冀教版九年級數(shù)學(xué)上冊第26章解直角三角形課件

第二十六章解直角三角形26.1銳角三角函數(shù)（1）

如圖所示,輪船在A處時,燈塔B位于它的北偏東35°的方向上.輪船向東航行5km到達C處時,輪船位于燈塔的正南方,此時輪船距燈塔多少千米?(結(jié)果保留兩位小數(shù))該實際問題中的已知和所求為圖中的哪些角和線段?(事實上,求輪船距燈塔的距離,就是在Rt△ABC中,已知∠C=90°,∠BAC=55°,AC=5km,求BC長度的問題)學(xué)習(xí)新知直角三角形中銳角的對邊與鄰邊的比是定值1.如圖，在Rt△ABC中和Rt△中，=

與具有怎樣的關(guān)系?=90°.當=時，(三角形相似)引導(dǎo)思考:(1)如何證明線段成比例?(2)根據(jù)已知,你能證明這兩個直角三角形相似嗎?(∵∠A=∠A',∠C=∠C'=90°,∴Rt△ABC∽Rt△A'B'C')(3)由三角形相似的性質(zhì)可以得到與之間的關(guān)系嗎?（Rt△ABC∽Rt△A'B'C',

∴2.如圖所示,已知∠EAF<90°,BC⊥AF,B‘C’⊥AF,垂足分別為C,C‘.與具有怎樣的關(guān)系?在兩個直角三角形中,當一對銳角相等時,這兩個直角三角形相似,從而兩條對應(yīng)直角邊的比相等,即當∠A(小于90°)確定時,以∠A為銳角的Rt△ABC的兩條直角邊的比是確定的.如圖所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,我們把∠A的對邊與鄰邊的比叫做∠A的正切,記作tanA,即tanA==.大家談?wù)?tanA是一個比值,沒有單位)(1)∠A的正切tanA表示的是tan與A的乘積還是一個整體?(tanA表示的是一個整體)(2)當∠A的大小變化時,tanA是否變化?(tanA隨著∠A的大小變化而變化)(3)tanA有單位嗎?(4)∠B的正切怎么表示?tanA與tanB之間有怎樣的關(guān)系?(tanB=,tanA·tanB=1.)(6)若知道直角三角形的斜邊和一直角邊,你能求一個銳角的正切值嗎?(5)要求一個銳角的正切值,我們需要知道直角三角形中的哪些邊?(需要知道這個銳角的對邊和鄰邊)(根據(jù)勾股定理求出另一直角邊,再根據(jù)正切定義求解)例1在Rt△ABC中,∠C=90°.(1)如圖(1)所示,∠A=30°,求tanA,tanB的值.(2)如圖(2)所示,∠A=45°,求tanA的值.解:(1)在Rt△ABC中,∵∠A=30°,∴∠B=60°,且

.∴==.∴tanA=tan30°=,tanB=tan60°=.(2)在Rt△ABC中,∵∠A=45°,∴a=b.∴tanA=tan45°=.這樣,就得到tan30°=,tan45°=1,tan60°=.5.tan2A表示(tanA)2,而不能寫成tanA2.[知識拓展]

1.正切是一個比值,沒有單位.2.正切值只與角的大小有關(guān),與三角形的大小無關(guān).3.tanA是一個整體符號,不能寫成tan·A.4.當用三個字母表示角時,角的符號“∠”不能省略,如tan∠ABC.1.如圖所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,三邊分別為a,b,c,則tanA等于 (

)A.B.C.D.解析:根據(jù)銳角正切的定義可得tanA==,故選B.

B檢測反饋2.把△ABC三邊的長度都擴大為原來的3倍,則銳角A的正切值(

)A.不變 B.縮小為原來的C.擴大為原來的3倍 D.不能確定解析：因為△ABC三邊的長度都擴大為原來的3倍所得的三角形與原三角形相似，所以銳角A的大小沒改變，所以銳角A的正切值也不變．故選A．A3.已知Rt△ABC中,∠C=90°,tanA=,BC=12,則AC等于

.

解析:根據(jù)正切定義可得tanA===，所以AC=9.故填9.94.如圖所示,在Rt△ABC中,∠C=90°.(1)若tanA=,BC=9,求AB的長;(2)若tanB=,AC=16,求AB的長.解：（1）∵tanA==，又BC=9,∴AC=12,由勾股定理可得AB==15.

∴AB的長為15.(2)∵tanB==,AC=16,∴BC=12.

由勾股定理可得AB==20.∴AB的長為20.(2)∵tanB==,AC=16,∴BC=12.

