(完整版)2019年全國(guó)卷2文科數(shù)學(xué)及答案

(完整版)2019年全國(guó)卷2文科數(shù)學(xué)及答案2019年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試全國(guó)卷2文科數(shù)學(xué)本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘?？忌鷳?yīng)注意以下幾點(diǎn)：1.在答題前，考生必須將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，并將條形碼粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書(shū)寫，字體工整、筆跡清楚。3.考生必須按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫的答案無(wú)效；在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4.作圖可先使用鉛筆畫(huà)出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.考生必須保持答題卡清潔，不要折疊、弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。第Ⅰ卷（選擇題，共60分）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知集合$A=\{x|x>-1\}$，$B=\{x|x<2\}$，則$A\capB=$A.$(-1,2)$B.$(-\infty,2)$C.$(-1,\infty)$D.$\varnothing$2.設(shè)$z=i(2+i)$，則$z=$A.$1+2i$B.$-1+2i$C.$1-2i$D.$-1-2i$3.已知向量$a=(2,3)$，$b=(3,2)$，則$|a-b|=$A.$2$B.$2\sqrt{2}$C.$5$D.$5\sqrt{2}$4.生物實(shí)驗(yàn)室有5只兔子，其中只有3只測(cè)量過(guò)某項(xiàng)指標(biāo)，若從這5只兔子中隨機(jī)取出3只，則恰有2只測(cè)量過(guò)該指標(biāo)的概率為A.$\dfrac{2}{5}$B.$\dfrac{3}{5}$C.$\dfrac{1}{5}$D.$\dfrac{4}{5}$5.在“一帶一路”知識(shí)測(cè)驗(yàn)后，甲、乙、丙三人對(duì)成績(jī)進(jìn)行預(yù)測(cè)。甲：我的成績(jī)比乙高。乙：丙的成績(jī)比我和甲的都高。丙：我的成績(jī)比乙高。成績(jī)公布后，三人成績(jī)互不相同且只有一個(gè)人預(yù)測(cè)正確，那么三人按成績(jī)由高到低的次序?yàn)锳.甲、乙、丙B.乙、甲、丙C.丙、乙、甲D.甲、丙、乙6.設(shè)$f(x)$為奇函數(shù)，且當(dāng)$x\geq0$時(shí)，$f(x)=e^x-1$，則當(dāng)$x<0$時(shí)，$f(x)=$A.$-e^{-x}-1$B.$e^{-x}+1$C.$-e^{-x}+1$D.$e^{-x}-1$7.設(shè)$\alpha$，$\beta$為兩個(gè)平面，則$\alpha\parallel\beta$的充要條件是A.$\alpha$內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線與$\beta$平行B.$\alpha$內(nèi)有兩條相交直線與$\beta$平行C.$\alpha$，$\beta$平行于同一條直線D.$\alpha$，$\beta$垂直于同一平面8.若$x_1=\dfrac{\pi}{3}$，$x_2$是函數(shù)$f(x)=\sin\omegax(\omega>0)$兩個(gè)相鄰的極值點(diǎn)，則$\omega=$A.$2$B.$\dfrac{1}{2}$C.$1$D.$2\sqrt{2}$二、非選擇題：本題共8小題，共90分。9.如圖，在$\triangleABC$中，$AB=AC$，$D$是$BC$上一點(diǎn)，$E$是$AC$上一點(diǎn)，$\angleABD=\angleAED$，$\angleABE=30^{\circ}$，$\angleAED=40^{\circ}$。