隨機變量的數(shù)字特征

第四章隨機變量的數(shù)字特征隨機變量的概率分布反映了隨機變量的統(tǒng)計規(guī)律性，但是在實際問題中，要確定一個隨機變量的分布不是一件容易的事情．在許多情況下，并不需要求出隨機變量的分布，只須知道從不同角度反映隨機變量取值特征的假設干個數(shù)字就夠了，這些數(shù)字就稱為隨機變量的數(shù)字特征．本章將討論隨機變量的數(shù)學期望、方差、矩以及相關系數(shù)，它們在概率論與數(shù)理統(tǒng)計中起著重要的作用．第一節(jié)數(shù)學期望一、離散型隨機變量的數(shù)學期望例1一臺機床加工某種零件，它加工出優(yōu)質品、合格品和廢品的概率依次為0.2、0.7和0.1．如果出售優(yōu)質品和合格品，每一個零件可分別獲利0.40元和0.20元；如果加工出一件廢品那么要損失0.10元．問這臺機床每加工出一個零件，平均可獲利多少元？解以X表示加工出一個零件所獲得的利潤，那么X的分布律為X－0.100.200.40

Y

0.10.70.2現(xiàn)假設該機床加工

個零件，其中廢品

件，合格品

件，優(yōu)質品件，這里

.則這個零件可以獲得總利潤為，平均每個零件可獲利為.其中，和分別是事件、和出現(xiàn)的頻率．當很大時，，和分別接近于0.1、0.7和0.2，于是可以期望該機床加工出的每一個零件所獲得的平均利潤為（元）上述結果稱為隨機變量X的數(shù)學期望．定義1設離散型隨機變量X的分布律為則稱（要求此級數(shù)絕對收斂） （1）為X的數(shù)學期望(或均值)．

例2設X服從參數(shù)為p的(0－1)分布，求X的數(shù)學期望．解

X的分布律為

X01

P1－pp.例3設，求．解

X的分布律為例4設，求．解

例510件產品中有2件次品，求任意取3件中次品數(shù)的數(shù)學期望．解以X表示任取3件中次品的個數(shù)，可取值為0,1,2，其分布律為因此.二、連續(xù)型隨機變量的數(shù)學期望

例6設X在[a,b]上服從均勻分布，求E(X)．解

X的概率密度為

.例7設X服從參數(shù)為的指數(shù)分布，求E(X)．定義2設連續(xù)型隨機變量X的概率密度為f(

x

),則稱（要求此積分絕對收斂)為X的數(shù)學期望(或均值)．(2)解

.例10設，求．解.例11設X在區(qū)間(0,a)上服從均勻分布，求的數(shù)學期望．解

X的密度為則.例12設X的概率密度為，求、．解

例13設(X,Y)的聯(lián)合密度為求E(X)、E(XY)．定理2設隨機變量Z是X、Y的函數(shù)Z=g

(X,Y)；（1）若(X,Y)為二維連續(xù)型隨機變量，聯(lián)合密度為f(x,y)，則

.

（2）若(X,Y)為二維離散型隨機變量，聯(lián)合分布律為．則（5）解

.

四、數(shù)學期望的性質（設、存在）

性質1設C為常數(shù)，那么有E(C)=C．性質2．性質3．證只對連續(xù)型隨機變量的情形來證明,離散型的證明從略．設(X,Y)的概率密度為f

(x,y)，則有性質4若X、Y相互獨立，則E(XY)=E(X)E(Y)．證只對連續(xù)型加以證明．設(X,Y)的聯(lián)合密度為f(x,y),關于X、Y的邊緣密度分別為fX(x)、fY(y).則有f(x,y)=fX(x)

fY(y)，于是例14設X與Y獨立，求．

思考題是否任何一個隨機變量都存在數(shù)學期望？請研究隨機變量X，其概率密度為解第二節(jié)方差

一、方差的定義定義3

D(X)=E{[X－E(X)]2}(6)稱為隨機變量X的方差．稱為X的均方差或標準差．二、方差的計算公式1．設X為離散型隨機變量，分布律為則

.(7)2．設X為連續(xù)型隨機變量，概率密度為f(x),則

.（8）3． ．（9）證明如下例1設X服從參數(shù)為p的(0－1)分布，求D(X)．

X

0

1

p1－p

p解E(X)=p,

例2設，求D(X)．解，．.例3設X在[a,b]上服從均勻分布，求D(X)．解,例4設X服從參數(shù)為

的指數(shù)分布，求D(X)．解，．例5設，求D(X)．解,..三、方差的性質性質1設C為常數(shù)，則D(C)=0．證．性質2.證.性質3設X與Y相互獨立，則有

.

