直線與直線方程復習

直線與直線方程復習知識網(wǎng)絡直線的傾斜角：$0^\circ\leq\alpha<180^\circ$直線的斜率：$k=\tan\alpha$（$\alpha\neq90^\circ$）已知兩點求斜率：$k=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$（$x_2\neqx_1$）兩直線的平行與垂直：平行：$l_1\parallell_2$，則$k_1=k_2$或$k_1,k_2$不存在垂直：$l_1\perpl_2$，則$k_1\cdotk_2=-1$或$k_1$不存在且$k_2$不存在直線方程：點斜式：$y-y_1=k(x-x_1)$斜截式：$y=kx+b$兩點式：$\dfrac{y-y_1}{x-x_1}=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$截距式：$\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}=1$一般式：$Ax+By+C=0$（$A,B$不能同時為零）兩直線的交點坐標：聯(lián)立兩直線方程，求交點坐標距離公式：兩點間距離：$P_1P_2=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$點$P(x,y)$到直線$l:Ax+By+C=0$的距離：$d=\dfrac{|Ax+By+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$課堂學習題型1：直線的傾斜角與斜率傾斜角取值斜率增減性$0^\circ<\alpha<90^\circ$遞增$90^\circ<\alpha<180^\circ$遞減$\alpha=90^\circ$不存在考點1：直線的傾斜角例1、過點$M(-2,a)$和$N(a,4)$的直線的斜率等于1，則$a$的值為()。A、1B、4C、1或3D、1或4變式1：已知點$A(1,3)$、$B(-1,3\sqrt{3})$，則直線$AB$的傾斜角是（）。A、60°B、30°C、120°D、150°變式2：已知兩點$A(3,2)$，$B(-4,1)$，求過點$C(-1,y)$的直線$l$與線段$AB$有公共點，求直線$l$的斜率$k$的取值范圍?？键c2：直線的斜率及應用斜率公式：$k=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$，注意斜率為0或不存在的情況。$\pm\infty$是分界線，遇到斜率要特別謹慎。例1：已知$\theta\in\mathbb{R}$，則直線$x\sin\theta-3y+1=0$的傾斜角的取值范圍是（）。斜率變化分兩段，注意分段點。例2、三點共線——若三點$A(2,2)$、$B(a,b)$、$C(b,3)$，$ab\neq6$共線，則$ab$的值為()。變式2：若$A(-2,3)$、$B(3,-2)$、$C(x,-1)$，求過點$C$的直線$l$與線段$AB$有公共點，求直線$l$的斜率$k$的取值范圍?？键c1：直線方程的求法例1、下列四個命題中的真命題是（）A、經(jīng)過定點Px、y的直線都可以用方程y-y1=k(x-x1)表示B、經(jīng)過任意兩個不同的點P1x1、y1和P2x2、y2的直線都可以用方程(y-y1)/(x-x1)=(y2-y1)/(x2-x1)表示C、不經(jīng)過原點的直線都可以用方程xy=ab表示D、經(jīng)過定點Ab,0的直線都可以用方程y=kx表示改寫后：下列命題中正確的是：A、經(jīng)過定點P(x,y)的直線可以表示為y-y1=k(x-x1)的形式；B、經(jīng)過任意兩個不同的點P1(x1,y1)和P2(x2,y2)的直線可以表示為(y-y1)/(x-x1)=(y2-y1)/(x2-x1)的形式；C、不經(jīng)過原點的直線可以表示為xy=ab的形式；D、經(jīng)過定點A(b,0)的直線可以表示為y=kx的形式。例2、若m-4x+m-4m+3y+1=0表示一條直線，則（）A、m≠±2且m≠1，m≠3B、m≠±2C、m≠1且m≠3D、m可以取任意實數(shù)改寫后：若m-4x+m-4m+3y+1=0表示一條直線，則（）A、m不等于±2且不等于1、3；B、m不等于±2；C、m不等于1且不等于3；D、m可以為任意實數(shù)。