求$\angleBAC$的度數(shù)。10.已知函數(shù)$f(x)=\dfrac{x^2+2x+3}{x+1}$，$g(x)=ax+b$，且$f(x)-g(x)$的圖像過(guò)點(diǎn)$(1,2)$，則$a=$，$b=$。11.已知函數(shù)$f(x)=\ln(1+x)-\lnx$，$x>0$。(1)求$f(x)$的定義域。(2)求$f(x)$的單調(diào)區(qū)間。(3)求$f(x)$的值域。12.已知函數(shù)$f(x)=\dfrac{1}{x-2}-\dfrac{2}{x-3}$，$x\in\mathbb{R}$。(1)求$f(x)$的定義域。(2)求$f(x)$的反函數(shù)。(3)求$f^{-1}(x)$的值域。13.已知函數(shù)$f(x)=\dfrac{1}{x^2+2x+2}$。(1)求$f(x)$的定義域。(2)求$f(x)$的最小值。14.已知函數(shù)$f(x)=\dfrac{2}{\sqrt{2-\cosx}}$，$x\in\left[0,\dfrac{\pi}{2}\right]$。(1)求$f(x)$的定義域。(2)求$f(x)$的單調(diào)區(qū)間。(3)求$f(x)$的最大值。15.已知函數(shù)$f(x)=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{1-x}$，$x\in(0,1)$。(1)求$f(x)$的最小值。(2)求$f(x)$的單調(diào)區(qū)間。(3)求$f(x)$的值域。1.題目中的符號(hào)應(yīng)該改為數(shù)學(xué)符號(hào)，比如≥、≤、≠等。2.文章中有許多沒(méi)有上下文的數(shù)字，應(yīng)該加上單位或者解釋。3.第一部分的題目沒(méi)有上下文，應(yīng)該加上題干。4.文章中有些句子表述不清楚，需要重新寫一下。1.若拋物線y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)是橢圓3pp的一個(gè)焦點(diǎn)，則p=9。2.曲線y=2sinx+cosx在點(diǎn)(π，–1)處的切線方程為2x-y-2π+1=0。3.已知a∈（0，π/5），2sin2α=cos2α+1，則sinα=5/25。4.設(shè)F為雙曲線C：x2/a2-y2/b2=1（a>0，b>0）的右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)F為直徑的圓與圓x2+y2=a2交于P、Q兩點(diǎn)．若|PQ|=|OF|，則C的離心率為3。5.若變量x，y滿足約束條件2x+3y-6≥0，x+y-3≤0，y-2≤0，則z=3x-y的最大值是9。6.我國(guó)高鐵發(fā)展迅速，技術(shù)先進(jìn)．經(jīng)統(tǒng)計(jì)，在經(jīng)停某站的高鐵列車中，有10個(gè)車次的正點(diǎn)率為0.97，有20個(gè)車次的正點(diǎn)率為0.98，有10個(gè)車次的正點(diǎn)率為0.99，則經(jīng)停該站高鐵列車所有車次的平均正點(diǎn)率的估計(jì)值為0.979。7.△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知bsinA+acosB=0，則B=π/2。8.該半正多面體共有30個(gè)面，其棱長(zhǎng)為2/√6。17.（12分）如圖，長(zhǎng)方體ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，點(diǎn)E在棱AA1上，BE⊥EC1。（1）證明：BE⊥平面EBC1。證明：連接BE、BC1，設(shè)∠EBC1=α，∠BEC1=β。則∠A1BE=90°-β，∠A1BC1=90°-α，∠BA1C1=90°，∠A1B=90°，所以∠BA1E=β-α。又因?yàn)锽E⊥EC1，所以∠BEC1=90°，所以∠BEC1=90°-β。由于ABCD是正方形，所以∠ABC1=45°，所以∠EBC1=α-45°。所以∠A1BE+∠BEC1+∠EBC1=90°-β+90°-β+α-45°=α-2β+45°=π/2-β。又因?yàn)椤螧A1E=β-α，所以∠A1BE+∠BA1E=π/2，所以∠BA1E=π/2-∠A1BE=π/2-β。所以∠BA1E=∠A1BE+∠BEC1+∠EBC1，即BE⊥平面EBC1。2.若AE=AE，AB=3，求四棱錐E-BC的體積。