數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)(嚴蔚敏)課件第7章

第七章圖7/22/20231精選課件【課前思考】1.同學們有沒有發(fā)現(xiàn)現(xiàn)在的十字路口的交通燈已從過去的一對改為三對，即每個方向的直行、左拐和右拐能否通行都有相應的交通燈指明。你能否對某個丁字路口的6條通路畫出和第一章緒論中介紹的"五叉路口交通管理示意圖"相類似的圖？同學們一定可以畫出如下所示類似的圖形。

2.如果每次讓三條路同時通行，那么從圖看出哪些路可以同時通行？同時可通行的路為：(AB,BC,CA),(AB,BC,BA),(AB,AC,CA),(CB,CA,BC)7/22/20232精選課件【學習目標】1．領會圖的類型定義。

2．熟悉圖的各種存儲結(jié)構(gòu)及其構(gòu)造算法，了解各種存儲結(jié)構(gòu)的特點及其選用原則。

3．熟練掌握圖的兩種遍歷算法。

4．理解各種圖的應用問題的算法。7/22/20233精選課件【重點和難點】圖的應用極為廣泛，而且圖的各種應用問題的算法都比較經(jīng)典，因此本章重點在于理解各種圖的算法及其應用場合?！局R點】圖的類型定義、圖的存儲表示、圖的深度優(yōu)先搜索遍歷和圖的廣度優(yōu)先搜索遍歷、無向網(wǎng)的最小生成樹、最短路徑、拓撲排序、關鍵路徑。7/22/20234精選課件【學習指南】

離散數(shù)學中的圖論是專門研究圖性質(zhì)的一個數(shù)學分支，但圖論注重研究圖的純數(shù)學性質(zhì)，而數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)中對圖的討論則側(cè)重于在計算機中如何表示圖以及如何實現(xiàn)圖的操作和應用等。圖是較線性表和樹更為復雜的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，因此和線性表、樹不同，雖然在遍歷圖的同時可以對頂點或弧進行各種操作，但更多圖的應用問題如求最小生成樹和最短路徑等在圖論的研究中都早已有了特定算法，在本章中主要是介紹它們在計算機中的具體實現(xiàn)。這些算法乍一看都比較難，應多對照具體圖例的存儲結(jié)構(gòu)進行學習。而圖遍歷的兩種搜索路徑和樹遍歷的兩種搜索路徑極為相似，應將兩者的算法對照學習以便提高學習的效果。本章必須完成的算法設計題為

:7.7,7.9,7.10,7.12,7.14,7.15,7.227/22/20235精選課件7.1圖的定義與術(shù)語7.2圖的存儲表示7.3圖的遍歷7.4最小生成樹7.5重（雙）連通圖和關節(jié)點7.6兩點之間的最短路徑問題7.7拓撲排序7.8關鍵路徑7/22/20236精選課件

圖是由一個頂點集V和一個弧集R構(gòu)成的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。Graph=(V,VR)其中，VR＝{<v,w>|v,w∈V且P(v,w)}

<v,w>表示從v到w的一條弧，并稱v為弧頭，w為弧尾。

謂詞P(v,w)定義了弧<v,w>的意義或信息。圖的結(jié)構(gòu)定義:7.1圖的定義與術(shù)語7/22/20237精選課件

由于“弧”是有方向的，因此稱由頂點集和弧集構(gòu)成的圖為有向圖。

ABECD例如:G1=(V1,VR1)其中V1={A,B,C,D,E}VR1={<A,B>,<A,E>,<B,C>,<C,D>,<D,B>,<D,A>,<E,C>}7/22/20238精選課件若<v,w>VR必有<w,v>VR,則稱(v,w)為頂點v和頂點w之間存在一條邊。

BCADFE由頂點集和邊集構(gòu)成的圖稱作無向圖。例如:G2=(V2,VR2)V2={A,B,C,D,E,F}VR2={(A,B),(A,E),(B,E),(C,D),(D,F),(B,F),(C,F)}7/22/20239精選課件名詞和術(shù)語網(wǎng)、子圖