考點2：直線的特殊情況例、已知點M(2,2)、N(5,-2)，點P在x軸上，分別求滿足下列條件的P點坐標。(1)∠MOP=∠OPN(O是坐標原點)；(2)∠MPN是直角。改寫后：已知點M(2,2)、N(5,-2)，點P在x軸上，求滿足以下條件的P點坐標：(1)∠MOP=∠OPN(O是坐標原點)；(2)∠MPN是直角?？键c3：兩條直線的平行和垂直對于斜率都存在且不重合的兩條直線l1、l2，l1//l2?k1=k2，l1⊥l2?k1·k2=-1。若有一條直線的斜率不存在，那么另一條直線的斜率是多少要特別注意。改寫后：對于斜率都存在且不重合的兩條直線l1、l2，l1和l2平行當且僅當它們的斜率相等，l1和l2垂直當且僅當它們的斜率之積為-1。若有一條直線的斜率不存在，那么另一條直線的斜率要特別注意。變式2：過點P(2,3)，且在兩坐標軸上的截距互為相反數(shù)的直線方程是什么？在兩軸上的截距相等的直線方程是什么？過點P(2,3)，在兩坐標軸上的截距互為相反數(shù)的直線方程為y=-x+5。在兩軸上的截距相等的直線方程為y=x+1?？键c2：用一般式方程判定直線的位置關系已知直線l1:Ax+By+C1=0，l2:Ax+By+C2=0，則：(1)l1//l2?A1B2-A2B1=0且A1C2-A2C1≠0(或B1C2-B2C1≠0)或3A1B1C1(A2、B2、C2均≠0)≠3A2B2C2(2)l1⊥l2?A1A2+B1B2=0(3)l1與l2重合?A1B2-A2B1=0且A1C2-A2C1=0(或B1C2-B2C1=0)或3A1B1C1(A2、B2、C2均≠0)=3A2B2C2(4)l1與l2相交?A1B2-A2B1≠0或A1≠0,B1≠0(A2、B2均≠0)例1、已知直線mx+ny+1=0平行于直線4x+3y+5=0，且在y軸上的截距為1/3，則m、n的值分別為（）A、4和3B、-4和3C、-4和-3D、4和-3由于兩直線平行，所以它們的斜率相等，即m/(-n)=4/3，解得m=-4，n=3。變式1：直線l1:kx+y+2=0和l2:x-2y-3=0，若l1//l2，則l1在兩坐標軸上的截距的和為（）A、-1B、-2C、2D、6設l1:kx+y+2=0與x軸的交點為A，與y軸的交點為B，由l1//l2可知l2:kx+2y+3=0。則l2與x軸的交點為C(-3/k,0)，與y軸的交點為D(0,-3/2)。因此，AB=2/k，BC=3/k，所以AB+BC=2/k+3/k=5/k。由l1:kx+y+2=0，可知y=-kx-2，與x軸的交點為(2/k,0)，與y軸的交點為(0,-2)。因此，兩坐標軸上的截距之和為2/k-2。將l1//l2代入得到k=-2，所以截距之和為2/(-2)-2=-1。例2、已知直線ax-y+2a=0與直線(2a-1)x+ay+a=0互相垂直，則a等于（）A、1B、0C、1/2D、1或-1兩直線垂直，所以它們的斜率的乘積為-1，即a/(2a-1)=-1/a，解得a=1或a=-1/2。題型3：直線的交點坐標與距離公式考點1：三條直線交于一點問題已知三條直線$ax+2y+8=0$，$4x+3y=10$，$2x-y=10$相交于一點，求$a$的值。解析：將三條直線兩兩相交，得到兩個交點，再將兩個交點帶入第三條直線中，求解$a$的值。交點$P$：$ax+2y+8=0$，$4x+3y=10$，解得$P(2,-2)$。交點$Q$：$ax+2y+8=0$，$2x-y=10$，解得$Q(\frac{14}{a+2},\frac{-a-4}{a+2})$。將$Q$帶入第三條直線$2x-y=10$，得到$a=2$。答案：$a=2$?？键c2：求過交點的直線問題已知直線$l_1:2x-3y-3=0$，$l_2:x+y+3=0$，求經(jīng)過$l_1$和$l_2$的交點且與直線$5x+y-1=0$平行的直線方程為。解析：求出$l_1$和$l_2$的交點$P$，再求出與直線$5x+y-1=0$平行的直線$l_3$，$l_3$經(jīng)過點$P$，求出$l_3$的方程。交點$P$：$2x-3y-3=0$，$x+y+3=0$，解得$P(-2,1)$。直線$5x+y-1=0$的斜率為$-5$，所以與它平行的直線的斜率也為$-5$。經(jīng)過點$P(-2,1)$，斜率為$-5$的直線方程為$l_3:y-1=-5(x+2)$，即$l_3:y=-5x-9$。