由勾股定理可得AB==20.∴AB的長為20.第二十六章解直角三角形26.1銳角三角函數(shù)（2）觀察兩個不同大小的三角板，當角是30°、45°、60°時，它們的對邊與斜邊、鄰邊與斜邊的比值有什么規(guī)律？談?wù)勀愕目捶?問題思考學(xué)習(xí)新知大家談?wù)勅鐖D所示,在Rt△ABC中,∠C=90°.(1)∠B的正弦與余弦分別是哪兩邊的比值?（∠B的正弦是

,∠B的余弦是.）(2)由a<c,b<c,說一說sinA和cosA的值與“1”的關(guān)系.(sinA<1,cosA<1,sin2A+cos2A=1)探究：直角三角形中,銳角的對邊與斜邊的比、鄰邊與斜邊的比是定值如圖所示,在Rt△AB1C1和Rt△AB2C2中,∠C1=∠C2=90°.【思考】(1)Rt△AB1C1與Rt△AB2C2之間有什么關(guān)系?(Rt△AB1C1∽Rt△AB2C2)（2）與、與之間各有什么關(guān)系？===.(3)過射線AB1上任取一點B3,過B3作B3C3⊥AC1,垂足為C3,則與、與之間有什么關(guān)系？

=；（4）根據(jù)以上思考，你得到什么結(jié)論？

（直角三角形中，∠A的對邊與斜邊、鄰邊與斜邊的比值是固定不變的）（5）如果改變∠A的大小，上邊的比值是否變化？歸納你的結(jié)論.

2.在直角三角形中，當銳角確定時，無論這個直角三角形的大小如何，這個角的鄰邊與斜邊的比也是確定的.1.在直角三角形中，當銳角確定時，無論這個直角三角形的大小如何，這個角的對邊與斜邊的比是確定的.在Rt△ABC中,∠C=90°.銳角A的對邊和斜邊的比、鄰邊與斜邊的比都是一個定值.∠A的對邊與斜邊的比叫做∠A的正弦,記作sinA.即sinA=.

正弦和余弦

∠A的鄰邊與斜邊的比叫做∠A的余弦,記作cosA,即cosA=.(3)sinα,cosα和tanα是不是α的函數(shù)?【思考】(1)當銳角α的大小變化時,sinα,cosα,tanα是否變化?(2)對于銳角α的每一個確定的值,sinα,cosα和tanα是否有唯一的值和它對應(yīng)?歸納:我們把銳角α正弦、余弦和正切統(tǒng)稱為α的三角函數(shù).為方便起見,今后將(sinα)2,(cosα)2,(tanα)2分別記作sin2αcos2α,tan2α.特殊角的三角函數(shù)值α30°45°60°sin

αcos

αtan

α1【思考】

觀察表格中特殊角的三角函數(shù)值,你能發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論?(3)0<sinA<1,0<cosA<1.結(jié)論(1)正弦、正切值隨著角度的增大而增大,余弦值隨著角度的增大而減小.(2)sin30°=cos60°,sin60°=cos30°,sin45°=cos45°,由此可知sinα=cos(90°-α),cosα=sin(90°-α).(教材107頁例2)求下列各式的值:(1)2sin30°+3tan30°-tan45°;(2)(sin45°)2+tan60°sin60°.解:(1)2sin30°+3tan30°-tan45°=.(2)(sin45°)2+tan60°sin60°=.(教材107頁例3)如圖所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=5,BC=12.求sinA,cosA,tanA的值.【思考】(1)根據(jù)各三角函數(shù)的定義,要求sinA,cosA的值,必須求出哪個邊的值?(2)怎樣求出AB的值?解：∵.∴，，.4.當用三個字母表示角時,角的符號“∠”不能省略,如sin∠ABC.[知識拓展]

1.正弦和余弦都是一個比值,沒有單位.2.正弦值和余弦值只與角的大小有關(guān),與三角形的大小無關(guān).3.sinA,cosA是一個整體符號,不能寫成sin·A,cos·A.因此，sinA=cosB，cosA=sinB，

5.在Rt△ABC中，∠C=90°，由于sinA=,cosA=,sinB=,cosB=tanA=,tanB=,=1.6.在Rt△ABC中，∠C=90°，∴a2+b2=c2,∵sinA=,cosA=,tanA=，∴sin2A+cos2A=1,tanA=.1.三角形在正方形方格紙巾中的位置如圖所示,則sinα的值是(

)解析:觀察網(wǎng)格圖可得,在直角三角形中,α的對邊為3,鄰邊為4,根據(jù)勾股定理可得斜邊為5,所以根據(jù)正弦的定義可得sinα=.故選C.C檢測反饋2.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=13,AC=12,則下列各式正確的是(

)A.sinA=D.以上都不對B.cosA=C.tanA=解析:由勾股定理可得BC==5，

∴sinA==，cosA==，tanA==，故選B.B3.在Rt△ABC中,∠C=90°,sinA=,AB=20,則BC=

.