18.已知{an}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，a1=2，a3=2a2+16。(1)求{an}的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn=log2an，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和。19.某行業(yè)主管部門為了解本行業(yè)中小企業(yè)的生產(chǎn)情況，隨機(jī)調(diào)查了100個(gè)企業(yè)，得到這些企業(yè)第一季度相對(duì)于前一年第一季度產(chǎn)值增長(zhǎng)率y的頻數(shù)分布表。y的分組[-0.20,0)2[0,0.20)24[0.20,0.40)53[0.40,0.60)14[0.60,0.80)7企業(yè)數(shù)(1)分別估計(jì)這類企業(yè)中產(chǎn)值增長(zhǎng)率不低于40%的企業(yè)比例、產(chǎn)值負(fù)增長(zhǎng)的企業(yè)比例；(2)求這類企業(yè)產(chǎn)值增長(zhǎng)率的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）。20.已知F1，F(xiàn)2是橢圓C:(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1(a>b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)。(1)若△POF2為等邊三角形，求C的離心率；(2)如果存在點(diǎn)P，使得PF1⊥PF2，且△F1PF2的面積等于16，求b的值和a的取值范圍。21.已知函數(shù)f(x)=(x-1)lnx-x-1。證明：(1)f(x)存在唯一的極值點(diǎn)；(2)f(x)=0有且僅有兩個(gè)實(shí)根，且兩個(gè)實(shí)根互為倒數(shù)。22.[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]O為極點(diǎn)，在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)M(ρ,θ)(ρ>0)在曲線C:ρ=4sinθ上，直線l過(guò)點(diǎn)A(4,0)且與OM垂直，垂足為P。(1)當(dāng)θ=π時(shí)，求ρ及l(fā)的極坐標(biāo)方程；(2)當(dāng)M在C上運(yùn)動(dòng)且P在線段OM上時(shí)，求P點(diǎn)軌跡的極坐標(biāo)方程。23.[選修4-5：不等式選講]已知f(x)=|x-a|x+|x-2|(x-a)。(1)當(dāng)a=1時(shí)，求不等式f(x)<0的解集；(2)若x∈(-∞,1)時(shí)，f(x)<0，求a的取值范圍。(1)已知四棱錐E-BB1C1C的底面是正方形ABCD，其中AB=3，BE⊥平面ABB1C1，BE=EC1，且Rt△ABE≌Rt△A1B1E，求該四棱錐的體積V。解：由已知得B1C1⊥平面ABB1A1，BE⊥平面ABB1C1，所以B1C1⊥BE。又BE⊥EC1，所以BE⊥平面EB1C1。由此可知∠BEB1=90°。又因?yàn)镽t△ABE≌Rt△A1B1E，所以∠AEB=∠A1EB1=45°，故AE=AB=3，AA1=2AE=6。作EF⊥BB1，垂足為F，則EF⊥平面BB1C1C，且EF=AB=3。所以，四棱錐E-BB1C1C的體積V=1/3×EF×BB1×CC1=1/3×3×6×3=18。(2)已知數(shù)列{an}的公比為q，且2q^2=4q+16，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和。解：設(shè){an}的公比為q，由題設(shè)得2q^2=4q+16，即q^2-2q-8=0。解得q=-2（舍去）或q=4。因此{(lán)an}的通項(xiàng)公式為an=2×4^(n-1)=2^(2n-1)。由此得bn=(2n-1)log2=2n-1，因此數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為1+3+…+2n-1=n。(3)根據(jù)產(chǎn)值增長(zhǎng)率頻數(shù)分布表得，所調(diào)查的100個(gè)企業(yè)中產(chǎn)值增長(zhǎng)率不低于40%的企業(yè)頻率為21%，產(chǎn)值負(fù)增長(zhǎng)的企業(yè)頻率為2%。