答案：$l_3:y=-5x-9$。考點3：有關對稱問題(1)中心對稱：①點-點-點對稱——由中點坐標求得；②線-點-線對稱——先找對稱點，在根據(jù)$l_1//l_2$求得。(2)軸對稱：①點關于直線的對稱——由中點坐標及$k_1\cdotk_2=-1$求得；②直線關于直線的對稱——轉(zhuǎn)化到點關于直線對稱求得。點$(4,2)$關于直線$5x+4y+21=0$對稱的點是（）。解析：求出點$(4,2)$關于直線$5x+4y+21=0$的對稱點。直線$5x+4y+21=0$的斜率為$-\frac{5}{4}$，所以過點$(4,2)$且垂直于直線$5x+4y+21=0$的直線方程為$l:y-2=\frac{4}{5}(x-4)$，即$l:y=\frac{4}{5}x-\frac{2}{5}$。$l$與直線$5x+4y+21=0$的交點為$Q(-\frac{49}{41},\frac{14}{41})$。點$(4,2)$關于直線$5x+4y+21=0$的對稱點為$P(-\frac{33}{41},-\frac{22}{41})$。答案：$P(-\frac{33}{41},-\frac{22}{41})$。2、已知點P(a,b)和點Q(b-1,a+1)是關于直線l對稱的兩點，則直線l的方程為y=x-1。3、如圖，已知A(4,0)、B(0,4)，從點P(2,0)射出的光線經(jīng)直線AB反向后再射到直線OB上，最后經(jīng)直線OB反射后又回到P點，則光線所經(jīng)過的路程是6。4、過點M(3,-4)且與A(-1,3)、B(2,2)兩點等距離的直線方程是y=-x-1。5、若直線ax+y+1=0和直線4x+2y+b=0關于點(2,-1)對稱，則a=-2，b=-5。6、求直線l1:y=2x+3關于直線l2:y=x+1對稱的直線l2的方程為y=-x+5。考點4：有關最值問題例1、設直線l過點P(1,2)，求當原點到此直線距離最大時，直線l的方程為2x-y=0。變式1：已知A(1,1)、B(-1,1)直線l:x-y+1=0，求直線上一點P，使得PA+PB最??；求直線上一點P，使得PA-PB最大?？键c5：直線通過象限問題例1、若AC<0，BC<0，則直線Ax+By+C=0不通過第三象限。變式1：若直線(3a+2)x+y+8=0不過第二象限，則實數(shù)a的取值范圍是a<-2/3或a>2/3。變式2：若直線ax+by+c=0過第一、二、三象限，則ab>0，bc>0。變式3：直線y=kx-k+1與ky-x-2k=0的交點在第一象限，則k的取值范圍是k>1或k<-1/3。考點6：有關定點問題1、若p、q滿足p-2q=1，直線px+3y+q=0必過一個定點，該定點坐標為(-3/2,1/2)。2、直線ax+by+6=0與x-2y=0平行，并過直線4x+3y-10=0和2x-y-10=0的交點，則a=6，b=4。3、無論m、n取何實數(shù)，直線(3m-n)x+(m+2n)y-n=0都過一定點P，則P點坐標為(-1,3)。考點7：有關距離問題1、若點(-2,2)到直線3x+4y+c=0的距離為3，求c的值c=-17/5。2、兩平行直線l1:3x+4y=10和l2:3x+4y=15間的距離為5/√3。注：由于原文中存在大量的符號錯誤和排版混亂，本回答對部分題目可能存在歧義，建議在實際應用中結(jié)合題目圖形和選項進行判斷。3、過點P(1,2)的直線l與兩點A(2,3)、B(4,-5)的距離相等，則直線l的方程為（）A、4x+y-6=0B、x+4y-6=0C、3x+2y-7=0或4x+y-6=0D、2x+3y-7=0或x+4y-6=04、直線l1過點A(3,0)，直線l2過點B(0,4)，l1//l2，用d表示l1和l2的距離，則（）A、d≥5B、3≤d≤5C、0≤d≤5D、d<55.（構(gòu)造“距離”求最值）已知函數(shù)f(x)=x^2-2x+2+x^2-4x+8，求f(x)的最小值，并求取得最小值時x的值?？键c6：解析法（坐標法）應用——即通過建立平面直角坐標系，把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題。如圖，已知P是等腰三角形ABC的底邊BC上一點，PM⊥AB于M，PN⊥AC于N，證明PM+PN為定值。3、已知點P(1,2)在直線l上，且l到點A(2,3)、B(4,-5)的距離相等，