離散數(shù)學(xué)-集合證明課件

離散數(shù)學(xué)集合證明離散數(shù)學(xué)集合證明離散數(shù)學(xué)集合證明第4講集合恒等式內(nèi)容提要1.集合恒等式與對(duì)偶原理2.集合恒等式的證明3.集合列的極限4.集合論悖論與集合論公理2020/229《集合論與圖論》第4講集合恒等式(關(guān)于∪與⌒)等冪律(idempotentlaws)A∪A=AA⌒A=A交換律(commutativelaws)A∪B=BAA⌒B=BA2020/229《集合論與圖論》第4講通常而言，自主學(xué)習(xí)能力較強(qiáng)的學(xué)生，學(xué)習(xí)興趣濃厚，學(xué)習(xí)熱情飽滿，敢于獨(dú)立探索，并善于與人交流。但在農(nóng)村中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，有相當(dāng)一部分學(xué)生缺乏獨(dú)立探索精神，自主學(xué)習(xí)能力較差，這就需要教師的正確引導(dǎo)與培養(yǎng)。因此，本文就農(nóng)村中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中對(duì)學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力的培養(yǎng)展開(kāi)了簡(jiǎn)要探討。一、培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力的重要性（一）自主學(xué)習(xí)有利于學(xué)習(xí)效果的提升對(duì)于中學(xué)生而言，自主學(xué)習(xí)主要表現(xiàn)為主動(dòng)自覺(jué)地確定學(xué)習(xí)目標(biāo)，并對(duì)學(xué)習(xí)過(guò)程進(jìn)行主動(dòng)的自我監(jiān)控，遇到學(xué)習(xí)難題通過(guò)獨(dú)立探索來(lái)解決，并對(duì)學(xué)習(xí)結(jié)果進(jìn)行主動(dòng)反思，指導(dǎo)其今后的學(xué)習(xí)行為。在這種學(xué)習(xí)方式下，學(xué)生的學(xué)習(xí)態(tài)度積極，學(xué)習(xí)目標(biāo)明確，學(xué)習(xí)過(guò)程充實(shí)，學(xué)習(xí)興趣濃厚，能實(shí)現(xiàn)主動(dòng)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題與獨(dú)立解決問(wèn)題的良性循環(huán)。這樣一來(lái)，學(xué)生的學(xué)習(xí)效率明顯提升，學(xué)習(xí)效果得以鞏固，在激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的同時(shí)，能有效提升學(xué)生的學(xué)習(xí)成績(jī)。（二）自主學(xué)習(xí)有利于學(xué)生的全面發(fā)展聯(lián)合國(guó)教科文組織出版的《學(xué)會(huì)生存》一書(shū)提到：“未來(lái)的文盲不是目不識(shí)丁的人，而是沒(méi)有學(xué)會(huì)怎樣學(xué)習(xí)的人?！庇纱丝梢?jiàn)，培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力對(duì)學(xué)生今后的發(fā)展可產(chǎn)生直接的影響。自主學(xué)習(xí)能夠充分挖掘?qū)W生的學(xué)習(xí)潛能，開(kāi)發(fā)學(xué)生的思維能力，發(fā)揮其主觀能動(dòng)性，通過(guò)獨(dú)立觀察、探索、思考與實(shí)踐，調(diào)動(dòng)其思維活躍性，并將知識(shí)納入到自己的知識(shí)結(jié)構(gòu)中，在充實(shí)頭腦的同時(shí)，開(kāi)拓視野，增長(zhǎng)見(jiàn)識(shí)，鍛煉思維，促進(jìn)全面發(fā)展與進(jìn)步。二、農(nóng)村中學(xué)生自主學(xué)習(xí)現(xiàn)狀與其他學(xué)科相比，數(shù)學(xué)課程具有較強(qiáng)的抽象性、應(yīng)用性與嚴(yán)格性，對(duì)學(xué)生的思維能力有一定的考驗(yàn)。對(duì)于思維能力較差的學(xué)生而言，數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)具有一定的難度，許多學(xué)生往往對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)提不起興趣，學(xué)習(xí)主動(dòng)性不高，更無(wú)法進(jìn)行自主學(xué)習(xí)。