完全圖、稀疏圖、稠密圖鄰接點、度、入度、出度路徑、路徑長度、簡單路徑、簡單回路連通圖、連通分量、強連通圖、強連通分量生成樹、生成森林7/22/202310精選課件ABECFAEFBBC設圖G=(V,{VR})和圖G=(V,{VR}),且VV,VRVR,則稱G為G的子圖。1597211132

弧或邊帶權(quán)的圖分別稱作有向網(wǎng)或無向網(wǎng)。C7/22/202311精選課件假設圖中有

n

個頂點，e

條邊，則

含有e=n(n-1)/2條邊的無向圖稱作完全圖；

含有e=n(n-1)條弧的有向圖稱作

有向完全圖；若邊或弧的個數(shù)e<nlogn，則稱作稀疏圖，否則稱作稠密圖。7/22/202312精選課件

假若頂點v和頂點w之間存在一條邊，則稱頂點v和w互為鄰接點，ACDFE例如:ID(B)=3ID(A)=2邊(v,w)

和頂點v和w相關聯(lián)。

和頂點v關聯(lián)的邊的數(shù)目定義為頂點v的度。B7/22/202313精選課件頂點的出度:以頂點v為弧尾的弧的數(shù)目；ABECF對有向圖來說，頂點的入度:以頂點v為弧頭的弧的數(shù)目。頂點的度(TD)=出度(OD)+入度(ID)例如:ID(B)=2OD(B)=1TD(B)=37/22/202314精選課件設圖G=(V,{VR})中的一個頂點序列{u=vi,0,vi,1,…,vi,m=w}中，(vi,j-1,vi,j)VR1≤j≤m,則稱從頂點u到頂點w之間存在一條路徑。路徑上邊(或弧)的數(shù)目稱作路徑長度。ABECF如:長度為3的路徑{A,B,C,F}簡單路徑:序列中頂點不重復出現(xiàn)的路徑。簡單回路:序列中第一個頂點和最后一個頂點相同的路徑而其余頂點不重復。7/22/202315精選課件若圖G中任意兩個頂點之間都有路徑相通，則稱此圖為連通圖；若無向圖為非連通圖，則圖中各個極大連通子圖稱作此圖的連通分量。BACDFEBACDFE7/22/202316精選課件

若任意兩個頂點之間都存在一條有向路徑，則稱此有向圖為強連通圖。ABECFABECF對有向圖，否則，其各個強連通子圖稱作它的強連通分量。7/22/202317精選課件

假設一個連通圖有n個頂點和e條邊，其中n-1條邊和n個頂點構(gòu)成一個極小連通子圖，稱該極小連通子圖為此連通圖的生成樹。對非連通圖，則稱由各個連通分量的生成樹的集合為此非連通圖的生成森林。BACDFE7/22/202318精選課件結(jié)構(gòu)的建立和銷毀插入或刪除頂點對鄰接點的操作對頂點的訪問操作遍歷插入和刪除弧基本操作7/22/202319精選課件CreatGraph(&G,V,VR)://按定義(V,VR)構(gòu)造圖DestroyGraph(&G)://銷毀圖結(jié)構(gòu)的建立和銷毀7/22/202320精選課件對頂點的訪問操作LocateVex(G,u);

//若G中存在頂點u，則返回該頂點在//圖中“位置”

；否則返回其它信息。GetVex(G,v);//返回v的值。PutVex(&G,v,value);//對v賦值value。7/22/202321精選課件對鄰接點的操作FirstAdjVex(G,v);

//返回v的“第一個鄰接點”。若該頂點//在G中沒有鄰接點，則返回“空”。NextAdjVex(G,v,w);

//返回v的（相對于w的）“下一個鄰接//點”。若w是v的最后一個鄰接點，則//返回“空”。7/22/202322精選課件插入或刪除頂點InsertVex(&G,v);

//在圖G中增添新頂點v。DeleteVex(&G,v);//刪除G中頂點v及其相關的弧。7/22/202323精選課件插入和刪除弧InsertArc(&G,v,w);//在G中增添弧<v,w>，若G是無向的，//則還增添對稱弧<w,v>。DeleteArc(&G,v,w);

