第04講空間向量及其運算（七大題型）（原卷版）

第04講空間向量及其運算【題型歸納目錄】題型一：空間向量的有關(guān)概念及線性運算題型二：共線向量定理的應(yīng)用題型三：共面向量及應(yīng)用題型四：空間向量的數(shù)量積題型五：利用空間向量的數(shù)量積求兩向量的夾角題型六：利用空間向量的數(shù)量積求線段的長度題型七：利用空間向量的數(shù)量積證垂直【知識點梳理】知識點一：空間向量的有關(guān)概念1、空間向量(1)定義：在空間，具有大小和方向的量叫做空間向量．(2)長度或模：空間向量的大?。?3)表示方法：①幾何表示法：空間向量用有向線段表示；②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起點是A，終點是B，也可記作：eq\o(AB,\s\up8(→))，其模記為|a|或|eq\o(AB,\s\up8(→))|.知識點詮釋：（1）空間中點的一個平移就是一個向量；（2）數(shù)學(xué)中討論的向量與向量的起點無關(guān)，只與大小和方向有關(guān)，只要不改變大小和方向，空間向量可在空間內(nèi)任意平移，故我們稱之為自由向量。2、幾類常見的空間向量名稱方向模記法零向量任意00單位向量任意1相反向量相反相等a的相反向量：－aeq\o(AB,\s\up8(→))的相反向量：eq\o(BA,\s\up8(→))相等向量相同相等a＝b知識點二：空間向量的線性運算(1)向量的加法、減法空間向量的運算加法eq\o(OB,\s\up8(→))＝eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\o(OC,\s\up8(→))＝a＋b減法eq\o(CA,\s\up8(→))＝eq\o(OA,\s\up8(→))－eq\o(OC,\s\up8(→))＝a－b加法運算律①交換律：a＋b＝b＋a②結(jié)合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)(2)空間向量的數(shù)乘運算①定義：實數(shù)λ與空間向量a的乘積λa仍然是一個向量，稱為向量的數(shù)乘運算．當(dāng)λ>0時，λa與向量a方向相同；當(dāng)λ<0時，λa與向量a方向相反；當(dāng)λ＝0時，λa＝0；λa的長度是a的長度的|λ|倍．②運算律結(jié)合律：λ(μa)＝μ(λa)＝(λμ)a.分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb.知識點詮釋：（1）空間向量的運算是平面向量運算的延展，空間向量的加法運算仍然滿足平行四邊形法則和三角形法則．而且滿足交換律、結(jié)合律，這樣就可以自由結(jié)合運算，可以將向量合并；（2）向量的減法運算是向量加法運算的逆運算，滿足三角形法則．（3）空間向量加法的運算的小技巧：①首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起點指向末尾向量的終點的向量，即：因此，求空間若干向量之和時，可通過平移使它們轉(zhuǎn)化為首尾相接的向量；②首尾相接的若干向量若構(gòu)成一個封閉圖形，則它們的和為零向量，即：；知識點三：共線問題共線向量(1)定義：表示若干空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量．(2)方向向量：在直線l上取非零向量a，與向量a平行的非零向量稱為直線l的方向向量．規(guī)定：零向量與任意向量平行，即對任意向量a，都有0∥a.(3)共線向量定理：對于空間任意兩個向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實數(shù)λ使a＝λb.(4)如圖，O是直線l上一點，在直線l上取非零向量a，則對于直線l上任意一點P，由數(shù)乘向量定義及向量共線的充要條件可知，存在實數(shù)λ，使得eq\o(OP,\s\up8(→))＝λa.知識點詮釋：此定理可分解為以下兩個命題：（1）存在唯一實數(shù)，使得；（2）存在唯一實數(shù)，使得，則．