2022-2023學(xué)年安徽省亳州市渦陽(yáng)二中等校聯(lián)考高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷

2022-2023學(xué)年安徽省亳州市渦陽(yáng)二中等校聯(lián)考高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．某數(shù)學(xué)興趣小組有10名同學(xué)，在一次數(shù)學(xué)競(jìng)賽中成績(jī)的名次由小到大排列分別是2，4，5，x，11，14，15，39，41，50．若該小組成績(jī)名次的40%分位數(shù)是9.5，則x＝（）A．9 B．8 C．7 D．62．已知，則＝（）A． B． C． D．3．在△ABC中，“A＝B”是“sin2A＝sin2B”的（）A．必要不充分條件 B．充分不必要條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．現(xiàn)有10名北京冬奧會(huì)志愿者，其中2名女志愿者和8名男志愿者，從中隨機(jī)地接連抽取3名（每次取一個(gè)），派往參與花樣滑冰項(xiàng)目的志愿者服務(wù)．則“恰有一名女志愿者”的概率是（）A． B． C． D．5．已知正實(shí)數(shù)m，n滿足m+n＝1，則的最大值是（）A．2 B． C． D．6．黃鶴樓，位于湖北省武漢市武昌區(qū)，地處蛇山之巔，瀕臨萬(wàn)里長(zhǎng)江，為武漢市地標(biāo)建筑．某同學(xué)為了估算黃鶴樓的高度，在大樓的一側(cè)找到一座高為的建筑物AB，在它們之間的地面上的點(diǎn)M（B，M，D三點(diǎn)共線）處測(cè)得樓頂A、樓頂C的仰角分別是15°和60°，在樓頂A處測(cè)得樓頂C的仰角為15°，則估算黃鶴樓的高度CD為（）A． B． C． D．7．一個(gè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是半徑為2的半圓，則此圓錐內(nèi)切球的體積是（）A． B． C．3π D．8．在銳角△ABC中，三內(nèi)角A，B，C對(duì)應(yīng)的邊分別為a，b，c，且．則的取值范圍是（）A． B． C． D．二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，選對(duì)但不全的得2分，有選錯(cuò)的得0分。（多選）9．對(duì)于函數(shù)f（x）＝sinx+有如下四個(gè)判斷，其中判斷正確的是（）A．f（x）的定義域是{x|x≠kπ，k∈Z} B．f（x）的最小值是2 C．π是f（x）的最小正周期 D．f（x）的圖象關(guān)于直線x＝對(duì)稱（多選）10．設(shè)z1，z2是復(fù)數(shù)，，是其共軛復(fù)數(shù)，則下列命題中正確的是（）A．若，則z1＝z2＝0 B．若z1+z2＝z1﹣z2，則z1?z2＝0 C．若，則z1＝z2 D．若為實(shí)數(shù)，則z1為實(shí)數(shù)（多選）11．在四棱錐S﹣ABCD中，SD⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，則下列結(jié)論中正確的是（）A．BC∥平面SAD B．AC與SB所成的角為60° C．平面SDC⊥平面ABCD D．BD與平面SCD所成角為45°（多選）12．某校開(kāi)展數(shù)理化競(jìng)賽，甲組有10位選手，其中數(shù)學(xué)5人，物理2人，化學(xué)3人；乙組也有10位選手，其中數(shù)學(xué)4人，物理3人，化學(xué)3人．先從甲組中隨機(jī)選出一人放到乙組，分別以A1，A2和A3表示由甲組選出的是數(shù)學(xué)、物理和化學(xué)的事件；再?gòu)囊医M中隨機(jī)選出一人，以B表示由乙組選出的人是數(shù)學(xué)選手的事件，則下列結(jié)論中正確的是（）A． B．A1，A2，A3是兩兩互斥的事件 C．事件B與事件A1相互獨(dú)立 D．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．計(jì)算的值是．14．已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長(zhǎng)是4，P是棱BC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A、P、C1的平面截該正方體得到的多邊形為α，則α的面積是．15．定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（x+3）+f（x+1）＝f（2），則f（2024）的值是．16．已知向量，的夾角為θ，||＝1，||＝2，且對(duì)任意的λ＜0，|﹣λ|的最小值是，則θ的大小為．