2023年新高考數(shù)學創(chuàng)新題型微：向量（新定義）（原卷版）

專題06向量專題（新定義）

一、單選題

1.（2023?全國?高三專題練習）定義平面向量之間的一種運算如下：對任意的￡=（〃?，〃），'=（P⑷.令

aQh=mq-np,下面說法錯誤的是（）

A.若￡與各共線，則￡。5=0

B.aQb=hQa

C.對任意的（間0否=斗0可，

D.（aOft）2+p^）2=|a|2|6|2

2.（2022春?湖南邵陽?高一統(tǒng)考期中）定義萬麗=同_]不.若向量方=僅,碼，向量6為單位向量，則萬麗

的取值范圍是（）

A.[0,6]B.[6,12]C.[0,6）D.（-1,5）

3.（2021春?云南昆明?高一云南師大附中校考期中）平面內(nèi)任意給定一點。和兩個不共線的向量,，之,

由平面向量基本定理，平面內(nèi)任何一個向量前都可以唯一表示成q,e?的線性組合，m=xe]+ye2（x,yeR）,

則把有序數(shù)組（x,y）稱為碗在仿射坐標系[o￡,切下的坐標，記為￡=（x,y）,在仿射坐標系[。；?，回下，a,

區(qū)為非零向量，且:=（和%）,%=（4,%）,則下列結(jié)論中（）

①“+書=（再+苫2，乂+%）②若￡15,貝Li%+必力=。

人一廠人Mx?-Viy?

③若Z/4，則演力=今%④COS）,2=2；八受

+必+歹2

一定成立的結(jié)論個數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

4.（2022?高一單元測試）若對于一些橫縱坐標均為整數(shù)的向量，它們的模相同，但坐標不同，則稱這些向

量為“等模整向量”，例如向量5=（1,3巡=（-3,-1）,即為“等模整向量”，那么模為5&的“等模整向量”有（）

A.4個B.6個C.8個D.12個

5.2（017?四川廣元?統(tǒng)考三模）對于〃個向量吊aw,…,z,若存在〃個不全為。的示數(shù)勺,&&,???,加使

得:3+k2%…=0成立；則稱向量％,42M3,…，％是線性相關(guān)的,按此規(guī)定,能使向量q=（1,0）,

=（1,-1）,z=（2,2）線性相關(guān)的實數(shù)勺的的，則用+4%的值為（）

A.-1B.0C,1D.2

6.（2022秋?內(nèi)蒙古鄂爾多斯?高三統(tǒng)考期中）對任意兩個非零的平面向量（?,8,定義萬。耳=禁，若平面

夕?夕

向量滿足問2忖＞0,￡［的夾角6e（0,；）,且工。3和%。［都在集合｛3〃"｝中，則丁。5=（）

A.7B.1C.-D.4

222

7.（2023?全國?高三專題練習）互相垂直且有公共原點的兩條數(shù)軸構(gòu)成平面直角坐標系，但如果平面坐標系

中兩條坐標軸不垂直，則這樣的坐標系稱為“斜坐標系”.如圖，在斜坐標系中，過點P作兩坐標軸的平行

線，其在x軸和y軸上的截距a,b分別作為點尸的x坐標和y坐標，記尸（。力），則在x軸正方向和y軸正

方向的夾角為8的斜坐標系中，下列選項錯誤的是（）

A.當6=60。時4（1,2）與現(xiàn)3,4）距離為2百

B.點4（1,2）關(guān)于原點的對稱點為4（-1,-2）

C.向量a=（占,必）與6=卜2，%）平行的充要條件是兇巧=%不

D.點）（1,2）到直線x+y-l=0的距離為0

8.（2022春?黑龍江大慶?高三大慶實驗中學?？茧A段練習）如圖所示，設何是平面內(nèi)相交成eR/5

角的兩條數(shù)軸，3,可分別是與x,y軸正方向同向的單位向量，則稱平面坐標系xOy為8斜坐標系，若

OM=xel+y'^,則把有序數(shù)對（x,y）叫做向量麗的斜坐標，記為麗=（x,y）.在8=?的斜坐標系中，

（6,-1）.則下列結(jié)論中，錯誤的是（）

;-石,4+1;②同=1;③4±鉆④3在萬上的投影為

①]-5=

A.②③B.②④C.③④D.②③④

9.（2021春?上海浦東新?高一華師大二附中?？茧A段練習）如圖，定義￡、5的向量積[￡,可=忖卡卜也0,

。為當"、坂的起點相同時，由々的方向逆時針旋轉(zhuǎn)到與方方向相同時，旋轉(zhuǎn)過的最小角，對于a=（x”乂）,

b=（x2,y2）,。=（七,%）的向量積有如下的五個結(jié)論:

