西電《通信原理》課件第二章

第二章隨機(jī)過(guò)程2內(nèi)容提要§2.1隨機(jī)過(guò)程的基本概念和統(tǒng)計(jì)特性§2.2平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程§2.3高斯隨機(jī)過(guò)程§2.4隨機(jī)過(guò)程通過(guò)線性系統(tǒng)§2.5窄帶隨機(jī)過(guò)程§2.6正弦波加窄帶隨機(jī)過(guò)程作業(yè)：1、5、7、8、9、10、14、20§2.1隨機(jī)過(guò)程的基本概念和統(tǒng)計(jì)特性返回4隨機(jī)過(guò)程：與時(shí)間有關(guān)的函數(shù)，但任一時(shí)刻的取值不確定(隨機(jī)變量)樣本函數(shù)：隨機(jī)過(guò)程的具體實(shí)現(xiàn)樣本空間：所有實(shí)現(xiàn)構(gòu)成的全體所有樣本函數(shù)及其統(tǒng)計(jì)特性構(gòu)成了隨機(jī)過(guò)程一、隨機(jī)過(guò)程的概念5二、隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特性分布函數(shù)與概率密度函數(shù)一維分布函數(shù)一維概率密度函數(shù)n維分布函數(shù)n維概率密度函數(shù)6三、隨機(jī)過(guò)程的數(shù)字特征均值是時(shí)間t的函數(shù)它表示隨機(jī)過(guò)程的n個(gè)樣本函數(shù)曲線的擺動(dòng)中心方差它表示隨機(jī)過(guò)程在時(shí)刻t對(duì)于均值的偏離程度

均值和方差描述了隨機(jī)過(guò)程在各個(gè)孤立時(shí)刻的特征，為了描述隨機(jī)過(guò)程在兩個(gè)不同時(shí)刻狀態(tài)之間的聯(lián)系，還需利用二維概率密度引入新的數(shù)字特征。7自相關(guān)函數(shù)自協(xié)方差函數(shù)二者關(guān)系為當(dāng)a(t)=0時(shí)若令則有8對(duì)于兩個(gè)或更多個(gè)隨機(jī)過(guò)程，可引入互協(xié)方差及互相關(guān)函數(shù)。設(shè)分別表示兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程互協(xié)方差函數(shù)互相關(guān)函數(shù)§2.2平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程返回10一、平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的概念平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程——它的統(tǒng)計(jì)特性不隨時(shí)間的推移而變化。狹義平穩(wěn)（嚴(yán)平穩(wěn)）它的一維分布與時(shí)間t無(wú)關(guān)，二維分布只與時(shí)間間隔有關(guān)

11二、平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的數(shù)字特征均值表示平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的各樣本函數(shù)圍繞著一水平線起伏。方差起伏偏離數(shù)學(xué)期望的程度也是常數(shù)自相關(guān)函數(shù)均值與時(shí)間無(wú)關(guān)，自相關(guān)函數(shù)只與時(shí)間間隔有關(guān)12三、廣義平穩(wěn)（寬平穩(wěn)）嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的定義式，要求對(duì)于所有的n均成立，在實(shí)際應(yīng)用中很復(fù)雜。引入另外一種平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的定義：——一個(gè)二階矩隨機(jī)過(guò)程，它的均值為常數(shù)，自相關(guān)函數(shù)僅是時(shí)間間隔的函數(shù)，則稱它為寬平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程或廣義平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程。一個(gè)嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程只要它的均方值有界，則它必定是廣義平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，但反過(guò)來(lái)一般不成立。通信系統(tǒng)中所遇到的信號(hào)及噪聲，大多數(shù)可視為平穩(wěn)的隨機(jī)過(guò)程。以后討論的隨機(jī)過(guò)程除特殊說(shuō)明外，均假定是平穩(wěn)的，且均指廣義平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，簡(jiǎn)稱平穩(wěn)過(guò)程。13四、各態(tài)歷經(jīng)性(遍歷性)：隨機(jī)過(guò)程的任一實(shí)現(xiàn)，經(jīng)歷了隨機(jī)過(guò)程的所有可能狀態(tài)。隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)平均特性，可以由其任一實(shí)現(xiàn)(樣本函數(shù))的時(shí)間平均特性來(lái)代表。假設(shè)是平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的任意一個(gè)實(shí)現(xiàn)，它的時(shí)間均值和時(shí)間相關(guān)函數(shù)分別為遍歷過(guò)程必定是平穩(wěn)過(guò)程，反之不然遍歷時(shí)間平均代替統(tǒng)計(jì)平均14五、平穩(wěn)過(guò)程自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)1.——