注意：不可丟掉，否則實數(shù)就不唯一．（3）共線向量定理的用途：①判定兩條直線平行；（進(jìn)而證線面平行）②證明三點共線。注意：證明平行時，先從兩直線上取有向線段表示兩個向量，然后利用向量的線性運算證明向量共線，進(jìn)而可以得到線線平行，這是證明平行問題的一種重要方法。證明三點共線問題，通常不用圖形，直接利用向量的線性運算即可，但一定要注意所表示的向量必須有一個公共點。知識點四：向量共面問題共面向量(1)定義：平行于同一個平面的向量叫做共面向量．(2)共面向量定理：若兩個向量a，b不共線，則向量p與向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(x，y)，使p＝xa＋yb.(3)空間一點P位于平面ABC內(nèi)的充要條件：存在有序?qū)崝?shù)對(x，y),使eq\o(AP,\s\up8(→))＝xeq\o(AB,\s\up8(→))＋yeq\o(AC,\s\up8(→))或?qū)臻g任意一點O，有eq\o(OP,\s\up8(→))＝eq\o(OA,\s\up8(→))＋xeq\o(AB,\s\up8(→))＋yeq\o(AC,\s\up8(→)).（4）共面向量定理的用途：①證明四點共面②線面平行（進(jìn)而證面面平行）。知識點五：空間向量數(shù)量積的運算空間向量的數(shù)量積(1)定義：已知兩個非零向量a，b，則|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的數(shù)量積，記作a·b.即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．規(guī)定：零向量與任何向量的數(shù)量積為0.(2)常用結(jié)論(a，b為非零向量)①a⊥b?a·b＝0.②a·a＝|a||a|cos〈a，a〉＝|a|2.③cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|).(3)數(shù)量積的運算律數(shù)乘向量與數(shù)量積的結(jié)合律(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)交換律a·b＝b·a分配律a·(b＋c)＝a·b＋a·c知識點詮釋：（1）由于空間任意兩個向量都可以轉(zhuǎn)化為共面向量，所以空間兩個向量的夾角的定義和取值范圍、兩個向量垂直的定義和表示符號及向量的模的概念和表示符號等，都與平面向量相同．（2）兩向量的數(shù)量積，其結(jié)果是數(shù)而非向量，它的值為兩向量的模與兩向量夾角的余弦的乘積，其符號由夾角的余弦值決定．（3）兩個向量的數(shù)量積是兩向量的點乘，與以前學(xué)過的向量之間的乘法是有區(qū)別的，在書寫時一定要將它們區(qū)別開來，不可混淆．知識點六：利用數(shù)量積證明空間垂直關(guān)系當(dāng)a⊥b時，a·b＝0.知識點七：夾角問題1、定義：已知兩個非零向量、，在空間任取一點D，作，則∠AOB叫做向量與的夾角，記作，如下圖。根據(jù)空間兩個向量數(shù)量積的定義：，那么空間兩個向量、的夾角的余弦。知識點詮釋：（1）規(guī)定:（2）特別地，如果，那么與同向；如果，那么與反向;如果,那么與垂直,記作。2、利用空間向量求異面直線所成的角異面直線所成的角可以通過選取直線的方向向量，計算兩個方向向量的夾角得到。在求異面直線所成的角時，應(yīng)注意異面直線所成的角與向量夾角的區(qū)別：如果兩向量夾角為銳角或直角，則異面直線所成的角等于兩向量的夾角；如果兩向的夾角為鈍角，則異面直線所成的角為兩向量的夾角的補角。知識點八：空間向量的長度1、定義：在空間兩個向量的數(shù)量積中，特別地，所以向量的模：將其推廣：；。2、利用向量求線段的長度。將所求線段用向量表示，轉(zhuǎn)化為求向量的模的問題。一般可以先選好基底，用基向量表示所求向量，然后利用來求解?！镜淅}】題型一：空間向量的有關(guān)概念及線性運算例1．（2023·高二課時練習(xí)）在平行六面體中，與向量相等的向量共有（