①[筋,〃可=入小,可;②[.,可=忸,°];

③[a,可=芭必_》2加④[￡,?+￡]=[￡,/；]+[￡,可；

^K,S+c]=p,S-cj；

其中正確結(jié)論的個數(shù)為（)

A.1個B.2個

C.3個D.4個

10.（2022春?山西朔州?高一?？茧A段練習）定義d（詞=|］可為兩個向量Z,否間的“距離”,若向量￡,b

滿足下列條件：（i）忖=1;（ii）ZwB；（m）對于任意的fe火，恒有“向小皿月，現(xiàn)給出下面結(jié)論的編號,

①.￡JL刃②，（"可③.a④.卜上1⑤.R+可1（a-1）

則以上正確的編號為（）

A.①③B.②④C.③④D.①⑤

11.（2018?湖南?統(tǒng)考一模）在實數(shù)集R中，我們定義的大小關(guān)系“〉”為全體實數(shù)排了一個“序”，類似的，我

們這平面向量集合。=問￡=（x,y）,xeR,ye/?）上也可以定義一個稱為“序”的關(guān)系，記為定義如下：

對于任意兩個向量扇=區(qū),乂），Z=（七,%），當且僅當“七>々”或“為=X2且%>%”，按上述定義的

關(guān)系“>”，給出下列四個命題：

①若［=（1,0）,。=（0,1）,6=（0,0）,則錄>\>6；

②若at>a2,a2>a3,則q>%；

③若％>的，則對于任意的at+a>a2+a；

④對于任意的向量￡>6,其中6=（0,0）,若叫〉？,則

其中正確的命題的個數(shù)為（）

A.4B.3C.2D.1

12.（2017秋?河南鄭州?高三鄭州一中階段練習）若非零向量獲的夾角為銳角氏且~1=cose,則稱Z被

6"同余已知B被方“同余”，則在I上的投影是（）

13.（2022春?陜西榆林?高一榆林市第一中學?？计谥校┰O3=（即生）石=（仇仇），定義一種向量積：

a?b=（at,a2）?（bt,b2）=（afy,々H）.已知機=（2,g）,i=（爭0），點尸（x,y）在卜=sinx的圖象上運動,

點。在V=〃x）的圖象上運動，且滿足麗=?因而+G（其中。為坐標原點），則V=/（x）的最大值4及

最小正周期T分別為（）

A.2,7TB.2,4萬

C.去，4乃D.，乃

14.（2023?河北衡水?高三河北衡水中學校考階段練習）設向量公與否的夾角為氏定義“十入網(wǎng)ne+Bcos%

已知向量￡為單位向量，W=0,k-6卜1,則公十、（）

A.—B.72C.—D.2^/3

22

15.（2022春?浙江金華?高一浙江金華第一中學?？计谥校┯沵in{x/}={：：：；,設反為平面內(nèi)的非

零向量，則（）

A.min{|萬+5],忸一同}vmin{|H，|同}B.min《萬+5『,忖一5/}n+5。

C.min||a+2min^|a|,|fe|jD.min+6|2,|aa2+b2

16.（2021?全國?高三專題練習）對于向量閹（i=l,2,把能夠使得|可|+|垣|+…+|西|取到最小值的

點P稱為40=1,2,???,〃）的“平衡點”.如圖，矩形的兩條對角線相交于點O,延長8C至E,使得

BC=CE,聯(lián)結(jié)/E,分別交8aCD于尸,G兩點.下列的結(jié)論中，正確的是（）

A.AC的“平衡點”為0.

B.D、C、E的“平衡點”為。、E的中點.

C.4F、G、E的“平衡點”存在且唯一.