解析：∵AB=20，sinA=，∴sinA=，∴BC=×20=12.故填12.12解析:∵sinA=,cosB=,∴∠A=30°,∠B=45°,又∠A+∠B+∠C=180°,∴∠C=105°,∴△ABC為鈍角三角形.故填鈍角.4.在△ABC中，sinA=，cosB=，則△ABC的形狀為

三角形.鈍角5.在△ABC中,∠C=90°,cosA=,AB=12,求△ABC的面積.解:∵cosA==,AB=12,∴AC=4.由勾股定理可得BC=∴S△ABC=AC·BC=×4×4=24.6.計算:(1);(2)tan30°-sin60°·sin30°.解:(1)=2×-×=1-1=0.(2)tan30°-sin60°·sin30°=-=-=.第二十六章解直角三角形26.2銳角三角函數(shù)的計算DABE1.6m20m42°C引例

升國旗時，小明站在操場上離國旗20m處行注目禮.當國旗升至頂端時，小明看國旗視線的仰角為42°（如圖所示），若小明雙眼離地面1.60m，你能幫助小明求出旗桿AB的高度嗎？這里的tan42°是多少呢？

前面我們學(xué)習(xí)了特殊角30°45°60°的三角函數(shù)值，一些非特殊角(如17°56°89°等)的三角函數(shù)值又怎么求呢？

這一節(jié)課我們就學(xué)習(xí)借助計算器來完成這個任務(wù).按鍵順序顯示結(jié)果sin18°1、用科學(xué)計算器求一般銳角的三角函數(shù)值：（1）我們要用到科學(xué)計算器中的鍵：sincostan（2）按鍵順序◆如果銳角恰是整數(shù)度數(shù)時，以“求sin18°”為例，按鍵順序如下：sin18sin180.309016994∴sin18°=0.309016994≈0.31=按鍵順序顯示結(jié)果tan30°36′1、用科學(xué)計算器求一般銳角的三角函數(shù)值：◆如果銳角的度數(shù)是度、分形式時，以“求tan30°36′”為例，按鍵順序如下：方法一：tan3036tan30°36′0.591398351方法二：先轉(zhuǎn)化，30°36′=30.6°,后仿照sin18°的求法.◆如果銳角的度數(shù)是度、分、秒形式時，依照上面的方法一求解.（3）完成引例中的求解：tan2042+1.619.60808089∴AB=19.60808089≈19.61m即旗桿的高度是19.61m.

已知三角函數(shù)值求角度，要用到sin，cos，tan的第二功能鍵“sin－１

cos－１，tan－１”鍵例如：已知sinα＝0.2974,求銳角α．按健順序為：2、已知銳角的三角函數(shù)值，求銳角的度數(shù)：按鍵的順序顯示結(jié)果SHIFT20917.301507834sin·7=如果再按“度分秒健”就換算成度分秒，°′″即∠α＝17o18’5.43”例1求下列各三角函數(shù)值:(結(jié)果保留兩位小數(shù))（1）sin36°（2）tan50°26′37〞解：（1）在計算器開機狀態(tài)下，按鍵順序為2ndFcos-10.5237=顯示結(jié)果為58.41923095即≈58.41923095°若將其化為度、分、秒表示，可繼續(xù)按鍵：2ndF←→DEG顯示結(jié)果為58□25□9.23即≈58°25′9〞注：顯示屏上顯示結(jié)果58□25□9.23，實際上表示的就是58°25′9.23〞.（2）在計算器開機狀態(tài)下，按鍵順序為2ndFtan-11.6480=顯示結(jié)果為58.75078643即≈58.75078643°再繼續(xù)按鍵：2ndF←→DEG顯示結(jié)果為58□45□2.83即≈58°45′3〞.例2如圖26-2-2，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=4.（1）求sinA的值.（2）求∠B的度數(shù).（結(jié)果精確到1〞）解：（1）在Rt△ABC中，sinA=

=0.8(2)∵sinA=0.8∴由計算器求得∠A≈53°7′48〞∴∠B=90°-∠A≈90°-53°7′48〞=36°52′12〞練習(xí)：

1、根據(jù)下面的條件，求銳角β的大?。ň_到1″）（1）sinβ=0.4511；（2）cosβ=0.7857；（3）tanβ=1.4036.按鍵盤順序如下:按鍵的順序顯示結(jié)果26°48’51”0.sin115=4SHIFT°′″即∠β

