《機(jī)械工程測(cè)試技術(shù)》第五章課件

1重點(diǎn)：數(shù)字信號(hào)處理的初步概念。相關(guān)分析及其應(yīng)用、功率譜分析及其應(yīng)用。難點(diǎn)：信號(hào)數(shù)字化中出現(xiàn)的問(wèn)題：采樣、混疊、截?cái)唷⑿孤┖痛昂瘮?shù)等概念。24七月2023機(jī)械工程測(cè)試技術(shù)基礎(chǔ)2測(cè)試的目的是獲取反映被測(cè)對(duì)象狀態(tài)和特征的信息。實(shí)際中有用的信息總是和各種噪聲混雜在一起，難于直接識(shí)別和利用。只有分離信號(hào)和噪聲并經(jīng)過(guò)必要處理和分析，消除和修正系統(tǒng)誤差之后，才能準(zhǔn)確提取信息中有用信息。信號(hào)處理目的:（1）分離信號(hào)和噪聲，提高信噪比。（2）從信號(hào)中提取有用的特征信號(hào)。（3）修正測(cè)試系統(tǒng)的某些誤差（如非線性誤差，溫度影響）。24七月2023機(jī)械工程測(cè)試技術(shù)基礎(chǔ)24七月2023機(jī)械工程測(cè)試技術(shù)基礎(chǔ)3

信號(hào)分析（Signalanalysis）：研究信號(hào)的構(gòu)成和特征值（對(duì)信號(hào)結(jié)構(gòu)無(wú)影響）。信號(hào)處理（Signalprocess）：把信號(hào)經(jīng)過(guò)必要的變換，以獲得所需信息的過(guò)程（有可能改變信號(hào)本身結(jié)構(gòu)）。二者密切相關(guān)，沒(méi)明確的界限，有時(shí)作同義語(yǔ)。信號(hào)處理類型模擬信號(hào)處理系統(tǒng)：由模擬濾波器、乘法器、微分放大器等實(shí)現(xiàn)模擬運(yùn)算功能的電路組成。作為數(shù)字信號(hào)處理的前奏。數(shù)字信號(hào)處理系統(tǒng)：用數(shù)學(xué)方法處理信號(hào)，通常在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)，也可用專用信號(hào)處理機(jī)完成。優(yōu)點(diǎn)：穩(wěn)定，靈活，快速，高效，應(yīng)用廣，設(shè)備輕。41）電壓幅值調(diào)理，以適宜采樣。2）濾波，以提高信噪比。3）隔離信號(hào)中的直流分量。4）調(diào)制信號(hào)的解調(diào)。模擬信號(hào)經(jīng)采樣、量化并轉(zhuǎn)化為二進(jìn)制。數(shù)字信號(hào)處理器或計(jì)算機(jī)預(yù)處理預(yù)處理A/D轉(zhuǎn)換x(t)y(t)A/D轉(zhuǎn)換結(jié)果顯示第一節(jié)

數(shù)字信號(hào)處理的基本步驟

圖5-1數(shù)字信號(hào)處理系統(tǒng)的簡(jiǎn)圖對(duì)采集到的數(shù)字信號(hào)進(jìn)行分析、計(jì)算。24七月2023機(jī)械工程測(cè)試技術(shù)基礎(chǔ)24七月2023機(jī)械工程測(cè)試技術(shù)基礎(chǔ)5x(t)xq(nTS)量化計(jì)算機(jī)x(n)編碼x(n)n001011100010010011tx(t)xq(nTS)tq2q3q4qTS2TS3TS…測(cè)試信號(hào)的數(shù)字化過(guò)程xS(nTS)采樣/保持txS(nTS)TS2TS3TS…TsｑHowLong時(shí)間離散化幅值離散化24七月2023機(jī)械工程測(cè)試技術(shù)基礎(chǔ)6?！獢?shù)轉(zhuǎn)換（A／D）

指模擬信號(hào)經(jīng)采樣、量化并轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制的過(guò)程。（1）采樣：是將連續(xù)信號(hào)變?yōu)殡x散時(shí)間序列信號(hào)的過(guò)程。（2）截?cái)啵簩⒉蓸拥玫降碾x散時(shí)間序列乘以窗函數(shù)，使之成為有限時(shí)間序列的過(guò)程。（3）量化：是把采樣信號(hào)經(jīng)過(guò)舍入變?yōu)橛邢迋€(gè)有效數(shù)字的數(shù)的過(guò)程。（4）編碼：將經(jīng)過(guò)量化的值變?yōu)槎M(jìn)制數(shù)字的過(guò)程。24七月2023機(jī)械工程測(cè)試技術(shù)基礎(chǔ)7第二節(jié)

