高中數學導數練習題

高中數學導數練習題

例1：已知函數$f(x)=\frac{1}{3x+2x+1}$，求$f'(-1)$的值。解析：$f'(x)=\frac{-3}{(3x+2x+1)^2}$，所以$f'(-1)=\frac{-3}{(3\times(-1)+2\times(-1)+1)^2}=3$。例2：已知函數$y=f(x)$的圖像在點$M(1,f(1))$處的切線方程是$y=\frac{1}{x+2}$，求$2f(1)+f'(1)$的值。解析：因為$k=\frac{1}{1+2}=\frac{1}{3}$，所以$f'(1)=\frac{1}{3}$。由切線過點$M(1,f(1))$，可得點$M$的縱坐標為$\frac{2}{5}$，所以$f(1)=\frac{2}{5}$，所以$2f(1)+f'(1)=\frac{4}{5}+\frac{1}{3}=\frac{17}{15}$。例3：已知曲線$y=x-\frac{2}{x-4}$在點$(1,-3)$處的切線斜率為$k=-5$，求該切線方程。解析：$y'=1+\frac{2}{(x-4)^2}$，所以在點$(1,-3)$處的切線斜率為$y'(1)=-3$。設切線方程為$y=-5x+b$，將點$(1,-3)$帶入切線方程可得$b=2$，所以該切線方程為$5x+y-2=0$。例5：已知$f(x)=ax+3x-x+1$在$\mathbb{R}$上是減函數，求$a$的取值范圍。解析：$f'(x)=3a+6x-1$，因為$f(x)$是減函數，所以$f'(x)<0$，即$3a+6x-1<0$。解不等式可得$a<\frac{1-2x}{3}$，所以$a$的取值范圍為$\left(-\infty,\frac{1-2x}{3}\right)$。，求f(x)的最小值及取到最小值的x值。解析：將f(x)展開得到f(x)=x^2-(4+a)x+4a。因為a為實數，所以f(x)為二次函數，對稱軸為x=(4+a)/2。當x=(4+a)/2時，f(x)取得最小值，最小值為f((4+a)/2)=-a^2+8a-8。所以f(x)的最小值為-a^2+8a-8，取到最小值的x值為(4+a)/2。答案：f(x)的最小值為-a^2+8a-8，取到最小值的x值為(4+a)/2。點評：本題考查二次函數的最值問題，需要注意對稱軸的求法。對于一般的二次函數y=ax^2+bx+c，其最值為：當a>0時，最小值為f(-b/2a)，當a<0時，最大值為f(-b/2a)。2(?2,2)2(2,+∞)f(x)增函數極大減函數極小增函數，因此函數f(x)的單調增區(qū)間是(-∞,-2)和(2,+∞)。由f(-1)=10，f(2)=-82，f(3)=18可知，f(x)在[-1,3]上的最大值是f(3)=18，最小值是f(2)=-82。答案：(1)a=2，b=-12，c=0；(2)最大值是f(3)=18，最小值是f(2)=-82。點評：本題考查函數的奇偶性、單調性、二次函數的最值、導數的應用等基礎知識，以及推理能力和運算能力。導數強化訓練(一)選擇題1.已知曲線y=x^2/4的一條切線的斜率為1/2，則切點的橫坐標為（B）2。2.曲線y=x^2-3x+1在點(1,-1)處的切線方程為B.y=-3x+2。3.函數y=(x+1)(x-1)在x=1處的導數等于(D)4。4.已知函數f(x)在x=1處的導數為3，則f(x)的解析式可能為A.f(x)=(x-1)+3(x-1)。5.函數f(x)=x+ax+3x-9，已知f(x)在x=-3時取得極值，則a=(D)5。6.函數f(x)=x-3x^2+1是減函數的區(qū)間為(B)(-∞,2)。7.若函數f(x)=x+bx+c的圖象的頂點在第四象限，則函數f'(x)的圖象是(A)2x+b。8.函數f(x)=2x^2-x^3在區(qū)間[0,6]上的最大值是(C)12。9.函數y=x-3x的極大值為m，極小值為n，則m+n為(A)3。10.三次函數f(x)=ax^3+x在x∈(-∞,+∞)內是增函數，則(A)a>1/3。11.在函數y=x-8x^3的圖象上，其切線的傾斜角小于π/4的點中，坐標為整數的點的個數是(D)。12.