四、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．已知函數(shù)，a∈R．（1）若f（x）為偶函數(shù)，求a的值；（2）令g（x）＝f（x）﹣（a+1）．若函數(shù)g（x）在[﹣1，1]上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求a的取值范圍．18．設(shè)a是實(shí)數(shù)，復(fù)數(shù)（a﹣i）（2i+1）（i是虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限．（1）求a的取值范圍；（2）若a取負(fù)整數(shù)，復(fù)數(shù)z滿足2z﹣|z|＝a﹣3i3，求z．19．如圖，在△ABC中，三內(nèi)角A，B，C對(duì)應(yīng)的邊分別為a，b，c，點(diǎn)E是邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)D是邊AC上一點(diǎn)，BD，CE相交于點(diǎn)P，且．（1）若，求實(shí)數(shù)λ的值；（2）若，證明：a2+3b2＝3c2．20．如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，側(cè)棱AA1⊥平面ABC，∠BAC＝90°，AB＝AC，E是棱BB1上的動(dòng)點(diǎn)，D是棱BC的中點(diǎn)．（1）證明：AD⊥C1E；（2）若四棱錐D﹣AA1B1B的體積是，且AA1＝2，求△ABC的面積．21．在△ABC中，三內(nèi)角A，B，C對(duì)應(yīng)的邊分別為a，b，c，．（1）求角C的大??；（2）若E是邊AB上的點(diǎn)，且BE＝CE＝3EA，求tanB的值．22．“以任意三角形的三條邊為邊，向外作三個(gè)等邊三角形，則這三個(gè)等邊三角形的外接圓的圓心組成一個(gè)等邊三角形”，這就是著名的拿破侖定理，在△ABC中，∠A＝120°，以AB，BC，AC為邊向外作三個(gè)等邊三角形，其外接圓圓心依次是O1，O2，O3．已知△O1O2O3的面積是，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，請(qǐng)利用拿破侖定理、坐標(biāo)法和解三角形等相關(guān)知識(shí)解決以下兩個(gè)問(wèn)題：（1）求AB+AC的值；（2）求△ABC周長(zhǎng)的取值范圍．

參考答案一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．某數(shù)學(xué)興趣小組有10名同學(xué)，在一次數(shù)學(xué)競(jìng)賽中成績(jī)的名次由小到大排列分別是2，4，5，x，11，14，15，39，41，50．若該小組成績(jī)名次的40%分位數(shù)是9.5，則x＝（）A．9 B．8 C．7 D．6【分析】根據(jù)百分位數(shù)的定義，計(jì)算即可．解：40%×10＝4，故40%分位數(shù)是第4、第5個(gè)名次數(shù)的平均值，即9.5，因此，解得x＝8．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查百分位數(shù)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．2．已知，則＝（）A． B． C． D．【分析】由已知函數(shù)解析式代入即可直接求解．解：因?yàn)?，所以．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了函數(shù)值的求解，屬于基礎(chǔ)題．3．在△ABC中，“A＝B”是“sin2A＝sin2B”的（）A．必要不充分條件 B．充分不必要條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【分析】根據(jù)充分必要條件的定義判斷．解：A＝B時(shí)，sin2A＝sin2B，充分性滿足，當(dāng)時(shí)，，必要性不滿足，所以“A＝B”是“sin2A＝sin2B”的充分不必要條件．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了充分條件和必要條件的定義，屬于基礎(chǔ)題．4．現(xiàn)有10名北京冬奧會(huì)志愿者，其中2名女志愿者和8名男志愿者，從中隨機(jī)地接連抽取3名（每次取一個(gè)），派往參與花樣滑冰項(xiàng)目的志愿者服務(wù)．則“恰有一名女志愿者”的概率是（）A． B． C． D．【分析】隨機(jī)地接連抽取3名志愿者（每次取一個(gè)），恰有一名女志愿者”可分3類：僅第一次、僅第二次、僅第三次取到女志愿者，由此計(jì)算即可．