信號(hào)數(shù)字化出現(xiàn)的問(wèn)題

一概述（以計(jì)算一個(gè)模擬信號(hào)的頻譜為例）采樣圖5-2

原模擬信號(hào)及其幅頻譜圖5-3采樣函數(shù)及其幅頻譜Ts采樣間隔1/Ts=fs采樣頻率圖5-4采樣后信號(hào)及其幅頻譜若fm>1/2Tsfm-fm

采樣：就是用一個(gè)等時(shí)距的周期脈沖序列s(t)去乘x(t)，Ts

采樣間隔；1/Ts=fs采樣頻率；24七月2023機(jī)械工程測(cè)試技術(shù)基礎(chǔ)8圖5-5時(shí)窗函數(shù)及其幅頻譜T：窗寬圖5-6有限長(zhǎng)離散信號(hào)及其幅頻譜N=T/Ts

：序列長(zhǎng)度截?cái)嘟財(cái)啵壕褪窃俪艘粋€(gè)窗口函數(shù)（矩形），T為窗寬；N=T/Ts

所截取的時(shí)間序列數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)（序列長(zhǎng)度）；24七月2023機(jī)械工程測(cè)試技術(shù)基礎(chǔ)9離散頻率序列△f=fs/N=1/(TsN)=1/Ts(T/Ts)=1/T圖5-8DFT后的頻譜及其時(shí)域函數(shù)圖5-7

頻域采樣函數(shù)及其時(shí)域函數(shù)N點(diǎn)的離散頻率序列離散頻率序列：就是離散傅立葉變換；24七月2023機(jī)械工程測(cè)試技術(shù)基礎(chǔ)10計(jì)算機(jī)按照一定算法—離散傅立葉變換(DiscreteFourieTransform)將N點(diǎn)長(zhǎng)的離散時(shí)間序列x(t)s(t)w(t)變換為N點(diǎn)的離散頻率序列，并輸出。輸出離散頻率序列的頻率間距△f=1/T。頻域采樣函數(shù)是計(jì)算機(jī)實(shí)際輸出是：

(5-1)頻域采樣形成的頻域函數(shù)離散化，把其時(shí)域函數(shù)周期化了。上述處理過(guò)程的每一個(gè)步驟：采樣、截?cái)?、DFT計(jì)算都會(huì)引起失真或誤差。24七月2023機(jī)械工程測(cè)試技術(shù)基礎(chǔ)11二時(shí)域采樣、混疊和采樣定理長(zhǎng)度為

T

的連續(xù)信號(hào)x(t)，采樣得到的離散時(shí)間序列為x(n)=x(nTs)=x(n/fs)

n=0,1,2,…N-1(5-2)Ts—采樣間隔；N—序列長(zhǎng)度，N=T/Ts；fs—采樣頻率采樣間隔太小，其數(shù)字序列就長(zhǎng)，效率低；采樣間隔太大，可能丟掉有用的數(shù)據(jù)，出現(xiàn)混疊現(xiàn)象。圖5-9混疊現(xiàn)象24七月2023機(jī)械工程測(cè)試技術(shù)基礎(chǔ)12圖5-4采樣后信號(hào)及其幅頻譜f1f2f1混疊必定出現(xiàn)在f=fs/2左右兩側(cè)的頻率處，稱為折疊頻率，高于折疊頻率的高頻成分f1和低于折疊頻率的低頻成分f2，它們之間的關(guān)系是(f1+f2)/2=fs/2。24七月2023機(jī)械工程測(cè)試技術(shù)基礎(chǔ)13抗混疊濾波預(yù)處理后，若采樣頻率fs大于帶限信號(hào)最高頻率

fh

的2倍，即(5-5)就不會(huì)發(fā)生混疊。實(shí)際上考慮高于截止頻率fc有過(guò)渡帶，采樣頻率fs常選用(3~4)fc。hfsTsf21>=圖5-10

不產(chǎn)生混疊的條件采樣定理，也稱香農(nóng)（Shannon）定理24七月2023機(jī)械工程測(cè)試技術(shù)基礎(chǔ)14三量化和量化誤差(Quantizationerror)