//在G中刪除弧<v,w>，若G是無向的，//則還刪除對稱弧<w,v>。7/22/202324精選課件遍歷DFSTraverse(G,v,Visit());//從頂點v起深度優(yōu)先遍歷圖G，并對每//個頂點調(diào)用函數(shù)Visit一次且僅一次。BFSTraverse(G,v,Visit());

//從頂點v起廣度優(yōu)先遍歷圖G，并對每//個頂點調(diào)用函數(shù)Visit一次且僅一次。7/22/202325精選課件7.2圖的存儲表示一、圖的數(shù)組(鄰接矩陣)存儲表示二、圖的鄰接表存儲表示三、有向圖的十字鏈表存儲表示四、無向圖的鄰接多重表存儲表示7/22/202326精選課件Aij={0(i,j)VR1(i,j)VR一、圖的數(shù)組(鄰接矩陣)存儲表示BACDFE定義:矩陣的元素為7/22/202327精選課件有向圖的鄰接矩陣為非對稱矩陣ABECF7/22/202328精選課件typedefstructArcCell{//弧的定義VRTypeadj;//VRType是頂點關系類型。//對無權(quán)圖，用1或0表示相鄰否；//對帶權(quán)圖，則為權(quán)值類型。InfoType*info;//該弧相關信息的指針}ArcCell,AdjMatrix[MAX_VERTEX_NUM][MAX_VERTEX_NUM];7/22/202329精選課件typedefstruct{//圖的定義VertexType//頂點信息vexs[MAX_VERTEX_NUM];AdjMatrixarcs;//弧的信息

intvexnum,arcnum;//頂點數(shù)，弧數(shù)GraphKindkind;//圖的種類標志

}MGraph;7/22/202330精選課件0A141B0452C353D254E015F123BACDFE二、圖的鄰接表存儲表示7/22/202331精選課件142301201234ABCDE有向圖的鄰接表ABECD可見，在有向圖的鄰接表中不易找到指向該頂點的弧。7/22/202332精選課件ABECD有向圖的逆鄰接表ABCDE30342001234在有向圖的鄰接表中，對每個頂點，鏈接的是指向該頂點的弧。7/22/202333精選課件typedefstructArcNode{

intadjvex;//該弧所指向的頂點的位置

structArcNode*nextarc;//指向下一條弧的指針I(yè)nfoType*info;//該弧相關信息的指針}ArcNode;adjvexnextarcinfo弧的結(jié)點結(jié)構(gòu)7/22/202334精選課件typedefstructVNode{

VertexTypedata;//頂點信息ArcNode*firstarc;//指向第一條依附該頂點的弧

}VNode,AdjList[MAX_VERTEX_NUM];datafirstarc頂點的結(jié)點結(jié)構(gòu)7/22/202335精選課件typedefstruct{

AdjListvertices;

intvexnum,arcnum;

intkind;//圖的種類標志}ALGraph;圖的結(jié)構(gòu)定義7/22/202336精選課件三、有向圖的十字鏈表存儲表示

弧的結(jié)點結(jié)構(gòu)弧尾頂點位置弧頭頂點位置弧的相關信息指向下一個有相同弧尾的結(jié)點指向下一個有相同弧頭的結(jié)點typedefstructArcBox{//弧的結(jié)構(gòu)表示

inttailvex,headvex;InfoType*info;structArcBox*hlink,*tlink;

}VexNode;7/22/202337精選課件頂點的結(jié)點結(jié)構(gòu)頂點信息數(shù)據(jù)指向該頂點的第一條入弧指向該頂點的第一條出弧typedefstructVexNode{//頂點的結(jié)構(gòu)表示VertexTypedata;ArcBox*firstin,*firstout;}VexNode;7/22/202338精選課件typedefstruct{VexNodexlist[MAX_VERTEX_NUM];//頂點結(jié)點(表頭向量)

intvexnum,arcnum;//有向圖的當前頂點數(shù)和弧數(shù)}OLGraph;有向圖的結(jié)構(gòu)表示(十字鏈表)7/22/202339精選課件四、無向圖的鄰接多重表存儲表示typedefstructEbox{VisitIfmark;//訪問標記

intivex,jvex;//該邊依附的兩個頂點的位置

structEBox*ilink,*jlink;//分別指向依附這兩個頂點的下一條邊InfoType*info;//該邊信息指針}EBox;邊的結(jié)構(gòu)表示7/22/202340精選課件typedefstruct{//鄰接多重表

