求轉(zhuǎn)動(dòng)慣量-課件

第5質(zhì)心兩體問(wèn)題的動(dòng)力學(xué)方程討論行星運(yùn)動(dòng)時(shí)常以太陽(yáng)作為參考系列出行星的牛頓第二定律方程。然而日心系并不是嚴(yán)格的慣性系，只有質(zhì)心系才是嚴(yán)格的慣性系。因?yàn)椴豢紤]其他天體，無(wú)外力，質(zhì)心加速度為零。

1第5章剛體力學(xué)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定理定軸轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理平行軸定理薄板垂直軸定理2常見(jiàn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量公式3直線運(yùn)動(dòng)與定軸轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)照表質(zhì)點(diǎn)的直線運(yùn)動(dòng)剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)4例題5例1(求質(zhì)心)估算地球和月球組成的地月系統(tǒng)的質(zhì)心解：兩質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)的質(zhì)心C到兩質(zhì)點(diǎn)的距離分別為由杠桿關(guān)系則即地月系統(tǒng)質(zhì)心在地球內(nèi)距離地心約3/4地球半徑處6例2（求質(zhì)心）均勻鐵絲彎成半徑為R的半圓形，求此半圓形鐵絲的質(zhì)心。

選如圖坐標(biāo)系，取長(zhǎng)為dl的鐵絲，質(zhì)量為dm，以表示線密度，dm=dl如果是半球殼?解：質(zhì)心應(yīng)在y軸上。7例3（求質(zhì)心）試計(jì)算如圖所示的面密度為恒量的直角三角形的質(zhì)心的位置。解：取如圖所示的坐標(biāo)系。由于質(zhì)量面密度為恒量，取微元ds=dxdy的質(zhì)量為dm=ds=dxdy，所以質(zhì)心的x坐標(biāo)為積分可得因而質(zhì)心的坐標(biāo)為

（也可用幾何法）8ab討論：如果為3根勻質(zhì)細(xì)桿組成三角形而不是面密度均勻的三角形呢？

9思考：不對(duì)稱物體，有什么簡(jiǎn)單方法找到它的質(zhì)心？懸掛法10例4

（求瞬心）

如圖，僅受大小相等方向相反的一對(duì)力作用于一根靜止的、自由的、質(zhì)量均勻分布的細(xì)棒的一端，則此棒將繞

點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)。ABOCC點(diǎn)不動(dòng)而以C為參考點(diǎn)，M=I0，因此桿相對(duì)C點(diǎn)有轉(zhuǎn)動(dòng)桿繞定點(diǎn)C點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)11例5（質(zhì)心系）：已知m1,m2,k,拉伸l0

求:(1)拉伸放手后運(yùn)動(dòng)特征

(2)m1相對(duì)m2的最大速率m2m1k解：(1)無(wú)外力，aC=0,質(zhì)心靜止相對(duì)于質(zhì)心振動(dòng)，振動(dòng)頻率兩者相同位移：兩者按杠桿關(guān)系，相對(duì)于質(zhì)心方向相反m1相對(duì)m2的最大速率是恢復(fù)到彈簧原長(zhǎng)時(shí)上式是以m2為參考系計(jì)算的，不是慣性系。有偏差正確的結(jié)果是用替換m(2)選擇m2作為參考點(diǎn)，考察m1的運(yùn)動(dòng)更直接的方法是利用行星運(yùn)動(dòng)方程求解12解：A離懸點(diǎn)后繩的質(zhì)心自由下落，B相對(duì)質(zhì)心速度不變

此刻B端速度此刻質(zhì)心速度求質(zhì)心

此刻質(zhì)心比B高伸直后質(zhì)心比B高例6（質(zhì)心系）長(zhǎng)為l、質(zhì)量線密度為λ的勻質(zhì)軟繩，開(kāi)始時(shí)兩端A和B一起懸掛在固定點(diǎn)上。今使B端脫離懸掛點(diǎn)自由下落，如圖所示，當(dāng)B端下落高度為l/2時(shí)，使A脫離懸掛點(diǎn)，問(wèn)此后經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間繩子完全伸直？(提示：在質(zhì)心系中分析)y相對(duì)速度伸直用相差13例7（質(zhì)心系）