若采樣點(diǎn)的電平落在兩相鄰量化之間，就必須含入到相近的一個(gè)量化電平上。一般認(rèn)為，量化誤差ε(n)為()()()量化電平實(shí)際nxnxn-=eΔx/2-Δx/2-Δx/2<ε(n)<Δx/224七月2023機(jī)械工程測(cè)試技術(shù)基礎(chǔ)15可認(rèn)為ε(n)在±Δx/2之間等概率分布。則?????????íì?=-=Δx.ΔxΔx方差標(biāo)準(zhǔn)差Δx均方值均值Δx概率密度29032012212201設(shè)A/D轉(zhuǎn)換器位數(shù)為b，允許的動(dòng)態(tài)工作范圍D(±5V，0~10V)，相鄰量化電平之間差為

(5-6)-Δx/2<ε(n)<Δx/224七月2023機(jī)械工程測(cè)試技術(shù)基礎(chǔ)16A/D轉(zhuǎn)換器位數(shù)應(yīng)視信號(hào)和量化精度而定，要適當(dāng)。位數(shù)增加后，成本顯著增加，轉(zhuǎn)換速率下降。0024v.04096)(104096212?=V設(shè)有余弦信號(hào)x(t),用矩形窗函數(shù)w(t)與其相乘，得到截?cái)嘈盘?hào)：y(t)=x(t)w(t)將截?cái)嘈盘?hào)譜XT(ω)與原始信號(hào)譜X(ω)相比較可知，它已不是原來(lái)的兩條譜線，而是兩段振蕩的連續(xù)譜.原來(lái)集中在f0處的能量被分散到兩個(gè)較寬的頻帶中去了，這種現(xiàn)象稱之為頻譜能量泄漏。24七月202317機(jī)械工程測(cè)試技術(shù)基礎(chǔ)24七月2023機(jī)械工程測(cè)試技術(shù)基礎(chǔ)18圖5-5時(shí)窗函數(shù)及其幅頻譜T：窗寬圖5-6有限長(zhǎng)離散信號(hào)及其幅頻譜N=T/Ts

：序列長(zhǎng)度截?cái)?4七月2023機(jī)械工程測(cè)試技術(shù)基礎(chǔ)19四截?cái)唷⑿孤┖痛昂瘮?shù)截?cái)嗑褪菍⑿盘?hào)乘以時(shí)域的有限寬矩形窗函數(shù)。實(shí)際是取有限長(zhǎng)的信號(hào)，從數(shù)學(xué)處理上看，就是乘以時(shí)域的有限寬矩形窗函數(shù)。x(t)是帶限信號(hào)，截?cái)嗪蟪蔀闊o(wú)限帶寬信號(hào)，信號(hào)能量在頻率軸分布擴(kuò)展的現(xiàn)象稱為泄漏。窗函數(shù)優(yōu)劣評(píng)價(jià)：1、最大旁瓣峰值與主瓣峰值之比；

2、最大旁瓣10倍頻程衰減率；

3、主瓣寬度；常見(jiàn)窗函數(shù)：矩形窗；三角窗；漢寧窗；指數(shù)窗；24七月2023機(jī)械工程測(cè)試技術(shù)基礎(chǔ)20選擇窗函數(shù)應(yīng)使頻譜的主瓣寬度窄、旁瓣幅度小。窄的主瓣可提高頻率的分辨力，小的旁瓣可以減小泄漏。（一）、矩形窗特點(diǎn)：主瓣最窄2/T，旁瓣較高T，泄漏較大。應(yīng)用：適合于要獲得精確主峰的頻率，而對(duì)幅值精度要求不高的場(chǎng)合。圖5-5時(shí)窗函數(shù)及其幅頻譜24七月2023機(jī)械工程測(cè)試技術(shù)基礎(chǔ)21（二）、三角窗

特點(diǎn)：主瓣寬度約為矩形窗的2倍，但旁瓣低且不會(huì)出現(xiàn)負(fù)值。24七月2023機(jī)械工程測(cè)試技術(shù)基礎(chǔ)22（三）、漢寧窗（余弦窗)

特點(diǎn)：旁瓣明顯降低，有抑制泄漏的作用，但主瓣較寬，致使頻率分辨能力較差。應(yīng)用：在截?cái)嚯S機(jī)信號(hào)或非整周期截?cái)嘀芷诤瘮?shù)時(shí)，為了平滑或削弱截取信號(hào)的兩端，減小泄漏，宜加漢寧窗。24七月2023機(jī)械工程測(cè)試技術(shù)基礎(chǔ)23（四）、指數(shù)窗