）A．1個 B．2個C．3個 D．4個例2．（2023·山東濟(jì)南·高二?？计谥校┫铝嘘P(guān)于空間向量的說法中正確的是（

）A．方向相反的兩個向量是相反向量B．空間中任意兩個單位向量必相等C．若向量滿足，則D．相等向量其方向必相同例3．（2023·山西·高二校聯(lián)考期中）下列關(guān)于空間向量的說法中錯誤的是（

）A．零向量與任意向量平行B．任意兩個空間向量一定共面C．零向量是任意向量的方向向量D．方向相同且模相等的兩個向量是相等向量例4．（2023·山東濱州·高二統(tǒng)考期末）如圖，在四面體OABC中，，，．點M在OA上，且滿足，N為BC的中點，則（

）

A． B． C． D．例5．（2023·貴州銅仁·高二統(tǒng)考期末）如圖，在三棱錐中，點，分別是，的中點，是的中點，設(shè)，，，用，，表示，則（

）

A． B． C． D．例6．（2023·江蘇淮安·高二淮陰中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）四面體中，，是的中點，是的中點，設(shè)，，，則（

）A． B．C． D．題型二：共線向量定理的應(yīng)用例7．（2023·高二課時練習(xí)）已知空間向量，，且，，，則一定共線的三點是（）A． B． C． D．例8．（2023·吉林松原·高二吉林油田高級中學(xué)校考期中）若，E為空間中不在直線CD上的任意一點，則直線AB與平面CDE的位置關(guān)系是（

）A．相交 B．平行 C．在平面內(nèi) D．平行或在平面內(nèi)例9．（2023·新疆阿勒泰·高二校聯(lián)考期末）如果空間向量不共線，且，那么的值分別是（

）A． B．C． D．例10．（2023·河南焦作·高二溫縣第一高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若空間向量不共線，且，則(

)A．6 B．12 C．18 D．24例11．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）滿足下列條件，能說明空間不重合的A、B、C三點共線的是()A． B．C． D．例12．（2023·高二課時練習(xí)）當(dāng)，且不共線時，與的關(guān)系是（

）A．共面 B．不共面 C．共線 D．無法確定題型三：共面向量及應(yīng)用例13．（2023·高二課時練習(xí)）下面關(guān)于空間向量的說法正確的是（

）A．若向量平行，則所在直線平行B．若向量所在直線是異面直線，則不共面C．若A，B，C，D四點不共面，則向量，不共面D．若A，B，C，D四點不共面，則向量，，不共面例14．（2023·上海閔行·高二上海市七寶中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知是空間中不共線的三個點，若點滿足，則下列說法正確的一項是（

）A．點是唯一的，且一定與共面B．點不唯一，但一定與共面C．點是唯一的，但不一定與共面D．點不唯一，也不一定與共面例15．（2023·遼寧鞍山·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）在下列條件中，能使與，，一定共面的是（

）A． B．C． D．例16．（2023·四川綿陽·高二四川省綿陽南山中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知為空間任意一點，四點共面，但任意三點不共線．如果，則的值為（

）A．-2 B．-1 C．1 D．2例17．（2023·河南洛陽·高二統(tǒng)考期中）已知點D在確定的平面內(nèi)，O是平面ABC外任意一點，實數(shù)x，y滿足，則：的最小值為（

