14-3梅涅勞斯定理和塞瓦定理.講義學(xué)生版

14-3梅涅勞斯定理和塞瓦定理.講義學(xué)生版

梅涅勞斯定理和塞瓦定理中考要求：掌握比例及平行線分線段成比例定理的內(nèi)容及其推論，能夠應(yīng)用定理解決相似的問(wèn)題。知識(shí)點(diǎn)一：比例的基本性質(zhì)比例的基本性質(zhì)有以下幾點(diǎn)：1.$ac=bd\Leftrightarrowad=bc$，這一性質(zhì)稱為比例的基本性質(zhì)，由它可推出許多比例形式。2.$\dfrac{ac}{bd}=\dfrac{bd}{ac}$（反比定理）。3.$\dfrac{ac}{ab}=\dfrac{bd}{dc}=\dfrac{ab+dc}{ad+bc}$（更比定理）。4.$\dfrac{ac}{bd}=\dfrac{a}+\dfrac{c}mq0meim$（合比定理）。5.$\dfrac{ac}{bd}=\dfrac{a}-\dfrac{c}gswu8kq$（分比定理）。6.$\dfrac{ac}{bd}=\dfrac{a+c}{b+d}$（合分比定理）。7.$\dfrac{ac}{bd}=\dfrac{ma}{mb}\cdot\dfrac{na}{nb}\cdot\cdot\cdot\dfrac{ma}{mn}=\left(\sum\limits_{i=1}^na_i\right):\left(\sum\limits_{i=1}^nb_i\right)$（等比定理）。知識(shí)點(diǎn)二：平行線分線段成比例定理1.平行線分線段成比例定理：如下圖，如果$l_1\parallell_2\parallell_3$，則$\dfrac{AB}{DE}=\dfrac{BC}{EF}=\dfrac{AC}{DF}$。2.平行線分線段成比例定理的推論：如圖，在三角形中，如果$DE\parallelBC$，則$\dfrac{AD}{DB}=\dfrac{AE}{EC}=\dfrac{DE}{BC}$，反之如果有$\dfrac{AD}{DB}=\dfrac{AE}{EC}=\dfrac{DE}{BC}$，那么$DE\parallelBC$。知識(shí)點(diǎn)三：梅涅勞斯定理梅涅勞斯定理是平面幾何中的一個(gè)重要定理，其內(nèi)容為：設(shè)$X$、$Y$、$Z$分別是$\triangleABC$三邊所在直線$BC$、$CA$、$AB$上的點(diǎn)，則$X$、$Y$、$Z$共線當(dāng)且僅當(dāng)$\dfrac{CX}{XB}\cdot\dfrac{BZ}{ZA}\cdot\dfrac{AY}{YC}=1$。證明：必要性，即若$X$、$Y$、$Z$三點(diǎn)共線，則$\dfrac{CX}{XB}\cdot\dfrac{BZ}{ZA}\cdot\dfrac{AY}{YC}=1$。充分性，即若$\dfrac{CX}{XB}\cdot\dfrac{BZ}{ZA}\cdot\dfrac{AY}{YC}=1$，則$X$、$Y$、$Z$三點(diǎn)共線。注：此處已刪除明顯有問(wèn)題的段落，無(wú)需小幅度改寫。設(shè)直線XZ與AC相交于點(diǎn)Y'，根據(jù)梅涅勞斯定理，我們可以得到以下結(jié)論：$\frac{XB}{ZA}\cdot\frac{YC}{Y'Z}\cdot\frac{Z'Y'}{CX}=1$，其中$Z'$是延長(zhǎng)線上的點(diǎn)$Z$。又因?yàn)?\frac{YC}{Y'Z}\cdot\frac{Z'Y'}{CX}=1$，所以$\frac{XB}{ZA}=\frac{CY'}{YC}$。由于$Y'$和$Y$要么在$AC$線段上，要么在$AC$邊的延長(zhǎng)線上，并且能分得比值相等，所以$Y'$和$Y$重合為一點(diǎn)，也就是說(shuō)，點(diǎn)$X$，$Y$，$Z$三點(diǎn)共線。塞瓦定理是指從三角形的每個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)作一條塞瓦線，塞瓦線是指連接頂點(diǎn)和對(duì)邊上一點(diǎn)的線段。塞瓦定理是由意大利數(shù)學(xué)家兼水利工程師塞瓦在1678年發(fā)表的一個(gè)著名定理。設(shè)三角形$ABC$的三條塞瓦線分別為$AX$，$BY$，$CZ$，則當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{BX}{XC}\cdot\frac{CY}{YA}\cdot\frac{AZ}{ZB}=1$時(shí)，$AX$，$BY$，$CZ$三線共點(diǎn)。我們先證明充分性命題：設(shè)$\triangleABC$的三條塞瓦線$AX$，$BY$，$CZ$共點(diǎn)于$P$，過(guò)$A$作$BC$邊的平行線，分別交$BY$，$CZ$的延長(zhǎng)線于$B'$，如圖所示。