特點(diǎn)：無(wú)旁瓣，主瓣很寬，其頻率分辨力低。應(yīng)用：對(duì)脈沖響應(yīng)類信號(hào)宜加指數(shù)窗，若適當(dāng)選擇衰減函數(shù)，可起到抑制噪聲的作用。

24七月2023機(jī)械工程測(cè)試技術(shù)基礎(chǔ)24常用窗函數(shù)24七月2023機(jī)械工程測(cè)試技術(shù)基礎(chǔ)25五頻域采樣、時(shí)域周期延拓和柵欄效應(yīng)頻域采樣—頻率離散化，無(wú)疑是將時(shí)域信號(hào)“改造”成周期信號(hào)。相當(dāng)于在時(shí)域中將窗內(nèi)的信號(hào)波形在窗外進(jìn)行周期延拓。采樣就是“摘取”采樣點(diǎn)上對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，如透過(guò)柵欄的縫隙看景，不全面，此現(xiàn)象稱之為柵欄效應(yīng)（picket-fenceeffect）。擋住或丟失的頻率成分有可能是重要的或具有特征的成分，以至于整個(gè)處理失去意義。24七月2023機(jī)械工程測(cè)試技術(shù)基礎(chǔ)26六頻率分辨率、整周期截?cái)?/p>

從DFT的原理看，譜線落在某頻率f0處的條件是：考慮到△f=1/T，簡(jiǎn)諧信號(hào)的周期T0=1/f0，因此即，只有截取的信號(hào)長(zhǎng)度T正好等于信號(hào)周期的整數(shù)倍時(shí)，才能使分析譜線落在簡(jiǎn)諧信號(hào)的頻率上。整數(shù)=Dff0整數(shù)=T0T

頻率采樣間隔△f也是頻率分辨率的指標(biāo)。此間隔越小，頻率分辨率越高。利用DFT變換時(shí)：24七月2023機(jī)械工程測(cè)試技術(shù)基礎(chǔ)27離散傅立葉變換的圖解推演a)模擬信號(hào)及其傅立葉變換b)采樣信號(hào)及其傅立葉變換c)離散信號(hào)及其傅立葉變換d)矩形窗函數(shù)及其傅立葉變換e)矩形窗函數(shù)采樣信號(hào)及其傅立葉變換f)頻域采樣函數(shù)及其傅立葉逆變換g)離散信號(hào)傅立葉變換離散傅立葉變換步驟：1）時(shí)域采樣2）時(shí)域截?cái)?）頻域采樣時(shí)域采樣引起頻域周期化頻域采樣引起時(shí)域周期化當(dāng)窗函數(shù)的寬度T→∞時(shí)，sinc函數(shù)就變成δ函數(shù)。由于T不夠?qū)拵?lái)誤差從而產(chǎn)生波紋和泄漏信號(hào)時(shí)域、頻域的離散化導(dǎo)致時(shí)域、頻域的周期化24七月2023機(jī)械工程測(cè)試技術(shù)基礎(chǔ)28待變換時(shí)域信號(hào)時(shí)域采樣：Ts

采樣間隔；1/Ts=fs采樣頻率；T為窗寬；N=T/Ts

所截取的時(shí)間序列數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)（序列長(zhǎng)度）△f=fs/N=1/(TsN)=1/Ts(T/Ts)=1/T輸出離散頻率序列的頻率間距△f=1/T折疊頻率，高于折疊頻率的高頻成分f1和低于折疊頻率的低頻成分f2，它們之間的關(guān)系是(f1+f2)/2=fs/2hfsTsf21>=24七月2023機(jī)械工程測(cè)試技術(shù)基礎(chǔ)29第三節(jié)

隨機(jī)信號(hào)

一概述隨機(jī)信號(hào)—不能用確定數(shù)學(xué)公式描述，不能預(yù)測(cè)其未來(lái)瞬時(shí)值，任何一次觀察結(jié)果不能代表全部，其值變動(dòng)服從統(tǒng)計(jì)規(guī)律。樣本函數(shù)—對(duì)隨機(jī)信號(hào)按時(shí)間歷程所作的各次長(zhǎng)時(shí)間觀測(cè)記錄稱為樣本函數(shù)，記為xi(t)。樣本記錄—樣本函數(shù)在有限時(shí)間區(qū)間上的部分稱為樣本記錄。（1-61）