對(duì)于農(nóng)村中學(xué)生而言，因教學(xué)條件相對(duì)較差，教學(xué)方法與教學(xué)工具相對(duì)落后，教師對(duì)許多數(shù)學(xué)知識(shí)的講授還停留在口頭講授或“粉筆+黑板”傳統(tǒng)教具組合的水平，導(dǎo)致學(xué)生對(duì)抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)理解起來(lái)較為困難，久而久之對(duì)數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)失去興趣，更談不上主動(dòng)探索數(shù)學(xué)知識(shí)，實(shí)現(xiàn)自主學(xué)習(xí)。從當(dāng)前數(shù)學(xué)教學(xué)現(xiàn)狀來(lái)看，有相當(dāng)一部分學(xué)生存在看不懂題意的現(xiàn)象。新課改實(shí)施背景下，有相當(dāng)一部分的數(shù)學(xué)課程知識(shí)與實(shí)際生活的聯(lián)系緊密，許多數(shù)學(xué)習(xí)題是以實(shí)際生活為例對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)的掌握情況進(jìn)行考查，因此，許多習(xí)題語(yǔ)言描述較多，學(xué)生必須在讀懂題意的基礎(chǔ)上解答題目，但因農(nóng)村學(xué)生的閱讀能力與理解能力普遍較差，因此理解題意較為困難，進(jìn)一步增加了解題難度，使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)課程更加提不起興趣。另外，與城市相比，農(nóng)村中學(xué)師資力量相對(duì)不足，有相當(dāng)一部分教師教學(xué)觀念陳舊，對(duì)新課改認(rèn)識(shí)不夠深入，忽略學(xué)生在課堂上的主體地位，沿用以往傳統(tǒng)落后的灌輸式教學(xué)講授數(shù)學(xué)課程，過(guò)多干涉學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程，使得學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的獲取往往處于被動(dòng)狀態(tài)，對(duì)教師的講解產(chǎn)生嚴(yán)重依賴，導(dǎo)致自主學(xué)習(xí)意識(shí)較差，無(wú)法養(yǎng)成良好的自主學(xué)習(xí)習(xí)慣，影響自主學(xué)習(xí)能力的培養(yǎng)。三、農(nóng)村中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中對(duì)學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力的培養(yǎng)途徑（一）注重對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的培養(yǎng)俗話說(shuō)，興趣是最好的老師。在農(nóng)村中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，要想培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力，教師就要首先注重對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的培養(yǎng)，以此喚醒學(xué)生的學(xué)習(xí)主動(dòng)性，激發(fā)其自主學(xué)習(xí)意識(shí)。具體而言，應(yīng)從以下兩點(diǎn)著手：第一，與學(xué)生建立良好的關(guān)系。在教?W活動(dòng)中，教師是引導(dǎo)者、組織者，對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程產(chǎn)生著直接的影響，甚至許多學(xué)生因?yàn)橄矚g教師，而喜歡該教師所授課程，因此教師應(yīng)充分發(fā)揮自身魅力，贏得學(xué)生的信任，使學(xué)生愛(ài)上數(shù)學(xué)。第二，關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)體驗(yàn)。