VexBoxadjmulist[MAX_VERTEX_NUM];

intvexnum,edgenum;

}AMLGraph;頂點的結(jié)構(gòu)表示typedefstructVexBox{VertexTypedata;EBox*firstedge;//指向第一條依附該頂點的邊}VexBox;無向圖的結(jié)構(gòu)表示7/22/202341精選課件7.3圖的遍歷

從圖中某個頂點出發(fā)游歷圖，訪遍圖中其余頂點，并且使圖中的每個頂點僅被訪問一次的過程。深度優(yōu)先搜索廣度優(yōu)先搜索遍歷應用舉例7/22/202342精選課件

從圖中某個頂點V0出發(fā)，訪問此頂點，然后依次從V0的各個未被訪問的鄰接點出發(fā)深度優(yōu)先搜索遍歷圖，直至圖中所有和V0有路徑相通的頂點都被訪問到。一、深度優(yōu)先搜索遍歷圖連通圖的深度優(yōu)先搜索遍歷7/22/202343精選課件Vw1SG1SG2SG3W1、W2和W3均為V的鄰接點，SG1、SG2和SG3分別為含頂點W1、W2和W3的子圖。訪問頂點V：for(W1、W2、W3)

若該鄰接點W未被訪問，

則從它出發(fā)進行深度優(yōu)先搜索遍歷。w2w3w27/22/202344精選課件從上頁的圖解可見:1.從深度優(yōu)先搜索遍歷連通圖的過程類似于樹的先根遍歷；解決的辦法是：為每個頂點設立一個“訪問標志visited[w]”。2.如何判別V的鄰接點是否被訪問？7/22/202345精選課件voidDFS(GraphG,intv){//從頂點v出發(fā)，深度優(yōu)先搜索遍歷連通圖Gvisited[v]=TRUE;VisitFunc(v);

for(w=FirstAdjVex(G,v);w!=0;w=NextAdjVex(G,v,w))

if(!visited[w])DFS(G,w);

//對v的尚未訪問的鄰接頂點w//遞歸調(diào)用DFS}//DFS7/22/202346精選課件首先將圖中每個頂點的訪問標志設為FALSE,之后搜索圖中每個頂點，如果未被訪問，則以該頂點為起始點，進行深度優(yōu)先搜索遍歷，否則繼續(xù)檢查下一頂點。非連通圖的深度優(yōu)先搜索遍歷7/22/202347精選課件voidDFSTraverse(GraphG,

Status(*Visit)(intv)){

//對圖G作深度優(yōu)先遍歷。VisitFunc=Visit;

for(v=0;v<G.vexnum;++v)visited[v]=FALSE;//訪問標志數(shù)組初始化

for(v=0;v<G.vexnum;++v)

if(!visited[v])DFS(G,v);//對尚未訪問的頂點調(diào)用DFS}7/22/202348精選課件abchdekfgFFFFFFFFFTTTTTTTTTachdkfebgachkfedbg訪問標志:訪問次序:例如:0123456787/22/202349精選課件二、廣度優(yōu)先搜索遍歷圖Vw1w8w3w7w6w2w5w4對連通圖，從起始點V到其余各頂點必定存在路徑。其中，V->w1,V->w2,V->w8

的路徑長度為1；V->w7,V->w3,V->w5

的路徑長度為2；V->w6,V->w4

的路徑長度為3。w1Vw2w7w6w3w8w5w47/22/202350精選課件從圖中的某個頂點V0出發(fā)，并在訪問此頂點之后依次訪問V0的所有未被訪問過的鄰接點，之后按這些頂點被訪問的先后次序依次訪問它們的鄰接點，直至圖中所有和V0有路徑相通的頂點都被訪問到。若此時圖中尚有頂點未被訪問，則另選圖中一個未曾被訪問的頂點作起始點，重復上述過程，直至圖中所有頂點都被訪問到為止。7/22/202351精選課件

voidBFSTraverse(GraphG,

Status(*Visit)(intv)){

for(v=0;v<G.vexnum;++v)visited[v]=FALSE;//初始化訪問標志

InitQueue(Q);