函數f(x)在開區(qū)間(a,b)內有幾個極小值點（A）？A.1個B.2個C.3個D.4個已知函數f(x)的定義域為開區(qū)間(a,b)，導函數f'(x)在(a,b)內的圖像如下：（圖像不可用）根據圖像可知，在開區(qū)間(a,b)內，函數f(x)有3個極小值點，因此答案為C。13.曲線y=x在點(1,1)處的切線與x軸、直線x=2所圍成的三角形的面積為多少？曲線y=x的導數為1，因此在點(1,1)處的切線斜率為1。該切線與x軸交點為(0,0)，與直線x=2交點為(2,2)。因此，三角形的底為2-1=1，高為1，面積為1/2。答案：1/2。14.已知曲線y=1/(3x+4)，則過點P(2,4)的切線方程為什么？曲線y=1/(3x+4)的導數為-3/(3x+4)^2。因此，在點P(2,4)處的切線斜率為-3/(3*2+4)^2=-1/36。該切線過點P(2,4)，因此可以使用點斜式求出其方程：y-4=(-1/36)(x-2)化簡可得：y=(-1/36)x+73/18答案：y=(-1/36)x+73/18。15.已知函數f(x)=x^6+x^5，對于任意x∈R，都有f(n)(x)=0，則n的最小值為多少？由題可知，f(x)的6階導數及以上的導數都為0。因此，n的最小值為6。答案：6。16.某公司一年購買某種貨物400噸，每次都購買x噸，運費為4萬元/次，一年的總存儲費用為4x萬元，要使一年的總運費與總存儲費用之和最小，則x應該等于多少噸？一年購買的貨物總量為400噸，因此購買次數為400/x次。每次購買的運費為4萬元，因此總運費為(400/x)*4萬元。一年的總存儲費用為4x萬元。因此，總費用為：C(x)=(400/x)*4+4x對C(x)求導，并令其等于0，可以得到：dC(x)/dx=-1600/x^2+4=0解得x=20。因此，x應該等于20噸。答案：20。17.已知函數f(x)=x^3+ax^2+bx+c，當x=-1時，取得極大值7；當x=3時，取得極小值32。求這個極小值及a、b、c的值。當x=-1時，有：f(-1)=(-1)^3+a(-1)^2+b(-1)+c=-a-b+c=7當x=3時，有：f(3)=3^3+a(3)^2+b(3)+c=27a+3b+c=32將上述兩個式子相減，可得：24a+4b=25當x=-1時，取得極大值，因此a<0。由于f(x)在x=-1和x=3處取得了極值，因此f'(x)在這兩個點處為0。因此，有：f'(-1)=3(-1)^2+2a(-1)+b=0f'(3)=3(3)^2+2a(3)+b=0解得：a=-9/2,b=27/2,c=-5因此，極小值為f(3)=32，a=-9/2，b=27/2，c=-5。答案：32，a=-9/2，b=27/2，c=-5。18.已知函數f(x)=-x^3+3x^2+9x+a。(1)求f(x)的單調減區(qū)間。f'(x)=-3x^2+6x+9=-3(x-3)(x+1)，因此f(x)的單調減區(qū)間為(-∞,-1]和[3,+∞)。(2)若f(x)在區(qū)間[-2,2]上的最大值為20，求它在該區(qū)間上的最小值。f(x)在區(qū)間[-2,2]上的最大值為20，因此f(2)=20。因為f(x)在[-2,2]上單調遞減，因此f(x)在該區(qū)間上的最小值為f(-2)=-a-3，根據f(2)=20，可以解得a=-23。因此，f(x)在區(qū)間[-2,2]上的最小值為-20。答案：-20。19.設t≠0，點P(t,f(t))是函數f(x)=x+ax+b與g(x)=bx+c的圖像的一個公共點，兩函數的圖像在點P處有相同的切線。(1)用t表示a、b、c。由于點P是函數f(x)和g(x)的公共點，因此有：t+at+b=bt+c因為兩個函數在點P處有相同的切線，因此它們的導數在點P處相等。因此，有：1+a=b聯立上述兩個式子，可得：t=c/(1-a)b=1+a(2)若函數y=f(x)-g(x)在(-1,3)上單調遞減，求t的取值范圍。函數y=f(x)-g(x)在點P處的導數為(a-b)x+(b-c)，因此在點P處的導數為0，有：t=(c-b)/(a-b)因為函數y=f(x)-g(x)在(-1,3)上單調遞減，因此在該區(qū)間上的導數小于0。