人教A版（2023）必修二6.1.3相等向量與共線向量（含解析）

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（共20題）

一、選擇題（共13題）

若，那么要使，兩向量還需要具備的條件是

A．方向相反B．方向相同C．共線D．方向任意

兩個非零向量相等，則下面不一定成立的是

A．它們的方向相同B．它們的大小相同

C．它們的起點和終點相同D．它們的負向量相等

下列命題中，正確的是

A．B．

C．D．

下列說法正確的是

A．零向量沒有方向B．向量就是有向線段

C．只有零向量的模等于D．單位向量都相等

下列命題正確的是

A．三點確定一個平面B．一條直線和一個點確定一個平面

C．圓心和圓上兩點可確定一個平面D．梯形可確定一個平面

關于空間向量的有關概念，以下說法正確的是

A．零向量沒有方向

B．由方向向量即可確定一條直線

C．方向相同的向量叫做相等向量

D．任意兩個非零空間向量都可以平移到同一個平面內

如圖所示的四邊形為等腰梯形，則向量與的關系是

A．B．

C．D．

若且，則四邊形的形狀為

A．平行四邊形B．矩形C．菱形D．等腰梯形

下列結論中，正確的是

A．若兩個向量相等，則它們的起點和終點分別重合

B．若向量與都是單位向量，則

C．若向量與是平行向量，則與的方向相同

D．若兩個向量相等，則它們的模相等

在同一平面內，把所有長度為的向量的起點固定在同一點，這些向量的終點形成的軌跡是

A．單位圓B．一段弧C．線段D．直線

下列命題中，正確的是

A．若，則B．若，則

C．若，則D．若，則

給出下列三個結論：①若，則；②若，則；③若，則．其中正確的結論有

A．個B．個C．個D．個

設點是正的中心，則向量、、是

A．有相同起點的向量B．平行向量

C．模相等的向量D．相等向量

二、填空題（共4題）

已知四邊形中，和共線，且，則四邊形的形狀為．

正六邊形的中心是點，以這七個點為起點或終點的向量中，與相等的向量共有個，與的模相等且夾角為的向量共有個．

中國象棋中規(guī)定：馬走“日”字，象走“田”字．如圖，在中國象棋的半個棋盤（的矩形中每個小方格都是單位正方形）中．若馬在處，可跳到處，也可跳到處，用向量，表示馬走了“一步”．若馬在處或處，則表示馬走了“一步”的向量共有個．

設是由一平面內的個向量組成的集合．若，且的模不小于中除外的所有向量和的模．則稱是的極大向量．有下列命題：

①若中每個向量的方向都相同，則中必存在一個極大向量；

②給定平面內兩個不共線向量，，在該平面內總存在唯一的平面向量，使得中的每個元素都是極大向量；

③若，中的每個元素都是極大向量，且，中無公共元素，則中的每一個元素也都是極大向量．

其中真命題的序號是．

三、解答題（共3題）

在如圖的方格紙上，已知向量，每個小正方形的邊長為．

(1)試以為終點畫一個向量，使；

(2)在圖中畫一個以為起點的向量，使，并說出向量的終點的軌跡是什么？

如圖所示，的三邊均不相等，，，分別是，，的中點．

(1)寫出與共線的向量；

(2)寫出模與的模相等的向量；

(3)寫出與相等的向量．

一位模型賽車的賽車手遙控一輛賽車向正東方向前進，然后將行駛方向按逆時針方向旋轉角度，繼續(xù)按直線方向前進，再將行駛方向按逆時針方向旋轉角度，然后繼續(xù)按直線方向前進，，按此方法繼續(xù)操作下去．

(1)作圖說明當時，最少操作幾次可使賽車的位移為？

(2)按此方法操作，試寫出幾種賽車能回到出發(fā)點的操作．

答案

一、選擇題（共13題）

1.【答案】B

【解析】兩向量相等應具備長度相等、方向相同兩個條件，因此選B．

2.【答案】C

3.【答案】C

【解析】A項向量相等除了模相等還要求方向相同；

B項向量不能比大??；

C項正確；

D項．

4.【答案】C

【解析】零向量的方向是任意的，故A選項錯誤；有向線段只是向量的一種表示形式，兩者不等同，故B選項錯誤；只有零向量的模等于，故C選項正確；單位向量的模相等，單位向量若方向不同，則不是相等向量，故D選項錯誤．故選C.

5.【答案】D

【解析】由不共線的三點確定一個平面，故A錯誤；

由一條直線和該直線外一點確定一個平面，故B錯誤；

當圓心和圓上兩點在圓的直徑上，不能說明該三點確定一個平面，故C錯誤；

由于梯形是有一組對邊平行的四邊形，可得梯形確定一個平面，故D正確．

故選：D．

6.【答案】D

【解析】零向量方向任意，但是并不是沒有方向，故A錯誤；

方向向量可以平移，起點不固定，故B錯誤；

方向相同的向量大小不一定相同，故C錯誤；

向量可以平移，一定可以平移到共起點的位置，故D正確．

7.【答案】B

【解析】與表示等腰梯形兩腰的長度，故．

8.【答案】C

【解析】由可知，四邊形為平行四邊形，由，可知平行四邊形為菱形．

9.【答案】D

10.【答案】A

11.【答案】B

【解析】對于A，當時，和的方向未必相同，不能得到，A不正確；

對于B，當時，和的方向相同，所以成立，B正確；

對于C，兩向量的?？梢员容^大小，但向量不能比較大小，C不正確；

對于D，表示的長度為，不對，D不正確．

12.【答案】A

【解析】①忽略了與的區(qū)別，；②混淆了兩個向盤的模相等和兩個實數(shù)相等，兩個向量的模相等只能說明它們的長度相等，它們的方向并不確定；③兩個非零向盤平行，可以得出它們的方向相同或相反，未必得到它們的模相等．

13.【答案】C

二、填空題（共4題）

14.【答案】梯形

【解析】由和共線且可得出，，

根據(jù)題意畫出圖形（如圖），一組對邊平行且不相等的四邊形是梯形．

15.【答案】；

【解析】如圖，正六邊形中，點為其中心，

以這七個點為起點或終點的向量中，與相等的向量有：，，，共個，

與的模相等，且夾角為的向量有：，，，，，，，，共個．

16.【答案】

【解析】此題中，馬在處有兩條路可走，在處有三條路可走，在處有八條路可走，如圖，

以點為起點作有向線段表示馬走了“一步”的向量，符合題意的共個；

以點為起點作有向線段表示馬走了“一步”的向量，符合題意的共個．

所以共有個．

17.【答案】②③

三、解答題（共3題）

18.【答案】

(1)根據(jù)相等向量的定義，所作向量與向量方向相同，且長度相等（作圖略）．

(2)由平面幾何知識可知所有這樣的向量的終點的軌跡是以為圓心，半徑為的圓（作圖略）．

19.【答案】

(1)因為，分別是，的中點，

所以，，

又因為是的中點，

所以與共線的向量有，，，，，，．

(2)模與的模相等的向量有，，，，．

(3)與相等的向量有，．

20.【答案】

(1)記出發(fā)點為．

當時，如圖（），

賽車行進路線構成一個正八邊形，最少操作次可使賽車的位移為，賽車所行路程是