//置空的輔助隊列Q

for(v=0;v<G.vexnum;++v)

if(

!visited[v]){

//v尚未訪問

}

}//BFSTraverse……7/22/202352精選課件visited[v]=TRUE;Visit(v);//訪問uEnQueue(Q,v);

//v入隊列while(!QueueEmpty(Q)){

DeQueue(Q,u);//隊頭元素出隊并置為ufor(w=FirstAdjVex(G,u);w!=0;w=NextAdjVex(G,u,w))

if(!visited[w])

{

visited[w]=TRUE;Visit(w);EnQueue(Q,w);

//訪問的頂點w入隊列}//if}//while7/22/202353精選課件三、遍歷應用舉例1.求一條從頂點i到頂點s的簡單路徑2.

求兩個頂點之間的一條路徑長度最短的路徑7/22/202354精選課件1.

求一條從頂點i到頂點s的簡單路徑abchdekfg求從頂點b到頂點k的一條簡單路徑。從頂點b出發(fā)進行深度優(yōu)先搜索遍歷。例如:假設找到的第一個鄰接點是a，則得到的結(jié)點訪問序列為:b

adhce

kfg。假設找到的第一個鄰接點是c，則得到的結(jié)點訪問序列為:

b

chdae

kfg，7/22/202355精選課件1.從頂點i到頂點s,若存在路徑，則從頂點i出發(fā)進行深度優(yōu)先搜索，必能搜索到頂點s。2.

遍歷過程中搜索到的頂點不一定是路徑上的頂點。結(jié)論:3.

由它出發(fā)進行的深度優(yōu)先遍歷已經(jīng)完成的頂點不是路徑上的頂點。7/22/202356精選課件voidDFSearch(intv,ints,char*PATH){//從第v個頂點出發(fā)遞歸地深度優(yōu)先遍歷圖G，//求得一條從v到s的簡單路徑，并記錄在PATH中visited[v]=TRUE;//訪問第v個頂點

Append(PATH,getVertex(v));

//第v個頂點加入路徑

for(w=FirstAdjVex(v);w!=0&&!found;

w=NextAdjVex(v))

if(w=s){found=TRUE;Append(PATH,w);}

else

if(!visited[w])DFSearch(w,s,PATH);if(!found)Delete(PATH);

//從路徑上刪除頂點v

}7/22/202357精選課件2.

求兩個頂點之間的一條路徑長度最短的路徑

若兩個頂點之間存在多條路徑，則其中必有一條路徑長度最短的路徑。如何求得這條路徑?7/22/202358精選課件abchdekfg因此，求路徑長度最短的路徑可以基于廣度優(yōu)先搜索遍歷進行，但需要修改鏈隊列的結(jié)點結(jié)構(gòu)及其入隊列和出隊列的算法。深度優(yōu)先搜索訪問頂點的次序取決于圖的存儲結(jié)構(gòu)，而廣度優(yōu)先搜索訪問頂點的次序是按“路徑長度”漸增的次序。7/22/202359精選課件例如:求下圖中頂點3至頂點5的一條最短路徑。鏈隊列的狀態(tài)如下所示:

312475

Q.front

Q.rear3214756897/22/202360精選課件1)將鏈隊列的結(jié)點改為“雙鏈”結(jié)點。即結(jié)點中包含next和prior兩個指針；2)修改入隊列的操作。插入新的隊尾結(jié)點時，令其prior域的指針指向剛剛出隊列的結(jié)點，即當前的隊頭指針所指結(jié)點；3)修改出隊列的操作。出隊列時，僅移動隊頭指針，而不將隊頭結(jié)點從鏈表中刪除。7/22/202361精選課件typedef

DuLinkListQueuePtr;

voidInitQueue(LinkQueue&Q){

Q.front=Q.rear=(QueuePtr)malloc(sizeof(QNode));