隨機(jī)過(guò)程—全部樣本函數(shù)的集合（總體）就是隨機(jī)過(guò)程，記為{x(t)}，即

將集合中所有樣本函數(shù)對(duì)同一時(shí)刻ti的觀測(cè)值取平均稱為（ti時(shí)刻的）集合平均。（隨機(jī)過(guò)程的平均）按單個(gè)樣本的時(shí)間歷程進(jìn)行平均的計(jì)算稱為（該樣本的）時(shí)間平均。24七月2023機(jī)械工程測(cè)試技術(shù)基礎(chǔ)30{x(t)}={x1(t),x2(t),x3(t),…,xn(t),…}圖5-1

隨機(jī)過(guò)程與樣本函數(shù)任意時(shí)刻ti的統(tǒng)計(jì)特征參數(shù)都相同的隨機(jī)過(guò)程。在平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程中，若任一單個(gè)樣本函數(shù)的時(shí)間平均統(tǒng)計(jì)特征等于該過(guò)程集合平均統(tǒng)計(jì)特征24七月2023機(jī)械工程測(cè)試技術(shù)基礎(chǔ)31隨機(jī)過(guò)程分類:

（1）平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程—其統(tǒng)計(jì)特征參數(shù)不隨時(shí)間而變化的隨機(jī)過(guò)程。（2）非平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程—與上述相反則為非平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程。

（3）各態(tài)歷經(jīng)隨機(jī)過(guò)程—在平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程中，若任一單個(gè)樣本函數(shù)的時(shí)間平均統(tǒng)計(jì)特征等于該過(guò)程集合平均統(tǒng)計(jì)特征，這樣的平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程叫各態(tài)歷經(jīng)隨機(jī)過(guò)程。

24七月2023機(jī)械工程測(cè)試技術(shù)基礎(chǔ)32

工程中很多隨機(jī)信號(hào)具有各態(tài)歷經(jīng)性，即使不嚴(yán)格遵守各態(tài)歷經(jīng)性，也按各態(tài)歷經(jīng)隨機(jī)過(guò)程處理。也就是說(shuō)在測(cè)試工作中常以一個(gè)或幾個(gè)有限長(zhǎng)度的樣本記錄來(lái)推斷整個(gè)隨機(jī)過(guò)程。以時(shí)間平均來(lái)估計(jì)集合平均。在測(cè)試中確定性信號(hào)一般是在一定條件下出現(xiàn)的特殊情況，或者是忽略了信號(hào)的隨機(jī)性部分，實(shí)際中測(cè)試信號(hào)總是受到環(huán)境噪聲污染的，故研究隨機(jī)信號(hào)具有普遍意義。

24七月2023機(jī)械工程測(cè)試技術(shù)基礎(chǔ)33二．隨機(jī)信號(hào)的主要特征參數(shù)各態(tài)歷經(jīng)隨機(jī)信號(hào)主要特征參數(shù)：（1）均值、方差和均方值（2）概率密度函數(shù)

（3）自相關(guān)函數(shù)（4）功率譜密度函數(shù)（一）均值μx、方差σ2x和均方值ψ2x

1．均值μx

（1-62）T—觀測(cè)時(shí)間;x(t)—樣本函數(shù);均值μx表示信號(hào)的常值分量2．方差σ2x

（1-63）描述隨機(jī)信號(hào)的波動(dòng)分量，它是

x(t)偏離均值

μx的平方的均值，方差的正平方根叫標(biāo)準(zhǔn)偏差

σx。

24七月2023機(jī)械工程測(cè)試技術(shù)基礎(chǔ)343．均方值ψ2x

描述隨機(jī)信號(hào)的強(qiáng)度，它是x(t)平方的均值，即

（1-64）均方值的正平方根稱為均方根值χrms4．均值μx、方差σ2x和均方值ψ2x的關(guān)系

（1-65）（當(dāng)μx=0時(shí)，）5．集合平均，

t1時(shí)刻的均值μx,t1和均方值ψ2x,t1為（1-66）

（1-67）M—樣本記錄總數(shù);

i—樣本記錄序號(hào);

t1—觀察時(shí)刻24七月2023機(jī)械工程測(cè)試技術(shù)基礎(chǔ)35（二）概率密度函數(shù)概率密度函數(shù)—表示信號(hào)幅值落在指定區(qū)間內(nèi)的概率。見(jiàn)圖1-22所示，圖1-22