）A． B． C．1 D．2例18．（2023·江蘇淮安·高二校聯(lián)考期中）已知三點不共線，是平面外任意一點，若由確定的一點與三點共面，則等于（

）A． B． C． D．題型四：空間向量的數(shù)量積例19．（2023·高二課時練習(xí)）化簡：________.例20．（2023·上?！じ叨ｎ}練習(xí)）在三棱錐中，已知，，，則___________例21．（2023·江蘇常州·高二江蘇省溧陽中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在棱長為1的正方體中，為棱上任意一點，則=_______.例22．（2023·江蘇鹽城·高二江蘇省響水中學(xué)?？茧A段練習(xí)）平行六面體中，以頂點為端點的三條棱長都為1，且兩兩夾角為，求的值是__________．例23．（2023·湖南衡陽·高二?？计谀┤鐖D，在直三棱柱中，，、分別為棱、的中點，則______.例24．（2023·湖北荊州·高二統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，正四面體的長為1，，則______．題型五：利用空間向量的數(shù)量積求兩向量的夾角例25．（2023·高二課時練習(xí)）如圖，在正方體ABCD－A′B′C′D′中，求向量分別與向量，，，，的夾角．例26．（2023·高二課時練習(xí)）已知空間向量與夾角的余弦值為，且，，令，．(1)求，為鄰邊的平行四邊形的面積S；(2)求，夾角的余弦值．例27．（2023·廣東深圳·高二深圳市羅湖外語學(xué)校?？计谀┢叫辛骟w，(1)若，，，，，，求長；(2)若以頂點A為端點的三條棱長均為2，且它們彼此的夾角都是60°，則AC與所成角的余弦值．例28．（2023·重慶江津·高二重慶市江津中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）如圖，在平行六面體中，以頂點為端點的三條棱長度都為，且兩兩夾角為.求：（1）的長；（2）與夾角的余弦值.題型六：利用空間向量的數(shù)量積求線段的長度例29．（2023·遼寧沈陽·高二新民市第一高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖所示，平行六面體中，，，，，，求的長．例30．（2023·湖北咸寧·高二?？茧A段練習(xí)）如圖，在平行六面體中，，，，，．求：(1)(2)的長．例31．（2023·江蘇淮安·高二洪澤湖高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在平行六面體中，．求：(1)；(2)的長；(3)的長．例32．（2023·河北唐山·高二灤南縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，是平行四邊形，，.如圖，把平行四邊形沿對角線折起，使與成角，求的長.例33．（2023·高二課時練習(xí)）如圖，已知平行六面體中，，，，，求的長．題型七：利用空間向量的數(shù)量積證垂直例34．（2023·山東泰安·高二統(tǒng)考期中）如圖，在平行六面體中，，，，M，N分別為，中點．(1)求的長；(2)證明：．例35．（2023·高二課時練習(xí)）如圖，四棱錐的各棱長都為．(1)用向量法證明；(2)求的值．例36．（2023·福建三明·高二福建省尤溪第一中學(xué)校考開學(xué)考試）如圖，在正三棱柱中，底面的邊長為.（1）設(shè)側(cè)棱長為1，試用向量法證明：；（2）設(shè)與的夾角為，求側(cè)棱的長.【過關(guān)測試】一、單選題1．（2023·山東濱州·高二統(tǒng)考期末）如圖，二面角的大小為，四邊形、都是邊長為的正方形，則、兩點間的距離是（

）

A． B． C． D．2．（2023·高二課時練習(xí)）平行六面體中，，，則的長為（）A．10 B． C． D．3．（2023·福建莆田·高二莆田第二十五中學(xué)校考期中）在空間，已知，為單位向量，且，若，，，則實數(shù)k的值為（

）A．－6 B．6C．3 D．－34．（2023·高二課時練習(xí)）已知，均為空間單位向量，它們的夾角為60°，那么等于（

）A． B． C． D．45．（2023·湖南·高二校聯(lián)考期中）在平行六面體中，點E為的中點，點F為的中點，，，，則（

）A． B．C． D．6．（2023·江西新余·高二統(tǒng)考期末）如圖，已知空間四邊形OABC，其對角線為OB，AC，M，N分別是OA，CB的中點，點G在線段MN上，且使，用向量，，表示向量為（

）A． B．C． D．7．（2023·廣東惠州·高二統(tǒng)考期末）棱長為的正四面體中，則等于（

）A． B． C． D．8．（2023·甘肅金昌·高二永昌縣第一高級中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在平行六面體中，，，，，，則與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．二、多選題9．（2023·安徽池州·高二池州市第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知平行六面體如圖所示，其中，，，線段AC，BD交于點O，點E是線段上靠近的三等分點，則下列說法正確的是（

）A． B．C． D．10．（2023·江蘇淮安·高二校聯(lián)考期中）下列命題中是真命題的為（

）A．若與共面，則存在實數(shù)，使B．若存在實數(shù)，使向量，則與共面C．若點四點共面，則存在實數(shù)，使D．若存在實數(shù)，使，則點四點共面11．（2023·河北邢臺·高二邢臺一中?？计谀┤鐖D，在三棱柱中，分別是上的點，且.設(shè)，若，則下列說法中正確的是（

）A． B．C． D．12．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·高二江蘇省丹陽高級中學(xué)?？计谀┤鐖D，在