用樣本頻率分布估計(jì)總體分布得這類企業(yè)中產(chǎn)值增長(zhǎng)率不低于40%的企業(yè)比例為21%，產(chǎn)值負(fù)增長(zhǎng)的企業(yè)比例為2%。已知這類企業(yè)的產(chǎn)值增長(zhǎng)率的樣本均值為30%，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為17%，求總體均值和總體標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)值。解：(1)這類企業(yè)中產(chǎn)值增長(zhǎng)率不低于40%的企業(yè)比例為樣本頻率的估計(jì)值，即21%；產(chǎn)值負(fù)增長(zhǎng)的企業(yè)比例為樣本頻率的估計(jì)值，即2%。(2)這類企業(yè)的產(chǎn)值增長(zhǎng)率的平均數(shù)的估計(jì)值為樣本均值，即30%；標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)值為樣本標(biāo)準(zhǔn)差乘以開(kāi)方根據(jù)樣本容量的比例調(diào)整得到，即17%×√(74/100)≈0.17。(4)已知橢圓C：x^2/16+y^2/9=1，點(diǎn)P(2,1)在橢圓上，點(diǎn)F(0,c)是橢圓的右焦點(diǎn)，求線段PF與橢圓C的交點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)x。解：(1)連結(jié)PF1，由△POF2為等邊三角形可知在△F1PF2中，∠F1PF2=90°，PF2=c，PF1=3c，于是2a=PF1+PF2=(3+1)c，故橢圓C的離心率是e=c/a=3/√7。(2)由題意可知，滿足條件的點(diǎn)P(x,y)存在當(dāng)且僅當(dāng)|y|×2c=16，y的符號(hào)由點(diǎn)P在橢圓C的上半部分還是下半部分決定。又因?yàn)镻F的斜率為k=-c/2，所以PF的方程為y-1=(-c/2)(x-2)，即y=(-c/2)x+c+1。將y代入橢圓C的方程得x^2/16+((-c/2)x+c+1)^2/9=1，整理得13c^2x^2-144cx+175=0。由題意可知該方程有兩個(gè)實(shí)根，設(shè)它們分別為x1和x2，則x1+x2=144/(13c)，x1x2=175/(13c^2)。因?yàn)镼在PF上，所以Q的縱坐標(biāo)等于PF上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)，即Q的縱坐標(biāo)為(-c/2)x+c+1。將Q的坐標(biāo)代入橢圓C的方程可得x^2/16+((-c/2)x+c+1)^2/9=1，整理得13c^2x^2+72cx+49=0。由此得到x的兩個(gè)解，分別為x1=3/2，x2=-7/13。因?yàn)镼在橢圓C上，所以x的取值范圍是[-4,4]，所以x=3/2。1.給定方程組：ab2x+cx-c|y|=16，①x2+y2=c2，②x2y2/a2b2+1/b4=1，③其中a^2+b^2=16^2，求a的取值范圍。根據(jù)②和③式可得：y^2=(a^2-b^2)x^2+b^2c^2/(a^2-b^2)，由①式可知c^2>=b^2，又因?yàn)閍=b+c，所以a^2>=b^2，因此a>=42，當(dāng)b=4，a=42時(shí)，存在滿足條件的點(diǎn)P，因此a的取值范圍為[42,+∞)。2.已知函數(shù)f(x)=lnx-1/x-1，求f(x)的極值點(diǎn)和實(shí)根。首先確定f(x)的定義域?yàn)?1,+∞)，然后求導(dǎo)得f'(x)=(x-1-lnx+1)/x^2，由此可知f'(x)在(1,+∞)單調(diào)遞增，且f'(1)=-1，f'(2)=ln2-1/ln4-1>0，因此存在唯一的x∈(1,2)，使得f'(x)=0，即f(x)存在唯一的極值點(diǎn)。又由f(1)=-2，f(e^2)=e^2-3>0，因此f(x)在(1,+∞)內(nèi)存在唯一的實(shí)根，且其倒數(shù)也是一實(shí)根。3.已知點(diǎn)M(2,3)在曲線ρcos(θ-π/3)=2上，點(diǎn)P在直線y=x上，點(diǎn)Q