證例6設，求．解設服從參數(shù)為p的

分布，且相互獨立，則．于是

.例7設X與Y相互獨立，，，求．解

.例8設E(X)、D(X)均存在，且D(X)＞0，，求、．解

.稱為X的標準化隨機變量．例9設相互獨立，并且具有相同的期望與方差，，求、、．解

...（11）為X與Y的相關系數(shù)或標準協(xié)方差．稱.（12）

.性質1．．（a,b為常數(shù)）．性質2，．性質3若X與Y相互獨立，則．定義4稱為X與Y的協(xié)方差，記作．（10）第三節(jié)協(xié)方差與相關系數(shù)例1設二維隨機變量(X,Y)的概率分布為

Y－101

X－1

1/81/81/8

01/801/811/81/81/8證明X與Y不相關，但X與Y不相互獨立．證

(X,Y)關于X

和Y的邊緣分布為

X－1

01

P3/82/83/8性質4的充分必要條件是：存在常數(shù)a,b，使得=1．當時，稱X與Y不相關．由于即有,所以X與Y不相互獨立．Y－1

01P3/82/83/8

于是有因此，即X與Y不相關．...同理，于是．從而有，即X與Y不相關．解例2設(X,Y)的聯(lián)合概率密度為驗證X與Y不相關，但不相互獨立．例3設二維隨機變量(X,Y)的概率密度為證明：X與Y不相關，但不相互獨立．證

,當x=0,y=0時，，而，即有，所以X與Y不相互獨立．而，可見，所以X和Y不相互獨立．由于從而有，，即X與Y不相關．因此．解由于，而例4設，即(X,Y)的聯(lián)合密度為

求．稱為X的偏度；X*的4階原點矩稱為X的峰度．隨機變量X的標準化隨機變量的3階原點矩定義5設X與Y是兩個隨機變量，稱E(X

k)為X的k階原點矩；稱E{[X－E(X)]k}為X的k階中心矩；稱E(X

kYl)為X與Y的k+l階混合原點矩；稱E{[X－E(X)]k[Y－E(Y)]l}為X與Y

的k+l階混合中心矩．第四節(jié)矩第五章

大數(shù)定律與中心極限定理第一節(jié)大數(shù)定律定義1設為一隨機變量序列，a為一個常數(shù)，如果對于任意正數(shù)ε，都有,則稱{Yn}按概率收斂于a,記作（n→∞）．定理1（契比雪夫不等式）設E(X)=μ，D(X)=σ2，則對于任意正數(shù)ε，有，或 ．證令，則有，，由定理1有

，定理2（契比雪夫大數(shù)定律的特例）設相互獨立，且具有相同的數(shù)學期望E

(Xk

)=μ和方差

，則對于任意正數(shù)ε，

.證只就連續(xù)型進行證明，設X的概率密度為f

(x)，則有因此有.定理2′(契比雪夫定理)設相互獨立，分別具有數(shù)學期望及方差并且方差是一致有上界的，即存在正數(shù)M，使得，，則對于任意正數(shù)ε，恒有

.定理3（伯努利定理）設nA

是在n次獨立重復試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)，P(A)=p，則對任意正數(shù)ε，有

.證

．由定理1可得，于是有

.定理4（辛欽定理）設相互獨立，服從同一分布，期望E

(Xk)=μ存在，則對于任意正數(shù)ε，有

.證明略．此定理說明，按概率收斂于μ=E(Xk)．進一步有按概率收斂于．這是參數(shù)估計的理論基礎．第二節(jié)中心極限定理定義2設的分布函數(shù)依次為X的分布函數(shù)為F(x)．如果對于F(x)的每個連續(xù)點x，都有,則稱隨機變量序列依分布收斂于X，記為

.定理5（獨立同分布中心極限定理）設相互獨立，服從同一分布，存在期望E

(Xk)=μ和方差，則

依分布收斂于標準正態(tài)分布N(0,1)，即對于Yn

的分布函數(shù)的連續(xù)點x有

.

此定理說明當n很大時，Yn

近似服從N(0,1)，從而可知當n很大時，近似服從．定理6（德莫佛—拉普拉斯定理）設隨機變量Yn~B(

n,p)

，則對于任意