解：設(shè)C1，C2，C3分別為僅第一次、僅第二次、僅第三次取到女志愿者的事件，且事件C1，C2，C3互斥，則；；；則“恰有一名女志愿者”的概率為．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查互斥時(shí)間的概率公式，屬于基礎(chǔ)題．5．已知正實(shí)數(shù)m，n滿足m+n＝1，則的最大值是（）A．2 B． C． D．【分析】由已知結(jié)合基本不等式即可直接求解．解：由基本不等式可知，，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了基本不等式在最值求解中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．6．黃鶴樓，位于湖北省武漢市武昌區(qū)，地處蛇山之巔，瀕臨萬(wàn)里長(zhǎng)江，為武漢市地標(biāo)建筑．某同學(xué)為了估算黃鶴樓的高度，在大樓的一側(cè)找到一座高為的建筑物AB，在它們之間的地面上的點(diǎn)M（B，M，D三點(diǎn)共線）處測(cè)得樓頂A、樓頂C的仰角分別是15°和60°，在樓頂A處測(cè)得樓頂C的仰角為15°，則估算黃鶴樓的高度CD為（）A． B． C． D．【分析】Rt△ABM中求得AM，在△ACM中運(yùn)用正弦定理求得CM，解Rt△CDM求得CD的值．解：在Rt△ABM中，AM＝，在△ACM中，∠CAM＝15°+15°＝30°，∠AMC＝180°﹣15°﹣60°＝105°，所以∠ACM＝180°﹣30°﹣105°＝45°，由正弦定理，＝，故CM＝＝＝60，在Rt△CDM中，CD＝CMsin60°＝60×＝30（m）．所以估算黃鶴樓的高度CD為30m．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的正弦定理和解三角形的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了方程思想和運(yùn)算求解能力，是中檔題．7．一個(gè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是半徑為2的半圓，則此圓錐內(nèi)切球的體積是（）A． B． C．3π D．【分析】求解圓錐的底面半徑與高，然后求解內(nèi)切球的半徑，即可求解球的體積解：設(shè)圓錐的底面半徑是r，母線為l，圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是半徑為2的半圓，則l＝2，2πr＝2π，r＝1．圓錐的高．如圖：SO＝h，O′為內(nèi)切球的球心，設(shè)圓錐內(nèi)切球的半徑是R，則，即，解得．因此圓錐內(nèi)切球的體積是．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查幾何體內(nèi)切球的體積的求法，考查空間想象能力，轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力，是中檔題．8．在銳角△ABC中，三內(nèi)角A，B，C對(duì)應(yīng)的邊分別為a，b，c，且．則的取值范圍是（）A． B． C． D．【分析】由題意利用正弦定理可得，進(jìn)而可求A的值，可求，利用正弦定理以及正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解的取值范圍．解：因?yàn)?，可得sinA＝，又，所以利用正弦定理可得，因?yàn)?，，所以，而，所以，即B+C＝5A，因此6A＝π，可得，由和得到，，因此，，于是．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正弦定理以及正弦函數(shù)的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想和函數(shù)思想的應(yīng)用，屬于中檔題．二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，選對(duì)但不全的得2分，有選錯(cuò)的得0分。（多選）9．對(duì)于函數(shù)f（x）＝sinx+有如下四個(gè)判斷，其中判斷正確的是（）A．f（x）的定義域是{x|x≠kπ，k∈Z} B．f（x）的最小值是2 C．π是f（x）的最小正周期 D．f（x）的圖象關(guān)于直線x＝對(duì)稱【分析】直接利用函數(shù)的性質(zhì)及函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用判斷A、B、C、D的結(jié)論．解：函數(shù)f（x）＝sinx+，對(duì)于A：定義域是{x|x≠kπ，k∈Z}，故A正確，對(duì)于B：當(dāng)sinx＝﹣1時(shí)，函數(shù)的值為﹣2，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：函數(shù)滿足f（x+2π）＝f（x），故函數(shù)的最小正周期為2π，故C錯(cuò)誤．