Q.front->next=Q.rear->next=NULL}voidEnQueue(LinkQueue&Q,QelemTypee){p=(QueuePtr)malloc(sizeof(QNode));p->data=e;p->next=NULL;

p->prior=Q.front

Q.rear->next=p;Q.rear=p;}voidDeQueue(LinkQueue&Q,QelemType&e){

Q.front=Q.front->next;e=Q.front->data}7/22/202362精選課件7.4(連通網(wǎng)的)最小生成樹

假設要在n個城市之間建立通訊聯(lián)絡網(wǎng)，則連通n個城市只需要修建n-1條線路，如何在最節(jié)省經(jīng)費的前提下建立這個通訊網(wǎng)？問題：7/22/202363精選課件構(gòu)造網(wǎng)的一棵最小生成樹，即：在e條帶權(quán)的邊中選取n-1條邊（不構(gòu)成回路），使“權(quán)值之和”為最小。算法二：（克魯斯卡爾算法）該問題等價于：算法一：（普里姆算法）7/22/202364精選課件

取圖中任意一個頂點v作為生成樹的根，之后往生成樹上添加新的頂點w。在待添加的頂點w和已經(jīng)在生成樹上的頂點v之間必定存在一條邊，并且該邊的權(quán)值在所有連通頂點v和w之間的邊中取值最小。之后繼續(xù)往生成樹上添加頂點，直至生成樹上含有n個頂點為止。普里姆算法的基本思想:7/22/202365精選課件abcdegf例如:195141827168213ae12dcbgf7148531621所得生成樹權(quán)值和=14+8+3+5+16+21=677/22/202366精選課件在生成樹的構(gòu)造過程中，圖中n個頂點分屬兩個集合：已落在生成樹上的頂點集U

和尚未落在生成樹上的頂點集V-U，則應在所有連通U中頂點和V-U中頂點的邊中選取權(quán)值最小的邊。

一般情況下所添加的頂點應滿足下列條件:7/22/202367精選課件設置一個輔助數(shù)組，對當前V－U集中的每個頂點，記錄和頂點集U中頂點相連接的代價最小的邊：struct{VertexTypeadjvex;//U集中的頂點序號VRTypelowcost;//邊的權(quán)值}closedge[MAX_VERTEX_NUM];7/22/202368精選課件abcdegf195141827168213ae12dcb7aaa19141814例如:e12ee8168d3dd7213c557/22/202369精選課件voidMiniSpanTree_P(MGraphG,VertexTypeu){//用普里姆算法從頂點u出發(fā)構(gòu)造網(wǎng)G的最小生成樹

k=LocateVex(G,u);

for(j=0;j<G.vexnum;++j)//輔助數(shù)組初始化

if(j!=k)

closedge[j]={u,G.arcs[k][j].adj};

closedge[k].lowcost=0;//初始，U＝{u}

for(i=0;i<G.vexnum;++i){}繼續(xù)向生成樹上添加頂點;7/22/202370精選課件

k=minimum(closedge);

//求出加入生成樹的下一個頂點(k)

printf(closedge[k].adjvex,G.vexs[k]);//輸出生成樹上一條邊closedge[k].lowcost=0;//第k頂點并入U集for(j=0;j<G.vexnum;++j)//修改其它頂點的最小邊

if(G.arcs[k][j].adj<closedge[j].lowcost)closedge[j]={G.vexs[k],G.arcs[k][j].adj};7/22/202371精選課件具體做法:先構(gòu)造一個只含n個頂點的子圖SG，然后從權(quán)值最小的邊開始，若它的添加不使SG中產(chǎn)生回路，則在SG上加上這條邊，如此重復，直至加上n-1條邊為止。考慮問題的出發(fā)點:為使生成樹上邊的權(quán)值之和達到最小，則應使生成樹中每一條邊的權(quán)值盡可能地小?？唆斔箍査惴ǖ幕舅枷耄?/22/202372精選課件abcdegf195141827168213ae12dcbgf7148531621例如:71218197/22/202373精選課件算法描述:構(gòu)造非連通圖ST=(V,{});k=i=0;//k計選中的邊數(shù)while(k<n-1){++i;檢查邊集E中第i條權(quán)值最小的邊(u,v);

若(u,v)加入ST后不使ST中產(chǎn)生回路，

則輸出邊(u,v);