概率密度函數(shù)的計(jì)算24七月2023機(jī)械工程測(cè)試技術(shù)基礎(chǔ)36x(t)值落在(x,x+Δx)區(qū)間內(nèi)的時(shí)間為

Tx

（1-68）當(dāng)樣本函數(shù)的記錄時(shí)間T→∞時(shí)，Tx/T的比值就是x(t)的幅值落在(x,x+Δx)區(qū)間內(nèi)的概率，即（1-69）幅值概率密度函數(shù)p(x)為（1-70）概率密度函數(shù)提供了隨機(jī)信號(hào)幅值分布的信息，不同的隨機(jī)信號(hào)有不同的概率密度圖形。圖1-23是四種常見(jiàn)的隨機(jī)信號(hào)（假設(shè)μx=0）的概率密度函數(shù)圖形。當(dāng)不知道所處理的隨機(jī)數(shù)據(jù)服從何種分布時(shí)，可用統(tǒng)計(jì)概率分布圖來(lái)估計(jì)概率密度函數(shù)。24七月2023機(jī)械工程測(cè)試技術(shù)基礎(chǔ)37圖1-23四種隨機(jī)信號(hào)a)正弦函數(shù)（初始相角為隨機(jī)量）b)正弦函數(shù)加隨機(jī)信號(hào)c)窄帶隨機(jī)信號(hào)d)寬帶隨機(jī)信號(hào)通過(guò)概率密度函數(shù)的圖形特征可以定性的判斷原信號(hào)中是否含有周期成分，若原信號(hào)中周期成分越多，則p(x)-x曲線的“馬鞍形”現(xiàn)象就越明顯。24七月2023機(jī)械工程測(cè)試技術(shù)基礎(chǔ)38第四節(jié)

相關(guān)分析及應(yīng)用

通常兩個(gè)變量之間若存在一一對(duì)應(yīng)的確定關(guān)系，則稱兩者之間存在著函數(shù)關(guān)系。而當(dāng)兩個(gè)隨機(jī)變量之間具有某種關(guān)系，隨著一個(gè)變量數(shù)值的確定

，另一變量卻可能取許多不同值，但取值有一定的概率統(tǒng)計(jì)規(guī)律，這時(shí)稱兩個(gè)隨機(jī)變量存在著相關(guān)關(guān)系。

一．兩個(gè)隨機(jī)變量的相關(guān)系數(shù)圖5-14表示由兩個(gè)隨機(jī)變量x和y組成的數(shù)據(jù)點(diǎn)分布情況。0xy0xya)x與y無(wú)關(guān)b)線性關(guān)系圖5-14兩隨機(jī)變量的相關(guān)性24七月2023機(jī)械工程測(cè)試技術(shù)基礎(chǔ)39變量x和y之間的相關(guān)程度常用相關(guān)系數(shù)

ρxy

表示：（5-16）

離散:連續(xù):

式中E—數(shù)學(xué)期望μx—隨機(jī)變量x的均值μx=E[x]μy—隨機(jī)變量y的均值μy=E[y]σx—隨機(jī)變量x的標(biāo)準(zhǔn)差σ2x=E[(x–μx)2]σy—隨機(jī)變量y的標(biāo)準(zhǔn)差σ2y=E[(y–μy)2]òT￥?=0)(1lim][dttxTxET各態(tài)歷經(jīng)隨機(jī)過(guò)程用柯西—許瓦茲不等式

E[(x-μx)(y-μy)]2≦E[(x-μx)

2]

E[(y-μy)2]（5-17）故知:┃ρxy┃≦124七月2023機(jī)械工程測(cè)試技術(shù)基礎(chǔ)40xyxyxyxy當(dāng)數(shù)據(jù)點(diǎn)分布越接近于一條直線時(shí)，ρxy

的絕對(duì)值越接近1，x和y的線性相關(guān)性程度越好，將這樣的數(shù)據(jù)回歸成直線才越有意義。ρxy的正付號(hào)表示一變量隨另一變量增加而增加或減少。當(dāng)ρxy接近零時(shí)，則認(rèn)為x和y之間完全無(wú)關(guān)。但仍可能存在某種非線性的相關(guān)關(guān)系甚至函數(shù)關(guān)系。24七月2023機(jī)械工程測(cè)試技術(shù)基礎(chǔ)41在任何t=ti

