合成二.

振動(dòng)方向相同頻率略有差別的振幅相等的兩個(gè)SHV的合成36一.振動(dòng)方向相同振動(dòng)頻率相同的兩個(gè)SHV的合成線性疊加結(jié)果：仍是諧振動(dòng)振動(dòng)頻率仍是振動(dòng)的振幅和初相202101202101coscossinsintgfffffAAAA++=3738若反相，合振動(dòng)減弱同相，合振動(dòng)加強(qiáng)特殊結(jié)果：若若兩振動(dòng)同相兩振動(dòng)反相可能的最強(qiáng)振動(dòng)“振動(dòng)加振動(dòng)”不振動(dòng)39二.振動(dòng)方向相同振動(dòng)頻率相同振幅相同相鄰相位差相同的N個(gè)SHV的合成

40線性相加用旋矢法求解由圖得qMOC41一般情況特例1）主極大2）的倍數(shù)的整數(shù)極小2sin2sinαNαaA=42

2.同方向不同頻率的兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成拍兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成得：當(dāng)兩個(gè)同方向簡(jiǎn)諧振動(dòng)的頻率不同時(shí)，在旋轉(zhuǎn)矢量圖示法中兩個(gè)旋轉(zhuǎn)矢量的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度不相同，二者的相位差與時(shí)間有關(guān)，合矢量的長(zhǎng)度和角速