且k++;}7/22/202374精選課件普里姆算法克魯斯卡爾算法時間復雜度O(n2)O(eloge)稠密圖稀疏圖算法名適應范圍比較兩種算法7/22/202375精選課件7.5重（雙）連通圖和關節(jié)點

若從一個連通圖中刪去任何一個頂點及其相關聯(lián)的邊，它仍為一個連通圖的話，則該連通圖被稱為重（雙）連通圖。問題：7/22/202376精選課件

若連通圖中的某個頂點和其相關聯(lián)的邊被刪去之后，該連通圖被分割成兩個或兩個以上的連通分量，則稱此頂點為關節(jié)點。沒有關節(jié)點的連通圖為雙連通圖。如何判別給定的連通圖是否是雙連通圖？7/22/202377精選課件ahgcbfdeabcdefgh1234567833111111例如:下列連通圖中，頂點a和頂點c是關節(jié)點深度優(yōu)先生成樹7/22/202378精選課件關節(jié)點有何特征？

假設從某個頂點V0出發(fā)對連通圖進行深度優(yōu)先搜索遍歷，則可得到一棵深度優(yōu)先生成樹，樹上包含圖的所有頂點。需借助圖的深度優(yōu)先生成樹來分析。7/22/202379精選課件

若生成樹的根結(jié)點，有兩個或兩個以上的分支，則此頂點(生成樹的根)必為關節(jié)點；

對生成樹上的任意一個“頂點”，若其某棵子樹的根或子樹中的其它“頂點”沒有和其祖先相通的回邊，則該“頂點”必為關節(jié)點。7/22/202380精選課件對上述兩個判定準則在算法中如何實現(xiàn)？7/22/202381精選課件1)設V0為深度優(yōu)先遍歷的出發(fā)點

p=G.vertices[0].firstarc;v=p->adjvex;

DFSArticul(G,v);

//從第v頂點出發(fā)深度優(yōu)先搜索

if

(count<G.vexnum)

{

//生成樹的根有至少兩棵子樹

printf(0,G.vertices[0].data);

//根是關節(jié)點7/22/202382精選課件2)定義函數(shù):low(v)=Min{visited[v],low[w],visited[k]}

其中:頂點w

是生成樹上頂點v

的孩子；頂點k

是生成樹上和頂點v由回邊相聯(lián)接的祖先；visited記錄深度優(yōu)先遍歷時的訪問次序

若對頂點v，在生成樹上存在一個子樹根w，

且

low[w]≥visited[v]

則頂點v為關節(jié)點。7/22/202383精選課件對深度優(yōu)先遍歷算法作如下修改：1．visited[v]的值改為遍歷過程中頂點的訪問次序count值；

2．遍歷過程中求得

low[v]=Min{visited[v],low[w],visited[k]}3．從子樹遍歷返回時，判別low[w]≥visited[v]?7/22/202384精選課件for(p=G.vertices[v0].firstarc;p;p=p->nextarc){

}voidDFSArticul(ALGraphG,intv0){//從第v0個頂點出發(fā)深度優(yōu)先遍歷圖G,

//查找并輸出關節(jié)點}//DFSArticulmin=visited[v0]=++count;//v0是第count個訪問的頂點,并設low[v0]的初值為min

//檢查v0的每個鄰接點low[v0]=min;7/22/202385精選課件

w=p->adjvex;//w為v0的鄰接頂點

if(visited[w]==0){//w未曾被訪問DFSArticul(G,w);//返回前求得low[w]

}

else//w是回邊上的頂點if(low[w]<min)min=low[w];

if(low[w]>=visited[v0])

printf(v0,G.vertices[v0].data);