對(duì)于D：函數(shù)f（x）滿足f（π﹣x）＝f（x），故函數(shù)的圖象關(guān)于直線x＝對(duì)稱，故D正確．故選：AD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：三角函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)的對(duì)稱性和定義域及值域的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于基礎(chǔ)題．（多選）10．設(shè)z1，z2是復(fù)數(shù)，，是其共軛復(fù)數(shù)，則下列命題中正確的是（）A．若，則z1＝z2＝0 B．若z1+z2＝z1﹣z2，則z1?z2＝0 C．若，則z1＝z2 D．若為實(shí)數(shù)，則z1為實(shí)數(shù)【分析】對(duì)于AC，結(jié)合特例，即可判斷；對(duì)于B，結(jié)合復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，即可求解；對(duì)于D，結(jié)合復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，以及共軛復(fù)數(shù)的定義，即可求解．解：對(duì)A，取z1＝1，z2＝i，則，但z1≠0，z2≠0，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，z1+z2＝z1﹣z2，解得z2＝0，則z1?z2＝0，故B正確；對(duì)C，，則|z1|＝|z2|，顯然|i|＝|﹣i|，但i≠﹣i，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，設(shè)z1＝a+bi，則，因此，b＝0，則z1為實(shí)數(shù)，故D正確．故選：BD．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎(chǔ)題．（多選）11．在四棱錐S﹣ABCD中，SD⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，則下列結(jié)論中正確的是（）A．BC∥平面SAD B．AC與SB所成的角為60° C．平面SDC⊥平面ABCD D．BD與平面SCD所成角為45°【分析】選項(xiàng)A，由線面平行的判定定理，可判斷；選項(xiàng)B，由AC⊥SD，AC⊥BD，可證AC⊥平面SBD，知AC⊥SB；選項(xiàng)C，由面面垂直的判定定理，可判斷；選項(xiàng)D，由SD⊥BC，CD⊥BC，知BC⊥平面SCD，從而有∠BDC即為所求，得解．解：對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)榈酌鍭BCD是正方形，所以BC∥AD，又BC?平面SAD，AD?平面SAD，所以BC∥平面SAD，即選項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，因?yàn)镾D⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，所以AC⊥SD，又底面ABCD是正方形，所以AC⊥BD，因?yàn)镾D∩BD＝D，SD、BD?平面SBD，所以AC⊥平面SBD，因?yàn)镾B?平面SBD，所以AC⊥SB，即AC與SB所成的角為90°，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，因?yàn)镾D⊥平面ABCD，SD?平面SDC，所以平面SDC⊥平面ABCD，即選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，因?yàn)镾D⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，所以SD⊥BC，又CD⊥BC，且SD∩CD＝D，SD、CD?平面SCD，所以BC⊥平面SCD，所以∠BDC為直線BD與平面SCD所成角，而∠BDC＝45°，故選項(xiàng)D正確．故選：ACD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間角的求法，空間中線與面的位置關(guān)系，熟練掌握線面平行的判定定理，線面、面面垂直的判定定理以及線面角的定義是解題的關(guān)鍵，考查空間立體感、推理論證能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題．（多選）12．某校開(kāi)展數(shù)理化競(jìng)賽，甲組有10位選手，其中數(shù)學(xué)5人，物理2人，化學(xué)3人；乙組也有10位選手，其中數(shù)學(xué)4人，物理3人，化學(xué)3人．