＝26048’51”2、已知tanA=3.1748，利用計算器求銳角A的度數(shù).(精確到1′)【答案】∠A≈72°52′練習(xí):3、已知銳角a的三角函數(shù)值，使用計算器求銳角a（精確到1′）（1）sina=0.2476；（2）cosa=0.4；（3）tana=0.1890.【答案】(1)α≈14°20′;(3)α≈10°42′.(2)α≈65°20′;4．用計算器求下列銳角三角函數(shù)值；sin20°=0.34202014332567；

cos70°=

0.57357643635105

；sin35°=

0.57357643635105

；cos55°=

0.57357643635105；正弦值隨著角度的增大（或減?。┒龃螅ɑ驕p?。┯嘞抑惦S著角度的增大（或減?。┒鴾p小（或增大）正切值隨著角度的增大（或減小）而增大（或減?。┯嬎闫骺捎脕恚海?）由銳角求三角函數(shù)值（2）由三角函數(shù)值求銳角小結(jié)第二十六章解直角三角形26.3解直角三角形根據(jù)以上條件,你能求出塔身中心線與垂直中心線的夾角嗎？如圖設(shè)塔頂中心點為B，塔身中心線與垂直中心線的夾角為A，過B點向垂直中心線引垂線，垂足為點C（如圖），在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5.2m，AB＝54.5m.ABC5.254.5探討比薩斜塔傾斜角的問題一個直角三角形有幾個元素？(1)三邊之間的關(guān)系:a2＋b2＝c2（勾股定理）；(2)銳角之間的關(guān)系:∠A＋∠B＝90o；(3)邊角之間的關(guān)系:sinA=accosA=tanA=ＡＣＢabc有三條邊和三個角，其中有一個角為直角bcab銳角三角函數(shù)它們之間有何關(guān)系？知識回顧30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表：

銳角a三角函數(shù)30°45°60°sinacos

atana對于sinα與tanα，角度越大，函數(shù)值也越大；（帶正）對于cosα，角度越大，函數(shù)值越小.復(fù)習(xí)在直角三角形中，除直角外，還有哪些元素?知道其中哪些元素，可以求出其余的元素?思考與探索在直角三角形中,由已知元素求未知元素的過程,叫解直角三角形.解直角三角形的依據(jù)ＡＣＢabc(1)三邊之間的關(guān)系:a2＋b2＝c2（勾股定理）；(2)銳角之間的關(guān)系:∠A＋∠B＝90o；(3)邊角之間的關(guān)系:tanA=absinA=accosA=bc新知識例1如圖26-3-2，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=34°，AC=6.解這個直角三角形.（結(jié)果精確到0.001）例題分析解：∠B=90°-∠A=90°-34°=56°∵∴BC=AC·tanA=AC·tan34°≈6×0.6475=4.047∵∴例題分析例2如圖26-3-3，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=15，BC=8.解這個直角三角形.（度數(shù)精確到1〞）解：∵∴∠A≈28°4′20〞∴∠B=90°-∠A≈90°-28°4′20〞=61°55′40〞∵AB2=AC2+BC2=152+82=289∴AB=17在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=,BC=

,解這個直角三角形.CAB？跟蹤練習(xí)解：由勾股定理得：在Rt△ABC中，AB=2AC所以，∠B=30°，

∠A=60°.跟蹤練習(xí)方法一：跟蹤練習(xí)方法二：1.在下列直角三角形中不能求解的是（）A.已知一直角邊一銳角

B.已知一斜邊一銳角C.已知兩邊

D.已知兩角2.Rt△ABC中，∠C=90°,若sinA=，AB=10，那么BC=_____，tanB=______．D8基礎(chǔ)練習(xí)3.在Rt△ABC中,∠C=90°，a、b、c分別為∠A