//輸出關節(jié)點if(visited[w]<min)min=visited[w];7/22/202386精選課件7.6兩點之間的

最短路徑問題求從某個源點到其余各點的最短路徑每一對頂點之間的最短路徑

7/22/202387精選課件求從源點到其余各點的最短路徑的算法的基本思想:依最短路徑的長度遞增的次序求得各條路徑源點v1…其中，從源點到頂點v的最短路徑是所有路徑中長度最短者。v27/22/202388精選課件在這條路徑上，必定只含一條弧，并且這條弧的權(quán)值最小。下一條路徑長度次短的最短路徑的特點：路徑長度最短的最短路徑的特點：它只可能有兩種情況：或者是直接從源點到該點(只含一條弧)；或者是從源點經(jīng)過頂點v1，再到達該頂點(由兩條弧組成)。7/22/202389精選課件其余最短路徑的特點：再下一條路徑長度次短的最短路徑的特點:它可能有三種情況：或者是直接從源點到該點(只含一條弧)；或者是從源點經(jīng)過頂點v1，再到達該頂點(由兩條弧組成)；或者是從源點經(jīng)過頂點v2，再到達該頂點。它或者是直接從源點到該點(只含一條弧)；或者是從源點經(jīng)過已求得最短路徑的頂點，再到達該頂點。7/22/202390精選課件求最短路徑的迪杰斯特拉算法：一般情況下，Dist[k]=<源點到頂點k的弧上的權(quán)值>或者=<源點到其它頂點的路徑長度>

+<其它頂點到頂點k的弧上的權(quán)值>。

設置輔助數(shù)組Dist，其中每個分量Dist[k]表示

當前所求得的從源點到其余各頂點k的最短路徑。7/22/202391精選課件1）在所有從源點出發(fā)的弧中選取一條權(quán)值最小的弧，即為第一條最短路徑。2）修改其它各頂點的Dist[k]值。假設求得最短路徑的頂點為u，若Dist[u]+G.arcs[u][k]<Dist[k]則將Dist[k]改為Dist[u]+G.arcs[u][k]。V0和k之間存在弧V0和k之間不存在弧其中的最小值即為最短路徑的長度。7/22/202392精選課件求每一對頂點之間的最短路徑弗洛伊德算法的基本思想是：從vi到vj的所有可能存在的路徑中，選出一條長度最短的路徑。7/22/202393精選課件若<vi,vj>存在，則存在路徑{vi,vj}//路徑中不含其它頂點若<vi,v1>,<v1,vj>存在，則存在路徑{vi,v1,vj}//路徑中所含頂點序號不大于1若{vi,…,v2},{v2,…,vj}存在，則存在一條路徑{vi,…,v2,…vj}//路徑中所含頂點序號不大于2…依次類推，則vi至vj的最短路徑應是上述這些路徑中，路徑長度最小者。7/22/202394精選課件7.7拓撲排序

問題:

假設以有向圖表示一個工程的施工圖或程序的數(shù)據(jù)流圖，則圖中不允許出現(xiàn)回路。

檢查有向圖中是否存在回路的方法之一，是對有向圖進行拓撲排序。7/22/202395精選課件何謂“拓撲排序”？對有向圖進行如下操作：

按照有向圖給出的次序關系，將圖中頂點排成一個線性序列，對于有向圖中沒有限定次序關系的頂點，則可以人為加上任意的次序關系。7/22/202396精選課件例如：對于下列有向圖BDAC可求得拓撲有序序列：

ABCD

或

ACBD由此所得頂點的線性序列稱之為拓撲有序序列7/22/202397精選課件BDAC反之，對于下列有向圖不能求得它的拓撲有序序列。因為圖中存在一個回路{B,C,D}7/22/202398精選課件如何進行拓撲排序？一、從有向圖中選取一個沒有前驅(qū)的頂點，并輸出之；

重復上述兩步，直至圖空，或者圖不空但找不到無前驅(qū)的頂點為止。二、從有向圖中刪去此頂點以及所

有以它為尾的?。?/22/202399精選課件abcghdfeabhcdgfe在算法中需要用定量的描述替代定性的概念

沒有前驅(qū)的頂點入度為零的頂點刪除頂點及以它為尾的弧弧頭頂點的入度減17/22/2023100精選課件取入度為零的頂點v;while(v<>0){

printf(v);++m;w:=FirstAdj(v);

while(w<>0){inDegree[w]--;w:=nextAdj(v,w);

}取下一個入度為零的頂點v;}ifm<nprintf(“圖中有回路”);算法描述7/22/2023101精選課件為避免每次都要搜索入度為零的頂點，在算法中設置一個“?！保员４妗叭攵葹榱恪钡捻旤c。CountInDegree(G,indegree);//對各頂點求入度InitSta