先從甲組中隨機(jī)選出一人放到乙組，分別以A1，A2和A3表示由甲組選出的是數(shù)學(xué)、物理和化學(xué)的事件；再?gòu)囊医M中隨機(jī)選出一人，以B表示由乙組選出的人是數(shù)學(xué)選手的事件，則下列結(jié)論中正確的是（）A． B．A1，A2，A3是兩兩互斥的事件 C．事件B與事件A1相互獨(dú)立 D．【分析】根據(jù)題意，由古典概型公式可得A正確，由互斥事件的定義可得B正確，由相互獨(dú)立事件定義可得C錯(cuò)誤，由全概率公式可得D正確，綜合可得答案．解：根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：對(duì)于A，甲組有10位選手，其中數(shù)學(xué)5人，則，A正確；對(duì)于B，甲組選出的可以是數(shù)學(xué)、物理和化學(xué)，分成三類，且互斥，B正確；對(duì)于C，顯然事件A1是否發(fā)生影響到事件B，事件B與事件A1不獨(dú)立，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由全概率公式，，D正確．故選：ABD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查全概率公式，涉及古典概型和互斥事件的定義，屬于基礎(chǔ)題．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．計(jì)算的值是﹣．【分析】由二倍角公式化簡(jiǎn)即得．解：＝＝＝．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二倍角公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．14．已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長(zhǎng)是4，P是棱BC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A、P、C1的平面截該正方體得到的多邊形為α，則α的面積是8．【分析】根據(jù)題意，取A1D1的中點(diǎn)Q，連接AQ、AP、PC1、C1Q，分析可得四邊形APC1Q就是截面多邊形為α，進(jìn)而可得截面α是菱形，求出其對(duì)角線的長(zhǎng)，計(jì)算可得答案．解：根據(jù)題意，如圖：取A1D1的中點(diǎn)Q，連接AQ、AP、PC1、C1Q，易得AP∥QC1，PC1∥AQ，則A、P、C1、Q四點(diǎn)共面，故平行四邊形APC1Q就是截面多邊形為α，又由AP＝PC1＝AQ＝QC1，則截面α是菱形，其兩條對(duì)角線長(zhǎng)分別是和，故截面α的面積是．故答案為：8．【點(diǎn)評(píng)】本題考查棱柱的結(jié)構(gòu)特征，涉及平面截棱柱所得截面的問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題．15．定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（x+3）+f（x+1）＝f（2），則f（2024）的值是0．【分析】根據(jù)題意，先分析函數(shù)的周期，利用特殊值求出f（0）的值，進(jìn)而分析可得答案．解：根據(jù)題意，由于f（x+3）+f（x+1）＝f（2）①，變形可得f（x+1）+f（x﹣1）＝f（2）②，①﹣②可得：f（x+3）＝f（x﹣1），即f（x+4）＝f（x），則f（x）是周期為4的周期函數(shù)；在f（x+3）+f（x+1）＝f（2）中，令x＝﹣1，則f（2）+f（0）＝f（2），所以f（0）＝0，則f（2024）＝f（0+506×4）＝f（0）＝0，即f（2024）＝0．故答案為：0．【點(diǎn)評(píng)】本題考查抽象函數(shù)的求值，涉及函數(shù)的周期性，屬于基礎(chǔ)題．16．已知向量，的夾角為θ，||＝1，||＝2，且對(duì)任意的λ＜0，|﹣λ|的最小值是，則θ的大小為120°．【分析】先對(duì)向量的模長(zhǎng)平方得到，再根據(jù)運(yùn)算即可得到，進(jìn)一步計(jì)算即可．解：已知向量，的夾角為θ，||＝1，||＝2，所以＝1﹣4λcosθ+4λ2＝＝＝，又，所以，即．因?yàn)棣取蔥0，π]，所以，θ＝60°或120°．驗(yàn)證知，θ＝120°，故答案為：120°．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查向量的模長(zhǎng)公式以及數(shù)量積運(yùn)算，屬于中檔題．四、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．