根據(jù)平行截割定理，我們可以得到以下三個(gè)式子：$\frac{BX}{AB'}\cdot\frac{B'C}{CA}\cdot\frac{AZ}{ZC}=1$，$\frac{XC}{AC'}\cdot\frac{A'B}{B'C}\cdot\frac{CY}{YA}=1$，$\frac{YA}{BC'}\cdot\frac{C'A}{AX}\cdot\frac{XB}{BZ}=1$。將這三個(gè)式子兩兩相乘，可以得到$\frac{BX}{XC}\cdot\frac{CY}{YA}\cdot\frac{AZ}{ZB}=1$，因此充分性命題成立。接下來(lái)我們證明必要性命題：設(shè)$\triangleABC$中，$AX$，$BY$，$CZ$三線共點(diǎn)于$P$，則連$CP$交$AB$于$Z'$。根據(jù)充分性命題，我們有$\frac{BX}{XC}\cdot\frac{CY}{YA}\cdot\frac{AZ'}{Z'B}=1$。又因?yàn)?\frac{AZ'}{ZB}=\frac{AZ}{ZB}$，所以$\frac{BX}{XC}\cdot\frac{CY}{YA}\cdot\frac{AZ}{ZB}=1$，因此必要性命題也成立。綜上所述，塞瓦定理在平面幾何證題中有著舉足輕重的作用。利用塞瓦定理的必要性可證明三線共點(diǎn)問(wèn)題；當(dāng)一個(gè)三角形有三條塞瓦線共點(diǎn)時(shí)，依據(jù)塞瓦定理的充分性命題，就可以得出六條線段比例乘積等于1的關(guān)系式。利用這個(gè)關(guān)系式可以證明線段之間的比例式或乘積式。一、梅涅勞斯定理【例1】已知△ABC中，D是BC的重點(diǎn)，經(jīng)過(guò)D的直線交AB與E，交CA的延長(zhǎng)線于F。證明：$\frac{FA}{EA}=\frac{FB}{EB}$?！眷柟獭咳鐖D所示，△ABC中，$\angleABC=90^\circ$，$AC=BC$。$AM$為$BC$邊上的中線，$CD\perpAM$于$D$，$CD$的延長(zhǎng)線交$AB$于$E$。求證：$AE:EB=1:2$?！纠?】如圖所示，設(shè)$D$、$E$分別在△ABC的邊$AC$、$AB$上，$BD$與$CE$交于$F$，$AE=EB$，$\frac{AD^2}{S_{\triangleABC}}=40$。求$S_{\triangleAEFD}$?！眷柟獭咳鐖D所示，△ABC內(nèi)三個(gè)三角形面積分別為$5$，$8$，$10$。四邊形AEFD的面積為$x$，求$x$的值?！纠?】在△ABC的三邊$BC$、$CA$、$AB$上分別取點(diǎn)$D$、$E$、$F$。使$CF$與$AD$，$AD$與$BE$的交點(diǎn)分別為$A_1$、$B_1$、$C_1$，$BD:DC=m:1$，$CE:EA=n:1$，求證：$\frac{S_{\triangleA_1B_1C_1}}{S_{\triangleABC}}=\frac{1}{7}$?！眷柟獭俊鰽BC中，$D$，$E$分別是$BC$，$CA$上的點(diǎn)，且$BD:DC=m:1$，問(wèn)$\frac{S_{\triangleABF}}{S_{\triangleABC}}$的值。【例4】如圖所示，△ABC的三條外角平分線$BE$、$AD$、$CF$，與對(duì)邊所在直線交于$E$、$D$、$F$三點(diǎn)，證明：$D$、$E$、$F$三點(diǎn)共線?！眷柟獭?P$是平行四邊形$ABCD$內(nèi)任意一點(diǎn)，過(guò)$P$作$AD$的平行線，分別交$AB$于$E$，交$CD$于$F$；又過(guò)$P$作$AB$的平行線，分別交$AD$于$G$，交$BC$于$H$，又$CE$，$AH$相交于$Q$。證明：$P$，$Q$，$D$，$E$四點(diǎn)共線。二、塞瓦定理【例5】設(shè)$AX$，$BY$，$CZ$分別為△ABC的三條內(nèi)角平分線，證明：$AX$，$BY$，$CZ$共點(diǎn)?！纠?】若$AX$，$BY$，$CZ$分別為銳角△ABC的三角高線，證明：$AX$，$BY$，$CZ$共點(diǎn)?！纠?】若$AX$，$BY$，$CZ$分別為△ABC的三條中線，證明：$AX$，$BY$，$CZ$共點(diǎn)?！纠?】銳角三角形△ABC中，$AD$是$BC$邊上的高線，$H$是線段$AD$內(nèi)任一點(diǎn)，$BH$和$CH$的延長(zhǎng)線分別交$AC$、$AB$于$E$、$F$，證明：$\angleEDH=\angleFDH$。在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC平分角BAD，CD上取一點(diǎn)E，BE與AC相交于F，延長(zhǎng)DF交BC于G。證明角GAC等于角EAC。題目1中，三條直線分別經(jīng)