平均功率2.——

直流功率3.——

交流功率4.——

偶函數(shù)5.——上界15六、平穩(wěn)過(guò)程的功率譜密度任一實(shí)現(xiàn)的功率譜統(tǒng)計(jì)平均截短函數(shù)16平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度與其自相關(guān)函數(shù)是一對(duì)傅里葉變換關(guān)系——稱為維納-辛欽關(guān)系功率譜密度的性質(zhì)

——

非負(fù)性

——

偶函數(shù)可定義單邊譜或17例題§2.3高斯隨機(jī)過(guò)程返回19一、高斯隨機(jī)過(guò)程的基本概念若隨機(jī)過(guò)程ξ(t)的任意n維（n=1,2,…）分布都是正態(tài)分布，則稱它為高斯隨機(jī)過(guò)程或正態(tài)過(guò)程。高斯過(guò)程的n維分布完全由n個(gè)隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望、方差和兩兩之間的歸一化協(xié)方差函數(shù)所決定。因此，對(duì)于高斯過(guò)程，只要研究它的數(shù)字特征就可以了。20高斯隨機(jī)過(guò)程的基本概念為歸一化協(xié)方差矩陣的行列式，即

21高斯隨機(jī)過(guò)程的基本概念中元素的代數(shù)余因子；為歸一化協(xié)方差函數(shù)，且

22二、高斯隨機(jī)過(guò)程的性質(zhì)廣義平穩(wěn)的高斯過(guò)程也是狹義平穩(wěn)的。如果高斯過(guò)程在不同時(shí)刻的取值是不相關(guān)的，那么它們也是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。高斯過(guò)程經(jīng)過(guò)線性變換（或線性系統(tǒng)）后的過(guò)程，仍是高斯過(guò)程。若干個(gè)高斯過(guò)程的代數(shù)和仍是高斯過(guò)程。23一維正態(tài)分布a為高斯隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，為方差。

記為N（a，σ2），具有以下性質(zhì)：關(guān)于直線x=a對(duì)稱

表示集中程度隨著的減小曲線變高、變窄。24當(dāng)a=0，σ=1時(shí)，稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記為N（0，1）。正態(tài)分布函數(shù)——是概率密度函數(shù)的積分這個(gè)積分無(wú)法用閉合形式計(jì)算，我們要設(shè)法把這個(gè)積分式和可以在數(shù)學(xué)手冊(cè)上查出積分值的特殊函數(shù)聯(lián)系起來(lái)，一般常用誤差函數(shù)和互補(bǔ)誤差函數(shù)。25三、誤差函數(shù)和互補(bǔ)誤差函數(shù)誤差函數(shù)——

自變量的遞增函數(shù)

互補(bǔ)誤差函數(shù)——

自變量的遞減函數(shù)

26誤差函數(shù)與正態(tài)分布函數(shù)的關(guān)系用誤差函數(shù)或互補(bǔ)誤差函數(shù)表示F(x)的好處是，它簡(jiǎn)明的特性有助于今后分析通信系統(tǒng)的抗噪聲性能。如第五章，，，27四、高斯白噪聲白噪聲——它的功率譜密度均勻分布在整個(gè)頻率范圍內(nèi)是一個(gè)理想的寬帶過(guò)程。n0為一常數(shù)，單位是瓦/赫雙邊譜單邊譜28白噪聲是平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程白噪聲只有在時(shí)才相關(guān)，而它在任意兩個(gè)時(shí)刻上的隨機(jī)變量都是互不相關(guān)的。高斯白噪聲——如果白噪聲又是高斯分布的，我們就稱之為高斯白噪聲。高斯白噪聲在任意兩個(gè)不同時(shí)刻上的取值之間，不僅是互不相關(guān)的，而且還是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。

§2.4隨機(jī)過(guò)程通過(guò)線性系統(tǒng)返回30一、輸出過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特性假定輸入是平穩(wěn)過(guò)程，分析輸出過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特性。數(shù)學(xué)期望

31自相關(guān)函數(shù)

自相關(guān)函數(shù)只依賴時(shí)間間隔而與時(shí)間起點(diǎn)無(wú)關(guān)若線性系統(tǒng)的輸入過(guò)程是平穩(wěn)的，那么輸出過(guò)程也是平穩(wěn)32輸出過(guò)程的功率譜密度33二、帶限白噪聲