已知函數(shù)，a∈R．（1）若f（x）為偶函數(shù)，求a的值；（2）令g（x）＝f（x）﹣（a+1）．若函數(shù)g（x）在[﹣1，1]上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求a的取值范圍．【分析】（1）根據(jù)題意，由偶函數(shù)的定義可得f（﹣x）＝f（x），即，變形分析可得答案；（2）根據(jù)題意，令g（x）＝0分析可得x1＝log3a，x2＝0，分析可得﹣1≤log3a≤1且log3a≠0，解可得答案．解：（1）根據(jù)題意，函數(shù)為偶函數(shù)，則有f（﹣x）＝f（x），即，變形可得：（a﹣1）（9x﹣1）＝0，故a＝1，（2）根據(jù)題意，若g（x）＝f（x）﹣（a+1）＝0，則有，變形可得9x﹣（a+1）?3x+a＝0，則有（3x﹣a）?（3x﹣1）＝0，解可得：x1＝log3a，x2＝0．若函數(shù)g（x）在[﹣1，1]上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，而0∈[﹣1，1]，必有﹣1≤log3a≤1且log3a≠0，解得，且a≠1；故a的取值范圍是．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)零點(diǎn)與方程根的關(guān)系，涉及對(duì)數(shù)的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．18．設(shè)a是實(shí)數(shù)，復(fù)數(shù)（a﹣i）（2i+1）（i是虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限．（1）求a的取值范圍；（2）若a取負(fù)整數(shù)，復(fù)數(shù)z滿足2z﹣|z|＝a﹣3i3，求z．【分析】（1）根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，以及復(fù)數(shù)的幾何意義，即可求解；（2）根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)模公式，以及復(fù)數(shù)相等的條件，即可求解．解：（1）（a﹣i）（2i+1）＝a+2+（2a﹣1）i，則a+2＞0，且2a﹣1＜0，解得．故a的取值范圍是；（2）因?yàn)?，且a取負(fù)整數(shù)，所以a＝﹣1，設(shè)z＝b+ci，b，c∈R．則2z﹣|z|＝a﹣2i3，即，所以，解得b＝0，c＝1，故z＝i．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．19．如圖，在△ABC中，三內(nèi)角A，B，C對(duì)應(yīng)的邊分別為a，b，c，點(diǎn)E是邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)D是邊AC上一點(diǎn)，BD，CE相交于點(diǎn)P，且．（1）若，求實(shí)數(shù)λ的值；（2）若，證明：a2+3b2＝3c2．【分析】（1）由平面向量的線性運(yùn)算和平面向量基本定理即可求得；（2）由平面向量垂直的性質(zhì)和余弦定理化簡(jiǎn)即可．解：（1）因?yàn)锽，P，D三點(diǎn)共線，所以存在實(shí)數(shù)m，使，與條件比較，得到且，故；證明：（2）∵，＝，∴＝＝＝＝＝0，即，化簡(jiǎn)整理得：a2+3b2＝3c2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面向量的線性運(yùn)算，夾角與數(shù)量積，余弦定理的綜合，屬于中檔題．20．如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，側(cè)棱AA1⊥平面ABC，∠BAC＝90°，AB＝AC，E是棱BB1上的動(dòng)點(diǎn)，D是棱BC的中點(diǎn)．（1）證明：AD⊥C1E；（2）若四棱錐D﹣AA1B1B的體積是，且AA1＝2，求△ABC的面積．【分析】（1）根據(jù)AA1⊥平面ABC，得出CC1⊥平面ABC，平面ABC⊥平面BCC1B1，再證明AD⊥BC，得出AD⊥平面CBB1C1，即可證明AD⊥C1E．（2）根據(jù)四棱錐D﹣AA1B1B的體積為AA1?AB?DF，求出AD?DF的值，從而求出△ABC的面積．【解答】（1）證明：因?yàn)锳A1⊥平面ABC，AA1∥CC1，所以CC1⊥平面ABC，又CC1?平面BCC1B1，所以平面ABC⊥平面BCC1B1，因?yàn)槔釨C的中點(diǎn)為D，且△ABC是等腰三角形，所以AD⊥BC，又AD?平面ABC，平面ABC?平面CBB1C1＝BC，所以AD⊥平面CBB1C1，又因?yàn)镃1E?面CBB1C1，所以AD⊥C1E．（2）解：過(guò)點(diǎn)