、∠B、∠C的對邊.根據(jù)已知條件，解直角三角形.(1)c=8，∠A=60°；(4)a=1，∠B=30°.(2)b=

，c=4；(3)a=

，b=6；如圖，在△ABC中,∠A=30°,tanB=

,AC=2,求AB.ACB應(yīng)用ACBDCABDABCE求解非直角三角形的邊角問題，常通過添加適當?shù)妮o助線，將其轉(zhuǎn)換為直角三角形來解.提示DBACDABCDABCDE解直角三角形∠A＋∠B＝90°a2+b2=c2三角函數(shù)關(guān)系式解直角三角形：由已知元素求未知元素的過程歸納小結(jié)第二十六章解直角三角形26.4解直角三角形的應(yīng)用（1）三邊之間的關(guān)系a2＋b2＝c2（勾股定理）銳角之間的關(guān)系∠A＋∠B＝90°邊角之間的關(guān)系（銳角三角函數(shù)）tanA＝absinA＝ac1、在Rt△ABC中，∠C＝90°cosA＝bcＡＣＢabc解直角三角形的依據(jù)2、30°，45°，60°的三角函數(shù)值30°45°60°sinαcosαtanα1┌┌4504503006003、基本概念（1）仰角和俯角:（2）方向角:30°45°BOA東西北南水平線鉛垂線仰角俯角視線視線問題:小球沿與水平方向成300角的斜坡B處向下運動,運動100cm后到達A處停止,請問(1)∠ABC=____,(2)BC=______,(3)AC=________.60050cm50√3cmABC100cm3001、觀察圖中小球的一段運動過程,

思考下列問題:問題情境變形:如果水平方向與斜坡的夾角為α，AB=100cm,那么:（用含α的三角函數(shù)表示）

(1)∠ABC=________,(2)BC=________,(3)AC=__________.AC100cmαB90°-α100sinα100cosα2、學(xué)校操場上有一根旗桿，上面有一根升旗用的繩子（繩子足夠長），小明同學(xué)拿了一把卷尺(測量長度)，并且向數(shù)學(xué)老師借了一把含30°的三角板（測量角度）去度量旗桿的高度。（1）若小明同學(xué)將旗桿上繩子拉成仰角為600，如圖用卷尺量得BC=4米，則旗桿AB的高多少？AB4m600C解：過點A作AD⊥BC于D,3、如圖，海島A四周18海里周圍內(nèi)為暗礁區(qū)，一艘貨輪由東向西航行，在B處見島A在北偏西60?，航行20海里到C，見島A在北偏西30?，貨輪繼續(xù)向西航行，有無觸礁的危險？∵∠ACD＝60°∠ABC=30°，∴∠CABD=30°∴AC=BC=20在Rt△ACD中，∵AD<18，∴有觸礁的危險。ABDCNN130?60?20海里4、青青草原上，灰太狼每天都想著如何抓羊，而且是屢敗屢試，永不言棄。一天，灰太狼在自家城堡頂部A處測得懶羊羊所在地B處的俯角60°，然后下到城堡的C處，測得B處的俯角為45°。已知AC=20m，若灰太狼以5m/s的速度從城堡底部D處出發(fā)，幾秒鐘后才能抓到懶羊羊？（結(jié)果精確到個位）解：設(shè)BD=xm,在Rt△BCD中，∵∠BCD=45°，∴CD=BD=x,在Rt△ACB中，AC=40?！摺螦BD=60°，∴AD=tan60°BD=√3x即√3x=x+20，解得x=10√3+10∴t=4√3+4≈5(s)答：5秒后灰太郎才能抓到懶羊羊。1、在山腳C處測得山頂A的仰角為45°。問題如下：(1）沿著水平地面向前300米到達D點，在D點測得山頂A的仰角為600,求山高AB。DABC45°60°x提高練習(xí)ABC2、在山腳C處測得山頂A的仰角為450。問題如下：變式：沿著坡角為30°的斜坡前進300米到達D點，在D點測得山頂A的仰角為600,求山高AB。30°DEF先做輔助線!有兩個直角三角形小結(jié)：問題1：本節(jié)課你有什么疑問？問題2：本節(jié)課你有哪些收獲？問題3：本節(jié)課你認為自己解決的最好的問題是什么？1、解直角三角形的關(guān)鍵是找到與已知和未知相關(guān)聯(lián)的直角三角形，當圖形中沒有直角三角形時，要通過作輔助線構(gòu)建直角三角形（作某邊上的高是常用的輔助線）；當問題以一個實際問題的形式給出時，要善于讀懂題意，把實際問題化歸為直角三角形中的邊角關(guān)系。2、一些解直角三角形的問題往往與其他知識聯(lián)系，所以在復(fù)習(xí)時要形成知識結(jié)構(gòu)，要把解直角三角形作為一種工具，能在解決各種數(shù)學(xué)問題時合理運用。第二十六章解直角三角形26.4解直角三角形的應(yīng)用（2）在直角三角形中,除直角外,由已知兩元素求其余未知元素的過程叫解直角三角形.1.解直角三角形(1)三邊之間的關(guān)系:a2＋b2＝c2（勾股定理）；2.解直角三角形的依據(jù)(2)兩銳角之間的關(guān)系:∠A＋∠B＝90o；(3)邊角之間的關(guān)系:ＡＣＢabctanA＝absinA＝accosA＝bc(必有一邊)知識回顧45°30°200米POBD45°30°PA200米CBO45°30°4506