時(shí)刻，從兩個(gè)樣本上分別得到兩個(gè)量值x(ti)和x(ti+τ)，而且x(t)和x(t+τ)具有相同的均值和標(biāo)準(zhǔn)差。假如把

簡(jiǎn)寫成

，那么有

假如x(t)是某各態(tài)歷經(jīng)隨機(jī)過(guò)程的一個(gè)樣本記錄。x(t+τ)是x(t)時(shí)移τ后的樣本記錄，見(jiàn)圖5-15。二．信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)0tx(t)0tx(t+τ)τtiti圖5-15自相關(guān)24七月2023機(jī)械工程測(cè)試技術(shù)基礎(chǔ)42將分子展開(kāi)并注意到

從而

（5-18）

定義各態(tài)歷經(jīng)隨機(jī)信號(hào)自相關(guān)函數(shù)為

（5-19）

則

（5-20）

24七月2023機(jī)械工程測(cè)試技術(shù)基礎(chǔ)43顯然，和均隨τ而變化，且兩者成線性關(guān)系。如果隨機(jī)過(guò)程均值，則自相關(guān)函數(shù)性質(zhì)：（1）由式（5-20）有（5-21）因?yàn)?，所以?-22）（2）自相關(guān)函數(shù)在τ=0時(shí)為最大值，并等于該隨機(jī)信號(hào)的均方值

ψ2x

（5-23）

24七月2023機(jī)械工程測(cè)試技術(shù)基礎(chǔ)44（3）當(dāng)τ足夠大或τ→∞時(shí)，x(t)和x(t+τ)不存在內(nèi)在聯(lián)系，彼此無(wú)關(guān)。

（4）自相關(guān)函數(shù)為偶函數(shù)，即（5-24）

（5）周期函數(shù)的自相關(guān)函數(shù)仍為同頻率的周期函數(shù)，其幅值與原周期信號(hào)幅值有關(guān)，而丟失了原信號(hào)的相位信息。

2)(xxmtRt?￥?24七月2023機(jī)械工程測(cè)試技術(shù)基礎(chǔ)45τRx(τ)0μ2xμ2x+σ2xμ2x-σ2x圖5-16自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)24七月2023機(jī)械工程測(cè)試技術(shù)基礎(chǔ)46例5-1求正弦函數(shù)

x(t)=x0sin(ωt+φ)的自相關(guān)函數(shù)。初相角φ為一隨機(jī)變量。式中為正弦函數(shù)周期令

則

，于是

解：此正弦函數(shù)是一個(gè)零均值的各態(tài)歷經(jīng)隨機(jī)過(guò)程，其平均值可用一個(gè)周期內(nèi)平均值表示。該函數(shù)的自相關(guān)函數(shù)為:24七月2023機(jī)械工程測(cè)試技術(shù)基礎(chǔ)47由

可見(jiàn)正弦函數(shù)的自相關(guān)函數(shù)是一個(gè)余弦函數(shù)，在τ=0時(shí)具有最大值，它不隨τ的增加而衰減至零。保留了原正弦信號(hào)的幅值和頻率信息，而丟失了相位信息。

上式為24七月2023機(jī)械工程測(cè)試技術(shù)基礎(chǔ)48（1）由于μx=0；

（2）

（4）

（5）

丟失相位信息。

性質(zhì)討論：24七月2023機(jī)械工程測(cè)試技術(shù)基礎(chǔ)490tRx(τ)0tx(t)0tRx(τ)0tx(t)0tx(t)0tRx(τ)0tx(t)0tRx(τ)圖5-17四種典型信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)正弦波正弦波加隨機(jī)噪聲窄帶隨機(jī)噪聲寬帶隨機(jī)噪聲信號(hào)中含有周期成分，其自相關(guān)函數(shù)在τ很大時(shí)都不會(huì)衰減，并具有明顯周期性。不包含周期成分，當(dāng)τ稍大時(shí)Rx(τ)→0。窄帶隨機(jī)噪聲的Rx