因此，有：(a-b)x+(b-c)<0代入t的表達式，可得：(c-b)/(a-b)<3因此，t的取值范圍為：c/(1-a)<3答案：(c-b)/(a-b)<t<c/(1-a)<3。20.設函數f(x)=x+bx+cx^2(x∈R)，已知g(x)=f(x)-f'(x)是奇函數。(1)求b、c的值。f'(x)=1+b+2cx，因此：g(x)=f(x)-f'(x)=-bx-cx^2因為g(x)是奇函數，因此有：g(-x)=-g(x)代入g(x)的表達式，可得：-bx-cx^2=bx-cx^2因此，b=0。因為g(x)是奇函數，因此g'(0)=0。因此，有：g'(x)=-b-2cxg'(0)=-b=0因此，c=0。因此，b=c=0。(2)求g(x)的單調區(qū)間與極值。g(x)=-bx-cx^2=0，因此x=0或x=-b/c。因為b=c=0，因此g(x)只有一個零點x=0。g'(x)=-b-2cx=-2cx，因此g(x)在x<0時單調遞減，在x>0時單調遞增。因此，g(x)的單調區(qū)間為(-∞,0)和(0,+∞)。因為g(x)在x=0處取得了極值，因此極值為0。答案：b=c=0，單調區(qū)間為(-∞,0)和(0,+∞)，極值為0。21.用長為18cm的鋼條圍成一個長方體形狀的框架，要求長方體的長與寬之比為2：1，問該長方體的長、寬、高各為多少時，其體積最大？最大體積是多少？設長為2x，寬為x，高為y，則有：2x+2x+x+y+y=18化簡可得：x+y=3長方體的體積為V=2x^2y。因此，可以將V表示為：V=2x^2(3-x)對V求導，并令其等于0，可以得到：dV/dx=4x-6x^2=0解得x=2/3。因此，長為4/3，寬為2/3，高為5/3。最大體積為V=16/27。答案：長為4/3，寬為2/3，高為5/3，最大體積為16/27。22.已知函數f(x)=2x/(x^2+1)。(1)求f(x)在區(qū)間[-1,3]內各有一個極值點。f'(x)=(2(x^2+1)-4x^2)/(x^2+1)^2=2(1-x^2)/(x^2+1)^2。因此，f'(x)的零點為x=-1和x=1。因為f(x)在x=-1和x=3處的導數異號，因此在區(qū)間[-1,3]內f(x)有一個極大值點和一個極小值點。(2)求a-4b的最大值。f(x)在x=1處取得極大值，因此有：a-4b=f(1)=1因此，a-4b的最大值為1。答案：(1)極值點為1個極大值點和1個極小值點；(2)a-4b的最大值為1。23.已知函數f(x)=x+ax^2+bx^3在區(qū)間[-1,1]內各有一個極大值點、一個極小值點和一個拐點。求a-4b的最大值和當a-4b=8時，函數f(x)的表達式。f'(x)=1+2ax+3bx^2，因此f'(x)的零點為：x1=(-2a+sqrt(4a^2-12b))/6x2=(-2a-sqrt(4a^2-12b))/6x3=-a/(3b)因為f(x)在區(qū)間[-1,1]內有一個極大值點、一個極小值點和一個拐點，因此上述三個零點應該分別對應極大值點、極小值點和拐點。因為x1和x2的和為-2a/3，因此x1和x2分別為極大值點和極小值點。因為x3在[-1,1]內，因此x3為拐點。因為f(x)在x=x1處取得極大值，因此有：f'(x1)=0代入f'(x)的表達式，可得：1+2ax1+3bx1^2=0因為x1和x2的和為-2a/3，因此有：x2=-2a/3-x1代入f'(x)的表達式，可得：1+2ax2+3bx2^2=0聯立上述三個式子，可解得：a=13.填空題：2,814.y-4x+4=15.7,16=3x-2y+1015.20解答題：17.解：根據題意，-1，3是方程3x+2ax+b=0的兩個根，由韋達定理得：2a(-1+3)=-3，-1*3=b∴a=-3，b=-9因此，f(x)=x^3-3x^2-9x+2代入f(-1)=7，求得c=2代入f(3)=-25，得到極小值為-25所以，a=-3，b=-9，c=218.解：（1）因為f(x)=x^3-3x^2+6x+9+af'(x)=-3x^2+6x+9令f'(x)<0