白噪聲→LPF理想低通的傳輸特性為輸出噪聲的功率譜密度在內(nèi)是均勻的，在此范圍外則為0通常把這樣的噪聲稱為帶限白噪聲。34帶限白噪聲的自相關(guān)函數(shù)帶限白噪聲只有在上得到的隨機(jī)變量才不相關(guān)。對(duì)帶限白噪聲按抽樣定理抽樣的話，則各抽樣值是互不相關(guān)的隨機(jī)變量帶限白噪聲的平均功率§2.5窄帶隨機(jī)過(guò)程返回36引言是隨機(jī)過(guò)程通過(guò)窄帶系統(tǒng)的輸出。窄帶條件：1.2.遠(yuǎn)離零頻實(shí)例——包絡(luò)緩慢變化的正弦波實(shí)際中，大多數(shù)通信系統(tǒng)都是窄帶型的，通過(guò)窄帶系統(tǒng)的信號(hào)或噪聲必是窄帶的，如果這時(shí)的信號(hào)或噪聲又是隨機(jī)的，則稱它們?yōu)檎瓗щS機(jī)過(guò)程。37窄帶過(guò)程的頻譜和波形示意圖38一、窄帶隨機(jī)過(guò)程的表示包絡(luò)相位形式隨機(jī)包絡(luò)隨機(jī)相位同相分量正交分量統(tǒng)計(jì)特性統(tǒng)計(jì)特性39二、同相和正交分量的統(tǒng)計(jì)特性設(shè)窄帶過(guò)程是平穩(wěn)高斯窄帶過(guò)程，且均值為零，方差為

數(shù)學(xué)期望自相關(guān)函數(shù)4041由于是平穩(wěn)的取t=0這時(shí)，顯然有42續(xù)上頁(yè)取可見(jiàn)，是平穩(wěn)的并且有：同相分量和正交分量具有相同的自相關(guān)函數(shù)

43利用互相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)得：同理可得：可見(jiàn)的互相關(guān)函數(shù)都是奇函數(shù)在同一時(shí)刻的取值是互不相關(guān)的隨機(jī)變量

因此有

具有相同的平均功率或方差

代入44因?yàn)槭瞧椒€(wěn)的，所以在任意時(shí)刻的取值都是服從高斯分布的隨機(jī)變量。當(dāng)當(dāng)因此，也是高斯隨機(jī)變量

也是高斯隨機(jī)過(guò)程在同一時(shí)刻的取值是互不相關(guān)的隨機(jī)變量，因而它們還是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。45結(jié)論1一個(gè)均值為零的窄帶平穩(wěn)高斯過(guò)程，它的同相分量和正交分量也是平穩(wěn)高斯過(guò)程而且均值都為零，方差也相同。此外，在同一時(shí)刻上得到的和是互不相關(guān)和或統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。

46三、包絡(luò)和相位的統(tǒng)計(jì)特性也即和的統(tǒng)計(jì)特性的聯(lián)合概率密度函數(shù)為設(shè)的聯(lián)合概率密度函數(shù)為則：又因?yàn)椋?7得到：于是有：48利用概率論中的邊際分布知識(shí)

同理可見(jiàn)，服從瑞利分布，服從均勻分布，且它們統(tǒng)計(jì)獨(dú)立。49結(jié)論§2.6正弦波加窄帶隨機(jī)過(guò)程返回51引言信號(hào)經(jīng)過(guò)信道傳輸后總會(huì)受到噪聲的干擾，為了減少噪聲的影響，通常在接收機(jī)前端設(shè)置一個(gè)帶通濾波器，以濾除信號(hào)頻帶以外的噪聲。因此，帶通濾波器的輸出是信號(hào)與窄帶噪聲的混合波形。最常見(jiàn)的是正弦波加窄帶高斯噪聲的合成波，所以有必要了解合成信號(hào)的包絡(luò)和相位的統(tǒng)計(jì)特性。52設(shè)合成信號(hào)為：為窄帶高斯噪聲，其均值為零，方差為常數(shù)

上均勻分布的隨機(jī)變量一、包絡(luò)和相位的統(tǒng)計(jì)特性53當(dāng)θ給定時(shí)，是相互獨(dú)立的高斯隨機(jī)變量。

在給定相位θ的條件下的聯(lián)合概率密度函數(shù)

54求條件邊際分布，有與θ無(wú)關(guān)，這個(gè)概率密度函數(shù)稱為廣義瑞利分布，也稱萊斯（Rice）密度函數(shù)

55上式存在兩種極限情況：當(dāng)信號(hào)很小，這時(shí)合成波中只存在窄帶高斯噪聲，由萊斯分布退化為瑞利分布。當(dāng)信噪比r很大時(shí)，近似于正態(tài)分布。信號(hào)加噪聲的合成波包絡(luò)分布與信噪比有關(guān)。小信噪比時(shí)，它接近于瑞利分布；大信噪比時(shí)，它接近于高斯分布；在一般情況下才是萊斯分布。