(τ)有較慢衰減特性。寬帶隨機(jī)噪聲的Rx(τ)很快衰減為零。自相關(guān)函數(shù)是區(qū)別信號(hào)類型的一個(gè)非常有效的手段24七月2023機(jī)械工程測(cè)試技術(shù)基礎(chǔ)50例：自相關(guān)分析測(cè)量轉(zhuǎn)速理想信號(hào)干擾信號(hào)實(shí)測(cè)信號(hào)自相關(guān)系數(shù)提取周期性轉(zhuǎn)速成分自相關(guān)分析的主要應(yīng)用：用來(lái)檢測(cè)混淆在干擾信號(hào)中的確定性周期信號(hào)成分。24七月2023機(jī)械工程測(cè)試技術(shù)基礎(chǔ)51三．信號(hào)的互相關(guān)函數(shù)

兩個(gè)各態(tài)歷經(jīng)隨機(jī)過(guò)程的隨機(jī)信號(hào)x(t)和y(t)的互相關(guān)函數(shù)Rxy(τ)定義為（5-25）

由式（5-16）

24七月2023機(jī)械工程測(cè)試技術(shù)基礎(chǔ)52當(dāng)時(shí)移τ足夠大或τ→∞時(shí)，x(t)和

y(t)互不相關(guān)，

Rxy(τ)最大變動(dòng)量范圍在之間，即（5-26）

如果x(t)和y(t)兩信號(hào)是同頻率的周期信號(hào)或者包含有同頻率的周期成分，那么，即使τ→∞，互相關(guān)函數(shù)也不收斂并出現(xiàn)該頻率的周期成分。如果兩信號(hào)含有頻率不等的周期成分，則兩者不相關(guān)。結(jié)論：

同頻相關(guān)，異頻無(wú)關(guān)。24七月2023機(jī)械工程測(cè)試技術(shù)基礎(chǔ)53例

5-2設(shè)有兩個(gè)周期信號(hào)

式中：θ--

x(t)相對(duì)t=0的相位角

j--x(t)與y(t)的相位差試求其互相關(guān)函數(shù)

Rxy(τ)

解：因?yàn)樾盘?hào)是周期信號(hào),可用一個(gè)周期T0代替整個(gè)歷程T24七月2023機(jī)械工程測(cè)試技術(shù)基礎(chǔ)54令

由此可見(jiàn)，兩個(gè)均值為零，且具有相同頻率的周期信號(hào)，其互相關(guān)函數(shù)中保留了這兩個(gè)信號(hào)的圓頻率ω，對(duì)應(yīng)的幅值

x0和y0以及相位差j的信息。

24七月2023機(jī)械工程測(cè)試技術(shù)基礎(chǔ)55例5-3若兩個(gè)周期

信號(hào)圓頻率不等,

試求其互相關(guān)函數(shù)

根據(jù)正（余）弦函數(shù)的正交性，可知

可見(jiàn)，兩個(gè)非同頻周期信號(hào)是不相關(guān)的。

解：24七月2023機(jī)械工程測(cè)試技術(shù)基礎(chǔ)56第五章作業(yè)教科書175頁(yè)，思考題與習(xí)題5-15-25-3下次課交作業(yè)24七月2023機(jī)械工程測(cè)試技術(shù)基礎(chǔ)57互相關(guān)函數(shù)性質(zhì)：（1）互相關(guān)函數(shù)不是偶函數(shù)

證明：

令令

可見(jiàn)

24七月2023機(jī)械工程測(cè)試技術(shù)基礎(chǔ)58τRxy(τ)0μxμyμxμy

+σxσyμxμy

-σxσy圖5-19互相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)τ0

（2）圖中表明τ=τ0時(shí)呈現(xiàn)最大值，時(shí)移τ0反映

x(t)和y(t)之間的滯后時(shí)間?；ハ嚓P(guān)函數(shù)的性質(zhì)，使它在工程應(yīng)用中有重要價(jià)值。它是在噪聲背景下提取有用信息的一個(gè)非常有效的手段。24七月2023機(jī)械工程測(cè)試技術(shù)基礎(chǔ)59相關(guān)濾波：例如在線性系統(tǒng)中測(cè)振。根據(jù)頻率保持性，只有和激振頻率相同的成分才能是由激振而引起的響應(yīng)，而其它成分是干擾。因此將激振信號(hào)與所測(cè)得的響應(yīng)信號(hào)進(jìn)行互相關(guān)（τ=0不用時(shí)移），就可得到由激振引起的響應(yīng)的幅值和相位差，消除了噪聲干擾的影響

。這種處理方法叫相關(guān)濾波。互相關(guān)技術(shù)廣泛應(yīng)用于各種測(cè)試中。24七月2023機(jī)械工程測(cè)試技術(shù)基礎(chǔ)60