D.4B、E、。的“平衡點”必為廠

二、多選題

17.（2022春?浙江?高一期中）如圖所示，在平面上取定一點。和兩個以點0為起點的不共線向量1，

稱為平面上的一個仿射坐標系，記作{。：錄，可，向量麗=+與有序數(shù)組（x,力之間建立了一一對應關(guān)

系，有序數(shù)組（X/）稱為兩在傷射坐標系{。面同下的坐標，記作的=（x,y）.已知盛[是夾角為6=與

的單位向量，5=（1,2）,6=（2,-1）,則下列結(jié)論中正確的有（）

B.|a|=V3

1-

C.a13D.B在Z方向上的投影向量為

18.（2022春?河南?高一校聯(lián)考階段練習）對任意兩個非零向量￡石,定義新運算：a?b=

非零向量碗滿足網(wǎng)＞3同且向量函的夾角8€仔,多，若4,加）和4G加）都是整數(shù)，貝IJ五加的值

可能是（）

5

A.2B.—C.3D.4

2

19.（2023?全國?高三專題練習）已知向量1是平面。內(nèi)的一組基向量，。為。內(nèi)的定點，對于。內(nèi)任

意一點尸，當麗=E+應時,則稱有序?qū)崝?shù)對（xj）為點尸的廣義坐標.若點48的廣義坐標分別為（占,打）,

（x2,y2）,關(guān)于下列命題正確的是（）

A.線段a8的中點的廣義坐標為（土產(chǎn)，匕產(chǎn)）

B.A,B兩點間的距離為+（弘-必）2

C.若向量方平行于向量9，則為為=與必

D.若向量0日垂直于向量0瓦則演丫2+必必=2

20.（2022?江蘇南京?統(tǒng)考模擬預測）設是大于零的實數(shù)，向量3=（〃7cosa,"7sina）,彼=（〃cos￡,”sin￡）,

其中a,匹[0,2"）,定義向量（Z）2=（?jcos￡,J^isiir3，@）2=6/7CO]/^si,,記6=a-/5,則（）

A-（ay（ay=a

i」._0

B.（ay-（by=v/m7cos—

1一」2__0

C.（5）2—（b）2＞4\/w/zsin2—

4

I」2_

D.伍產(chǎn)+（B），＞4V^wcos2—

4

21.（2022?浙江溫州?高一永嘉中學統(tǒng)考競賽）設O、A、8是平面上任意三點，定義向量的運算：

det（OA,OB）=OA'OB,其中兩由向量近以點。為旋轉(zhuǎn)中心逆時針旋轉(zhuǎn)直角得到（若方為零向量，規(guī)定

時也是零向量）.對平面向量￡、b，c,下列說法正確的是（）

A.det（a,J）=det?,a）

B.對任意HeR,det（a+/i%）=det（a,3）

__--、dct（a,c）det伍，同

C.若a、6為不共線向量，滿足xa+yb=c（x,yeR）,則》=-,y=-TT—r

det"/）

D.det（4,B）c+det,,c）q+detk，a）力=6

22.（2023春?湖北武漢?高一華中師大一附中?？茧A段練習）對任意兩個非零的平面向量萬和定義

=若平面向量胸滿足酢同＞0力與B的夾角共0,彳，且值市和都在集合

{\|〃7€乙"€2}中.給出以下命題，其中一定正確的是（）

A.若加=1時，貝IJ萬。5=5。萬=1

.-1

B,若〃7=2時，則］。6=5

C.若〃?=3時，則一若的取值個數(shù)最多為7

D.若〃?=2014時，則,小的取值個數(shù)最多為型支

2

23.（2023?全國?高三專題練習）定義平面向量的一種運算“二.”如下：對任意的兩個向量：=（占,乂），力=伍,必），

令a"=（X］必-》2凹,西當+必必），下面說法一定正確的是（）

A.對任意的2eR,有（向.力=心力

B.存在唯一確定的向量"使得對于任意向量都有成立

C.若￡與坂垂直，則自力工與共線

D.若￡與］共線,則（）力工與上取力的模相等

三、填空題

24.（2023春?江蘇泰州?高一靖江高級中學?？茧A段練習）設向量）與B的夾角為氏定義3與?的“向量積”,

以6是一個向量，它的模等于網(wǎng)同=同雨同若2=（1,0），（-73,-1）,則辰3卜.