線性引力假設(shè)質(zhì)點(diǎn)間的萬(wàn)有引力是線性的：其中G*為假想的引力常量，r為兩質(zhì)點(diǎn)的間距。不考慮碰撞的可能性，試導(dǎo)出多質(zhì)點(diǎn)引力系統(tǒng)各質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌道和周期。質(zhì)心系是慣性系，以質(zhì)心為坐標(biāo)原點(diǎn)。質(zhì)心第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)系總質(zhì)量m動(dòng)力學(xué)方程組14方程表明，第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)所受合引力等效于受系統(tǒng)質(zhì)心的引力。方程組可分離變量，多體問(wèn)題轉(zhuǎn)化為單體問(wèn)題。15第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)的初始運(yùn)動(dòng)狀態(tài)確定一個(gè)平面第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)只能在此平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程可分解為：每個(gè)方程的解都是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，角頻率都是合成的軌道是一個(gè)以質(zhì)心為中心的橢圓，運(yùn)動(dòng)周期為16附：兩體問(wèn)題的動(dòng)力學(xué)方程討論行星運(yùn)動(dòng)時(shí)常以太陽(yáng)作為參考系列出行星的牛頓第二定律方程。然而日心系并不是嚴(yán)格的慣性系，只有質(zhì)心系才是嚴(yán)格的慣性系。因?yàn)椴豢紤]其他天體，無(wú)外力，質(zhì)心加速度為零。在質(zhì)心系中mM：約化質(zhì)量行星動(dòng)力學(xué)方程C相對(duì)位矢17是上式的近似，偏差在于用m代替約化質(zhì)量的出現(xiàn)替代了慣性力的貢獻(xiàn)由于日心系是非慣性系，存在慣性力mM將太陽(yáng)視為不動(dòng)點(diǎn)時(shí)的行星運(yùn)動(dòng)方程另解：在日心非慣性系中求解m/M比值可表征日心系準(zhǔn)慣性系的精度18其相對(duì)偏差為只要，偏差很小m繞質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)、M繞質(zhì)心運(yùn)動(dòng)、m繞M的運(yùn)動(dòng)形式是相同的參考點(diǎn)與運(yùn)動(dòng)形式19第5章剛體力學(xué)20例1（求轉(zhuǎn)動(dòng)慣量）質(zhì)量m、長(zhǎng)l的勻質(zhì)細(xì)桿，轉(zhuǎn)軸垂直細(xì)桿(a)位于質(zhì)心(b)位于一端。求：細(xì)桿的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。(a)轉(zhuǎn)軸位于質(zhì)心(b)轉(zhuǎn)軸位于一端xdxxOl或21例2（求轉(zhuǎn)動(dòng)慣量）：用一根長(zhǎng)為1米的輕質(zhì)剛桿將兩個(gè)質(zhì)量各為5.0千克的鉛球連接成啞鈴。(忽略鉛球大小，當(dāng)質(zhì)點(diǎn)看待)求：?jiǎn)♀?a)通過(guò)中心C且垂直于桿的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；

(b)繞通過(guò)一球且垂直于桿的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。ABC×22解：(a)轉(zhuǎn)軸通過(guò)中心C且垂直于桿(b)轉(zhuǎn)軸通過(guò)A或B且垂直于桿啞鈴繞通過(guò)一端的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等于繞過(guò)中心的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的2倍。23例3（求轉(zhuǎn)動(dòng)慣量）

圓環(huán)與勻質(zhì)圓盤，轉(zhuǎn)軸過(guò)圓心且于圓平面垂直，

求:它們的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量圓環(huán)勻質(zhì)圓盤24例4（求轉(zhuǎn)動(dòng)慣量）

質(zhì)量為m半徑為R的勻質(zhì)薄球殼繞過(guò)中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量在球面取一圓環(huán)帶，半徑r25方法二：26例5（求轉(zhuǎn)動(dòng)慣量）

求質(zhì)量為m半徑為R的勻質(zhì)球體繞過(guò)球心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量把球體看作無(wú)數(shù)個(gè)厚度為dr的同心薄球殼的組合

質(zhì)量為dm的半徑為r的薄球殼轉(zhuǎn)動(dòng)慣量dI

27例6（求轉(zhuǎn)動(dòng)慣量）

質(zhì)量m、邊長(zhǎng)分別為a和b的勻質(zhì)長(zhǎng)方板，轉(zhuǎn)軸通過(guò)中心O且與板面垂直。應(yīng)用量綱分析和平行軸定理求板的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。量綱分析其中的系數(shù)待定邊長(zhǎng)a和b互換，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量不變28應(yīng)用平行軸定理比較系數(shù)29例7(求轉(zhuǎn)動(dòng)慣量)勻質(zhì)正方形薄板質(zhì)量為m，各邊長(zhǎng)為a，在板平面設(shè)置過(guò)中心O的轉(zhuǎn)軸MN，試求板相對(duì)該軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。OMN解：過(guò)O點(diǎn)作M