良好的學(xué)習(xí)體驗(yàn)有利于學(xué)習(xí)興趣的激發(fā)，因此，教師應(yīng)在了解學(xué)生內(nèi)心需求與性格特點(diǎn)的基礎(chǔ)上，關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)體驗(yàn)，及時(shí)予以表?yè)P(yáng)與鼓勵(lì)，在批改作業(yè)時(shí)，多用鼓勵(lì)性語(yǔ)言，使學(xué)生獲得愉快的學(xué)習(xí)體驗(yàn)，并主動(dòng)參與的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中來(lái)。（二）尊重學(xué)生的課堂主體地位在自主學(xué)習(xí)活動(dòng)中，真正的主體是學(xué)生，教師的角色是引導(dǎo)者與幫助者，因此，教師應(yīng)正視自身定位，正確發(fā)揮自身引導(dǎo)作用，真正做到“以生為本”，尊重學(xué)生主觀意識(shí)的形成，發(fā)揮其主觀能動(dòng)性。具體而言，教師應(yīng)摒棄以往的“灌輸式”教學(xué)模式，改變“一言堂”教學(xué)現(xiàn)狀，將課堂主權(quán)交還給學(xué)生，引導(dǎo)學(xué)生大膽想象，善于發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，并敢于在課堂上發(fā)表個(gè)人看法，尊重學(xué)生的個(gè)性發(fā)展，允許課堂上存在不同的觀點(diǎn)與聲音。（三）巧設(shè)問(wèn)題情境，激發(fā)學(xué)生的主動(dòng)性數(shù)學(xué)課程具有較強(qiáng)的應(yīng)用性，對(duì)數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)最終目的是將其應(yīng)用到生活中，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題。因此，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)緊密聯(lián)系實(shí)際生活，多選擇與學(xué)生實(shí)際生活密切相關(guān)的例子引出數(shù)學(xué)問(wèn)題，創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，使學(xué)生在具體的情境中主動(dòng)探索與思考，解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，掌握數(shù)學(xué)知識(shí)。例如，在學(xué)習(xí)“二元一次方程”時(shí)，教師可向?qū)W生提出如下問(wèn)題：“王蘭、李淼的年齡相加是29歲，王蘭年齡的2倍比李淼的年齡大13歲，那么王蘭和李淼分別幾歲？”利用學(xué)生熟悉的問(wèn)題作為例子，使學(xué)生很快進(jìn)入到問(wèn)題情境中，并主動(dòng)運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)探求問(wèn)題的答案。如此一來(lái)，能充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的主動(dòng)性，提升自主學(xué)習(xí)能力。四、結(jié)語(yǔ)綜上所述，在新課改背景下，農(nóng)村教師應(yīng)與時(shí)俱進(jìn)，學(xué)會(huì)用發(fā)展的眼光看待數(shù)學(xué)教學(xué)，積極學(xué)習(xí)新理念，探索新型教學(xué)方法，強(qiáng)調(diào)學(xué)生的課堂主體地位，關(guān)注學(xué)生思維能力的發(fā)展與創(chuàng)新精神的培養(yǎng)，在教學(xué)實(shí)踐中注重對(duì)學(xué)生自主學(xué)習(xí)意識(shí)的激發(fā)，促進(jìn)其自主學(xué)習(xí)能力的提升，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)學(xué)生的全面發(fā)展。隨著信息時(shí)代的到來(lái)，信息技術(shù)的應(yīng)用已經(jīng)普及到社會(huì)各行業(yè)各個(gè)角落。計(jì)算機(jī)的作用已經(jīng)不是簡(jiǎn)單的用來(lái)玩游戲、看電影、聊天等，宏觀世界已經(jīng)不可替代的成為了現(xiàn)代辦公生活不可或缺的重要手段，搞好信息技術(shù)的教學(xué)，已經(jīng)是時(shí)代的迫切需要?，F(xiàn)階段素質(zhì)教育已經(jīng)將信息技術(shù)的教學(xué)提到了日程上來(lái)，加強(qiáng)農(nóng)村信息技術(shù)的教學(xué)是新課標(biāo)下對(duì)學(xué)校教育提出的新的挑戰(zhàn)。