25.（2018春?安徽蕪湖?高一蕪湖一中校考階段練習）在平面斜坐標系X。中，ZxOy=60°,平面上任一點

P關(guān)于斜坐標系的斜坐標是這樣定義的：若麗=x,+j^（其中］，［分別為x,V軸方向相同的單位向

量），則戶的坐標為（2）,若尸關(guān)于斜坐標系xQy的坐標為則例=

26.（2019春?安徽蕪湖?高一校聯(lián)考期中）定義￡*5=3，若0=（1,2）,坂=（3,—2）,貝U與￡*各方向相反的

a-b

單位向量的坐標為.

27.（2022秋?湖南長沙?高三校考階段練習）已知對任意平面向量9=（xj）,把痛繞其起點沿逆時針方向

旋轉(zhuǎn)8角得到向量/A=（xcos8-ysin6,xsine+ycose）.如圖所示,頂角N。=120。的等腰三角形尸Q?的頂點P、

。的坐標分別為尸。,0）、°卜,0），則頂點R的坐標為.

28.（2022春?北京海淀?高一?？计谥校┰O平面中所有向量組成集合C,G為C中的一個單位向量，定義

尸（￡）=V+2（RG”.則下列結(jié)論中正確的有（只需填寫序號）.

①若濟、萬eC,則產(chǎn)（萬）?網(wǎng)引=麗?萬;

②若￡eC,（x,e）=j,則/仍⑺”篇

③若”（1,0）,v=（O,l）,F（?）=v,則,有唯一解（名,

29.(2022春?江蘇南通?高一海安市曲塘中學?？计谥?小顧同學在用向量法研究解三角形面積問題時有如

下研究成果：若。丘=(4切)，礪=(孫乃)，則&。,8=；N%-々訊試用上述成果解決問題：已知”(LI),

8(2,3),C(4,5),則S"c=.

30.(2022春?上海寶山?高一上海交大附中?？茧A段練習)關(guān)于任意平面向量可實施以下6種變換，包括2

種v變換和4種w變換

v,：模變?yōu)樵瓉淼膅倍，同時逆時針旋轉(zhuǎn)90。；

彩：模變?yōu)樵瓉淼膅倍，同時順時針旋轉(zhuǎn)90。；

叱：模變?yōu)樵瓉淼难?，同時逆時針旋轉(zhuǎn)45。；

w2：模變?yōu)樵瓉淼难叮瑫r順時針旋轉(zhuǎn)45。；

明：模變?yōu)樵瓉淼慕?，同時逆時針旋轉(zhuǎn)135。；

模變?yōu)樵瓉淼氖毡?，同時順時針旋轉(zhuǎn)135。.

記集合S={w，3嗎,卬2，“勺,叱,},若每次從集合S中隨機抽取一種變換.經(jīng)過〃次抽取，依次將第i次抽取的

變換記為q(i=0，l,2,i,〃)，即可得到一個"維有序變換序列，記為則以下判斷中正確的

序號是.

①單位向量7=。,0)經(jīng)過2022次n變換后所得向量一定與向量￡=(0,1)垂直；

②單位向量1=。,0)經(jīng)過2022次w變換后所得向量一定與向量￡=(0,1)平行；

③單位向量7=(1,0)經(jīng)過Ge變換后得到向量)=(-1,0),則G6中有且只有2個v變換；

④單位向量7=。⑼經(jīng)過3變換后不可能得到向量力=(1,1)；

⑤存在〃，使得單位向量7=(1,0)經(jīng)過G“次變換后，得到\=(2022,2022).

31.(2022春?湖南株洲?高一株洲二中?？茧A段練習)設夕是已知平面"上素有向量的集合，對于映射

,f：V^V,a^V,記/的象為/(萬).若映射7"滿足：對所有2Be/及任意實數(shù)人〃都有

/(府+/)="(1)+〃/(#,則/稱為平面/上的線性變換，現(xiàn)有下列命題：

①設/是平面M上的線性變換，25e”,則f(a+b)=f(a)+f(b);

②若2是平面〃上的單位向量，對萬w匕設/(2)=]+心則/是平面例上的線性變換;

③對ask,設八幻=-萬，則/是平面M上的線性變換；

④設/是平面M上的線性變換，aeV,則對任意實數(shù)A均有@）=夕（幻.