N

MN，則有I=IMN坐標(biāo)系Oxy，相對(duì)xy軸轉(zhuǎn)動(dòng)有xy垂直軸定理有Iz是繞O且垂直與板平面，則30例8(求轉(zhuǎn)動(dòng)慣量)如圖,圓環(huán)質(zhì)量m1，半徑R，短棒質(zhì)量m2,長(zhǎng)度d。求：對(duì)z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量根據(jù)平行軸定理，圓環(huán)對(duì)轉(zhuǎn)軸z的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為

圓環(huán)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)軸：過(guò)圓心，與紙面垂直解：因此，整個(gè)元件對(duì)z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為根據(jù)正交軸定理有dzROyx⊙z31例9(剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng))長(zhǎng)l質(zhì)量m的均勻細(xì)桿，一端固定在水平軸O上，從水平位置，自靜止釋放后下擺。求(1)

和d/dt(2)aC和aCn(3)fn和f解

(1)外力fn和f不做功，mg為保守力，故m和地球系統(tǒng)機(jī)械能守恒。以桿處于水平位置為重力勢(shì)能零點(diǎn)桿在任一位置與水平方向夾角時(shí)機(jī)械能守恒方程為對(duì)2求導(dǎo)32(2)dv/dt=rd

/dtv2/=r2(3)合力33極值討論呼應(yīng)兩人抬桿，一人失手?？煽醋髑懊胬}是本題當(dāng)=0時(shí)的瞬間情況34例10(剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng))如圖所示，將單擺和一等長(zhǎng)的勻質(zhì)直桿懸掛在同一點(diǎn)，桿的質(zhì)量m與單擺的擺錘相等。開(kāi)始時(shí)直桿自然下垂，將單擺的擺錘拉到高度h0，令它自靜止?fàn)顟B(tài)下垂，于鉛垂位置和直桿作彈性碰撞。求碰撞后直桿下端達(dá)到的高度h。chchh=3h0/2bamlh0l35令碰撞后直桿的角速度為，擺錘的速度為v＇。由角動(dòng)量守恒，有在彈性碰撞過(guò)程中機(jī)械能也是守恒的:二式聯(lián)立解得：①②按機(jī)械能守恒，碰撞后擺錘達(dá)到的高度顯然為而桿的質(zhì)心達(dá)到的高度滿足由此得解:碰撞前單擺擺錘的速度為36例11(剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng))均勻直桿(l，M),一端掛在光滑水平軸上，開(kāi)始時(shí)靜止在豎直位置，有一子彈(m，vo

)水平射入而不射出。求桿與子彈一起運(yùn)動(dòng)時(shí)的角速度。解：子彈進(jìn)入到一起運(yùn)動(dòng)瞬間完成系統(tǒng)(子彈+棒)外力：重力、軸的作用力在碰撞瞬間對(duì)軸的力矩為零碰撞瞬間對(duì)軸角動(dòng)量守恒動(dòng)量守恒？v00機(jī)械能守恒？37例12(剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng))如圖所示，一質(zhì)量為m的子彈以水平速度射入一靜止懸于頂端長(zhǎng)棒的下端，穿出后速度損失3/4，求子彈穿出后棒的角速度。已知棒長(zhǎng)為l，質(zhì)量為M。解:以f代表棒對(duì)子彈的阻力，對(duì)子彈有:子彈對(duì)棒的反作用力對(duì)棒的沖量矩為：因

，由兩式得v0vmMl38例13(剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng))棒球運(yùn)動(dòng)員擊球的效果如何，取決于擊球點(diǎn)的位置是否合適。理論分析表明，存在這樣一個(gè)擊球點(diǎn)(如圖)，使手握的約束力為零。這個(gè)最佳位置被稱為打擊中心。求：打擊中心的位置。解：如圖，設(shè)手握處為參考點(diǎn)O，棒的質(zhì)心位置為rC，擊球點(diǎn)的位置為r。擊球瞬間反彈的球給棒一沖擊力f,手給棒一約束力f0，列出運(yùn)動(dòng)方程轉(zhuǎn)動(dòng)定理質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系39令f0=0