而學(xué)校特別是農(nóng)村學(xué)校目前的現(xiàn)狀和各類條件的限制，也為學(xué)校信息技術(shù)的教學(xué)提出了新的要求，結(jié)合自己工作的經(jīng)驗(yàn)，談?wù)勛约簩?duì)信息技術(shù)教學(xué)的幾點(diǎn)思考。一、信息技術(shù)課程目標(biāo)對(duì)師生都提出了高要求信息技術(shù)課程的總目標(biāo)是“培養(yǎng)和提升學(xué)生的信息素養(yǎng)”。要求學(xué)生具有幾個(gè)方面的能力：①對(duì)信息的獲取、加工、管理、表達(dá)與交流的能力;②對(duì)信息及信息活動(dòng)的過(guò)程、方法、結(jié)果進(jìn)行評(píng)價(jià)的能力;③發(fā)表觀點(diǎn)、交流思想、開(kāi)展合作并解決學(xué)習(xí)和生活中實(shí)際問(wèn)題的能力;④遵守相關(guān)的道德與法律法規(guī)，形成與信息社會(huì)相適應(yīng)的價(jià)值觀和責(zé)任感。面對(duì)高標(biāo)準(zhǔn)的課程要求，不僅對(duì)學(xué)生提出了要求，對(duì)從事教育教學(xué)的教師也提出了前所未有的新的更高的要求和挑戰(zhàn)。信息技術(shù)課程對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)，與其他課程不同的是，不再是簡(jiǎn)單的做幾個(gè)題目，動(dòng)動(dòng)腦筋想一想就能解決的問(wèn)題，而應(yīng)該是讓學(xué)生真正學(xué)會(huì)動(dòng)手動(dòng)腦進(jìn)行操作、設(shè)計(jì)與制作，學(xué)生在學(xué)習(xí)中要真正能解決一些實(shí)際問(wèn)題，進(jìn)行一些自我意識(shí)形態(tài)內(nèi)的規(guī)劃、設(shè)計(jì)與制作。面對(duì)這樣的形式，作為教師，迫切需要將自己的教育理念、師生地位等觀念做徹底轉(zhuǎn)變，在教育教學(xué)中轉(zhuǎn)換自己的角色，苦練基本功，掌握基本的信息技術(shù)的知識(shí)，具備數(shù)字化資源的使用和開(kāi)發(fā)的能力，具備信息技術(shù)和課程事例的備課能力，具有適應(yīng)信息化發(fā)展步伐的緊迫感和責(zé)任感。二、信息技術(shù)課程教學(xué)中面臨許多困難信息技術(shù)課程是信息時(shí)代下的產(chǎn)物，即對(duì)學(xué)生提出了新要求，同時(shí)也對(duì)學(xué)校提出新的挑戰(zhàn)。所以，相對(duì)其他課程來(lái)說(shuō)，信息技術(shù)教育顯得明顯滯后，它面臨許多困難：①學(xué)生不重視，學(xué)習(xí)積極性不高。很多學(xué)生都認(rèn)為信息技術(shù)課可有可無(wú)，如果教師不上課，讓他們玩玩游戲，他們就高興，如果教師認(rèn)真給學(xué)生講解幾個(gè)知識(shí)點(diǎn)，學(xué)生就根本不聽(tīng)，有的學(xué)生干脆去看其他科目的書(shū)或做其他作業(yè)，根本不聽(tīng)課，把信息技術(shù)課看作是“游戲課”、“聊天課”。一堂課下來(lái)，根本沒(méi)有掌握幾個(gè)知識(shí)點(diǎn)。②學(xué)生底子薄，基礎(chǔ)差，無(wú)法跟上教材所規(guī)定的教學(xué)內(nèi)容。農(nóng)村小學(xué)的學(xué)生，特別是一些小的學(xué)校，學(xué)生甚至連電腦都沒(méi)有摸過(guò)，連開(kāi)關(guān)機(jī)都不知道，就算一些條件好的小學(xué)教師開(kāi)設(shè)了電腦課，可也缺少專業(yè)的教師，也只是開(kāi)機(jī)讓學(xué)生玩玩游戲而已，根本沒(méi)有講解一些知識(shí)。③師資力量貧乏，很多信息技術(shù)教師是半路出家的，他們中有的是其它專業(yè)改行的，有的是兼職的，缺乏必要的專業(yè)知識(shí)和信息素養(yǎng)。在教學(xué)中他們還要承擔(dān)計(jì)算機(jī)、校園網(wǎng)的維護(hù)和其它臨時(shí)性工作，這導(dǎo)致他們不能全身心地投入到教學(xué)中去。在教學(xué)中，許多教師可能還是使用傳統(tǒng)的教學(xué)方法照本宣科，無(wú)法將信息技術(shù)所蘊(yùn)含的魅力體現(xiàn)全面。④硬件設(shè)施的制約?，F(xiàn)在學(xué)校的許多硬件資源配置落后，嚴(yán)重阻礙了信息技術(shù)教學(xué)。