其中的真命題是（寫出所有真命題的編號）.

32.（2021春?重慶南岸?高一重慶第二外國語學校?？茧A段練習）定義平面非零向量之間的一種運算“※二

記）※5=cicos8+Bsin6,其中6是非零向量￡［的夾角，若q,e2均為單位向量，且e/e2=*,則向量6W

與e2※（-ej的夾角的余弦值為.

33.（2021春?陜西寶雞?高一統(tǒng)考期末）設Ox、/是平面內(nèi)相交成120。角的兩條數(shù)軸，1分別是與x軸，

J軸正方向同向的單位向量，若向量而=xA+y1,則把有序數(shù)對（x，V）叫做而在坐標系x（方中的坐標.假

設OP=（2,2）,則|而|的大小為.

34.（2018春?浙江臺州?高一臺州中學校考期中）已知向量2及向量序列：鼠/&…五，…滿足如下條件:

為=2同=2,小2=1,且心晶=2當l4v9且AeN*時，工?二的最大值為.

35.（2017春?北京東城?高二統(tǒng)考期末）已知平面向量。=（"?,〃），平面向量，=（p,q）,（其中二〃,P,夕eZ）.

定義：a?b=（mp-nq,mq+np）.若〃=（1,2）,ft=（2,1）,貝;

若急坂=（5,0）,且同＜5,慟＜5,則。=,b=（寫出一組滿足此條件的￡和坂即可）.

36.（2014,安徽?高考真題）已知兩個不相等的非零向量a.6,兩組向量,沙,％崗.，臉和圖於生..擊％均

由2個a和3個b排列而成.記$=X］J.+X.?”-工J.：-XqJe-X；?，S毋4表示S所有可能取值中

的最小值.則下列命題的是（寫出所有正確命題的編號）.

①S有5個不同的值.

②若5_卷則與H無關(guān).

③若嚷X，，則5A與口無關(guān).

④若‘＞小,則5-＞0.

⑤若W卜2同,5min=8I，『，則［與各的夾角為:

37.（2021春?重慶沙坪壩?高一重慶南開中學?？茧A段練習）定義：對于實數(shù)加和兩個定點A7、N,在某

圖形上恰有〃個不同的點匕（:1,2,3,…,〃），使得麗?麗=〃?，稱該圖形滿足“〃度冏合”，若在邊長為4的

正方形48CD中，BC=2BM,DN=3NA,且該正方形滿足“4度冏合”，則實數(shù)機的取值范圍是.

38.（2022?全國?高三專題練習）定義兩個向量組X=（WE）1=瓦用式）的運算

=xl-yl+x2-y2+x3-yi,設q/g為單位向量，向量組X=（再.匕））=仇,必必）分別為。且芻的

一個排列，則X?丫的最小值為.

39.（2022?北京順義?統(tǒng)考二模）向量集合5=忖2=卜,力》/6/?},對于任意屋S,以及任意乂日0小，

都有筋+（lT）1eS,則稱集合S是“凸集”，現(xiàn)有四個命題：

①集合"=同方=（x,y）,y是“凸集”；

②若S為“凸集”，則集合N={2謂eS}也是“凸集，，；

③若44都是“凸集”,則4u4也是“凸集”；

④若4,4都是“凸集”，且交集非空，則4c4也是“凸集”.

其中，所有正確的命題的序號是.

四、解答題

40.（2022秋?河北滄州?高二?？奸_學考試）平面內(nèi)一組基底方,方及任一向量

OC,OC=xOA+yOB（X,yeR）,若點C在直線上或在平行于的直線上，我們把直線48以及與直線

平行的直線稱為“等和線”，此時x+y為定值，請證明該結(jié)論.

41.（2022秋?上海嘉定?高二上海市嘉定區(qū)第一中學?？茧A段練習）已知在平面直角坐標系中，。為坐標原

點,定義非零向量場=5,6）的“相伴函數(shù)"為y=asinx+bcosx（xeR）,向量兩=（a⑼稱為函數(shù)

?=”41^+a05》（》€(wěn)1<）的“相伴向量，，；記平面內(nèi)所有向量的“相伴函數(shù)”構(gòu)成的集合為S

⑴已知aeR,心）=cos（x+a