，得到打擊中心位置為討論：⑴比例系數(shù)k被定義為實(shí)際慣量與質(zhì)心慣量之比，其數(shù)值取決于棒的形狀。k約在1.1~1.3范圍均勻棒細(xì)長(zhǎng)三角形平板40⑵手握的約束力，還有維持質(zhì)心運(yùn)動(dòng)的向心力和對(duì)重力的支持力，它們是持續(xù)力，在擊球前就已存在。擊球瞬間使手突感震動(dòng)的是約束力f0

的反作用力。用棒擊球時(shí)，若擊球點(diǎn)在打擊中心附近，則手受到棒的作用力最小。若擊球點(diǎn)到手握處(轉(zhuǎn)軸)的距離r>rO，則手對(duì)棒的作用力f0與球?qū)Π舻淖饔昧

方向相同，握棒的手指受力。若，r<rO，則f0與f方向相反，握棒手的虎口受力。41平面平行運(yùn)動(dòng)42m1Rm2

例1.物體m2>m1，滑輪質(zhì)量M，半徑為R,繩子質(zhì)量忽略，滑輪與軸無(wú)摩擦，與繩有摩擦、無(wú)滑動(dòng)。求重物的加速度及摩擦因數(shù)的取值范圍？解：m1gT1T2m2gaT2T1Mfa43建立坐標(biāo)系，分析臨界狀態(tài)的一段線元沿滑輪切向沿滑輪法向44例2在水平的光滑細(xì)桿上，套著兩個(gè)半徑相同的勻質(zhì)圓柱體。開(kāi)始時(shí)1以角速度ω0繞細(xì)桿轉(zhuǎn)動(dòng)，同時(shí)以速度v0朝2運(yùn)動(dòng)，2靜止。兩者發(fā)生彈性碰撞，碰撞力在接觸面上均勻分布，接觸面之間的摩擦因數(shù)μ

處處相同。求碰后兩者的速度和角速度。兩個(gè)圓柱體的碰撞是正碰，碰撞力不影響各自相對(duì)質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能兩個(gè)圓柱體平動(dòng)動(dòng)能守恒45平均碰撞力平均摩擦力矩1、2的平均角加速度碰撞后，二者的角速度46上述結(jié)果適合滿足條件若不滿足上述條件，則必在二者角速度相等時(shí)摩擦力消失。碰撞力和摩擦力都是內(nèi)力，系統(tǒng)的角動(dòng)量守恒。47例3

圓桶和圓柱同時(shí)自靜止開(kāi)始從高為h的斜面頂部純滾至斜面底部，試求它們的質(zhì)心速度和角速度。hfCOmgN解：物體受力如圖，物體與地球構(gòu)成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒。取物體在斜面底部時(shí)質(zhì)心高度處為重力勢(shì)能零點(diǎn)，則柯尼西定理純滾圓桶圓柱<48看到：1.C與m無(wú)關(guān)，也與R無(wú)關(guān)，只決定剛體類型——實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證2.C(柱)>C(桶)與質(zhì)量分布有關(guān)到底部(h=0)時(shí)平動(dòng)能轉(zhuǎn)動(dòng)能圓桶圓柱49關(guān)于摩擦力的討論，設(shè)斜面傾角為質(zhì)心定理轉(zhuǎn)動(dòng)定理純滾條件即即圓桶：圓柱：最大靜摩擦力純滾下應(yīng)有：圓桶：圓柱：小于此值將出現(xiàn)又滑又滾，當(dāng)

=0的極限情況下，僅滑動(dòng)。50例4

光滑地面，細(xì)桿長(zhǎng)為l，質(zhì)量為m。豎直放置狀態(tài)下受一微擾后倒下。求質(zhì)心速度C和角速度

(表達(dá)成桿與豎直方向夾角的函數(shù))ACmgCNOOxyA解：坐標(biāo)O-xy受力：定性：沿—y，沿—x系統(tǒng)E=Ek+Ep=C。地面Ep=0，則有一個(gè)方程，兩個(gè)位置量C和，故建立C與的關(guān)系式構(gòu)成第二個(gè)獨(dú)立方程故即51解方程，得討論：不是純滾，故I：關(guān)于方法1.確定瞬心O后，由得到方法2.得