像上面提到的許多農(nóng)村小學(xué)都沒(méi)有配置電腦，所以就更不可能開(kāi)設(shè)信息技術(shù)課，而初中學(xué)校配置的電腦數(shù)量經(jīng)常不能滿足學(xué)生的要求，首先是數(shù)量不夠，學(xué)生經(jīng)常是兩個(gè)或三個(gè)一臺(tái)電腦，就算學(xué)生想動(dòng)手，也只能輪流來(lái)，本來(lái)就比較陌生，而一堂課下來(lái)，看完老師演示一番后，輪到自己能動(dòng)手的時(shí)間就那么十多分鐘，嚴(yán)重不足。其次，電腦配置陳舊，問(wèn)題較多，在上課的過(guò)程中，老師除了要上課，還要兼維修工作，所以指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)的時(shí)間就相對(duì)來(lái)說(shuō)較少。而且，現(xiàn)在農(nóng)村的許多電腦根本不能上網(wǎng)，有能上的，也是速度非常慢。所以教材中有關(guān)互聯(lián)網(wǎng)的知識(shí)教學(xué)，就存在很大的問(wèn)題。⑤知識(shí)鞏固缺乏條件，按教學(xué)大綱的要求，初中信息技術(shù)課程是每周一節(jié)，學(xué)生一節(jié)課下來(lái)，就算勉強(qiáng)能用腦子記住幾個(gè)知識(shí)點(diǎn)，進(jìn)行幾個(gè)操作，下課后又要忙于其他學(xué)科的知識(shí)，根本沒(méi)有條件對(duì)所學(xué)知識(shí)進(jìn)行鞏固的機(jī)會(huì)，時(shí)隔一周后讓學(xué)生再回顧時(shí)，大部分學(xué)生又是一片空白。信息技術(shù)是一門(mén)新課程，現(xiàn)在時(shí)代的發(fā)展，起來(lái)越顯示出其重要性，而近年來(lái)各地的中考，就本人的觀點(diǎn)認(rèn)為，對(duì)信息技術(shù)的考試還是流于形式，基本上不能體現(xiàn)信息技術(shù)課程的基本技能。學(xué)生花上個(gè)三五天，就能把所考試的內(nèi)容記下來(lái)，更加導(dǎo)致老師和同學(xué)們認(rèn)為平時(shí)不要學(xué)，考試前加把油，就能打個(gè)高分。要使信息技術(shù)課程邁入正常的軌道，還需要我們進(jìn)一步深思探討。要讓學(xué)生感到信息技術(shù)課一定要學(xué)會(huì)，一定要學(xué)好。這樣才能激發(fā)他們學(xué)習(xí)的興趣。我們堅(jiān)信：有各部門(mén)的共同關(guān)注，有一線教師的不懈努力，農(nóng)村信息技術(shù)教學(xué)的未來(lái)一定會(huì)光輝燦爛。第4講集合恒等式內(nèi)容提要1.集合恒等式與對(duì)偶原理2.集合恒等式的證明3.集合列的極限4.集合論悖論與集合論公理2020/229《集合論與圖論》第4講集合恒等式(關(guān)于∪與⌒)等冪律(idempotentlaws)A∪A=AA⌒A=A交換律(commutativelaws)A∪B=BAA⌒B=BA2020/229《集合論與圖論》第4講集合恒等式(關(guān)于∪與⌒、續(xù))結(jié)合律(associativelaws(A∽B)C=A(BC)(A∩B)C=A(BC)●分配律(distributivelaws)A(B∩⌒C)=(A∪B(ACA(BC)=(A⌒B)(A⌒C)2020/229《集合論與圖論》第4講集合恒等式(關(guān)于∪與⌒、續(xù)吸收律(absorptionlaws)Au(A⌒B)=AA⌒(A∪B)=A2020/229《集合論與圖論》第4講集合恒等式(關(guān)于~)雙重否定律doublecomplementlaw)A=a德●摩根律(DeMorgan's|aws)~(A∽B)=~A⌒~B(A⌒B)=~A~B2020/229《集合論與圖論》第4講集合恒等式(關(guān)于與E)零律(dominancelaws)A∪E=EAo=o●同一律(identitylaws)A∪=AA⌒E=A2020/229《集合論與圖論》第4講集合恒等式(關(guān)于②,E)排中律(excludedmiddleA∪~A=E矛盾律(contradiction)AoA=全補(bǔ)律O=E2020/229《集合論與圖論》第4講集合恒等式(關(guān)于-)補(bǔ)交轉(zhuǎn)換律(differenceasintersection)A-B=AoB2020/229《集合論與圖論》第4講集合恒等式(推廣到集族)分配律B∪(I{A}aes)=I(B∪A∈SBn(Y(,oes)=Y(Bna)德●摩根律(Y(A,ges)=I(a)(Ages)Y(ao)B-(Y{Aa})=1(B-A)B-(Aoes)=Y(B-A2020/229《集合論與圖論》第4講對(duì)偶(dua)原理癖對(duì)偶式(dua):